Уравнения математической физики (Владимиров В. С.)

Уравнения математической физики

Автор(ы):Владимиров В. С.
15.02.2014
Год изд.:1981
Описание: Построение и исследование математических моделей физических палений составляет предмет математической физики. Математическая физика развивалась со времен Ньютона параллельно развитию физики и математики. Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных (интегро-дифференциальных) уравнений — уравнений математической физики. Основными математическими средствами исследования этих задач служат теория дифференциальных уравнений (включая родственные области: интегральные уравнения и вариационное исчисление), теория функций, функциональный анализ, теория вероятностей, приближенные методы и вычислительная математика. Основная особенность курса — широкое использование концепции обобщенного решения. Поэтому в книге содержится специальная глава, посвященная теории обобщенных функций. Книга является учебником для студентов и аспирантов — математиков, физиков и инженеров с повышенной математической подготовкой.
Оглавление:
Уравнения математической физики — обложка книги. Обложка книги.
Предисловие к четвертому изданию [8]
Глава I. Постановка краевых задач математической физики [11]
  § 1. Некоторые понятия и предложения теории множеств, теории функций и теории операторов [11]
    1. Точечные множества в R* [11]
    2. Классы функций С* (G) и С* (*) [13]
    3. Пространство непрерывных функций С* (T) [15]
    4. Интеграл Лебега [16]
    5. Интегралы Лебега, зависящие от параметра [23]
    6. Интегралы типа потенциала [24]
    7. Пространство Функций * (G) [27]
    8 Ортонормальные системы [29]
    9. Полные ортонормальные системы [32]
    10. Линейные операторы и функционалы [35]
    11. Линейные уравнения [38]
    12. Эрмитовы операторы [41]
  § 2. Основные уравнения математической физики [43]
    1. Уравнение колебаний [13]
    2. Уравнение диффузии [47]
    3. Стационарное уравнение [40]
    4. Уравнение переноса [51]
    5. Уравнения газогидродинамики [52]
    6. Уравнения Максвелла [52]
    7. Уравнение Шредингера [54]
    8. Уравнение Клейна — Гордона — Фока и уравнение Дирака [54]
  § 3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка [55]
    1. Классификация уравнений в точке [55]
    2. Выражение оператора Лапласа и сферических и цилиндрических координатах [58]
    3. Характеристические поверхности (характеристики) [59]
    4. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными [61]
    5. Пример. Уравнение Трикоми [67]
  § 4. Постановка основных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка [68]
    1. Классификация краевых задач [68]
    2. Задача Коши [70]
    3. Роль характеристик в постановке задачи Коши [71]
    4. Краевая задача для уравнений эклиптического типа [7]
    5. Смешанная задача [74]
    6. Другие краевые задачи [75]
    7. Корректность постановок задач математической физики [76]
    8. Теорема Коши — Ковалевской [78]
    9. Пример Адамара [79]
    10. Классические и обобщенные решения [80]
Глава II. Обобщенные функции [82]
  § 5. Основные и обобщенные функции [82]
    1. Введение [82]
    2. Пространств основных функций * [85]
    3. Пространство обобщенных функций * [89]
    4. Полнота пространства обобщенных функций * [90]
    5. Носитель обобщенной функции [92]
    6. Регулярные обобщенные функции [94]
    7. Сингулярные обобщенные функции [96]
    8. Формулы Сохоцкого [98]
    9. Линейная замена переменных и обобщенных функциях [99]
    10. Умножение обобщенных функций [101]
    11. Упражнения [102]
  § 6. Дифференцирование обобщенных функций [103]
    1. Производные обобщенной функции [103]
    2. Свойства обобщенных производных [104]
    3. Первообразная обобщенной функции [107]
    4. Примеры n - 1 (*) [110]
    5. Примеры, n * 2 [115]
    6. Упражнения [124]
  § 7. Прямое произведение и свертка обобщенных функции [126]
    1. Определение прямого произведения [126]
    2. Коммутативность прямого произведения [129]
    3. Дальнейшие свойства прямого произведения [136]
    4. Свертка обобщенных функций [136]
    5. Свойства свертки [136]
    6. Существование свертки [138]
    7. Сверточная алгебра обобщенных функций * [139]
    8. Уравнения в сверточной алгебре * [142]
    9. Регуляризация обобщенных функций [144]
    10. Примеры сверток. Ньютонов потенциал [145]
    11. Упражнения [148]
  § 8. Обобщенные функции медленного роста [149]
    1. Пространство основных функций * [149]
    2. Пространство обобщенных функций медленного роста * [150]
    3. Примеры обобщенных функций медленного роста [152]
    4. Структура обобщенных функций с точечным носителем [153]
    5. Прямое произведение обобщенных функций медленного роста [155]
    6. Свертка обобщенных функций медленного роста [157]
  § 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста [158]
    1. Преобразование Фурье основных функций из * [158]
    2. Преобразование Фурье обобщенных функций из * [160]
    3. Свойства преобразования Фурье [162]
    4. Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носителем [164]
    5. Преобразование Фурье свертки [165]
    6. Примеры, n=1 [165]
    7. Примеры, n*2 [170]
    8. Упражнения [174]
  § 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций (операционное исчисление) [175]
    1. Преобразование Лапласа локально интегрируемых функций [176]
    2. Преобразование Лапласа обобщенных функций [176]
    3. Свойства преобразования Лапласа [179]
    4. Обратное преобразование Лапласа [181]
    5. Примеры и применения [185]
    6. Упражнения [188]
Глава III. Фундаментальное решение и задача Коши [190]
  § 11. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов [190]
    1. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений [190]
    2. Фундаментальные решения [192]
    3. Уравнения с правой частью [194]
    4. Метод спуска [195]
    5. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с обыкновенными производными [198]
    6. Фундаментальное решение оператора теплопроводности [198]
    7. Фундаментальное решение волнового оператора [199]
    8. Фундаментальное решение оператора Лапласа [202]
    9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца [205]
    10. Фундаментальное решение оператора Коши — Римана[205]
    11. Фундаментальное решение оператора переноса [205]
    12. Упражнения [206]
  § 12. Волновой потенциал [208]
    1. Свойства фундаментального решения волнового оператора [208]
    2. Дополнительные сведения о свертках [210]
    3. Волновой потенциал [213]
    4. Поверхностные волновые потенциалы [216]
  § 13. Задача Коши для волнового уравнения [224]
    1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [220]
    2. Постановка обобщенной задачи Коши для волнового уравнения [222]
    3. Решение обобщенной задачи Коши [224]
    4. Решение классической задачи Коши [226]
    5. Упражнения [227]
  § 14. Распространение волн [229]
    1. Наложение волн и области влияния [229]
    2. Распространение волн в пространстве [230]
    3. Распространение волн на плоскости [232]
    4. Распространение волн на прямой [235]
    5. Метод распространяющихся волн [238]
    6. Метод отражений. Полубесконечная струна [241]
    7. Метод отражений. Конечная струна [243]
    8. Нелинейные волновые уравнения [245]
  § 15. Метод Римана [247]
    1. Решение задачи Гурса [247]
    2. Формула Грина [252]
    3. Функция Римана [252]
    4. Задача Коши [256]
  § 16. Задача Коши для уравнения теплопроводности [260]
    1. Тепловой потенциал [260]
    2. Поверхностный тепловой потенциал [263]
    3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности [265]
    4. Решение задачи Коши [260]
    5. Упражнения [267]
Глава IV. Интегральные уравнения [270]
  § 17. Метод последовательных приближений [271]
    1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром [271]
    2. Повторные ядра. Резольвента [275]
    3. Интегральные уравнения Вольтерра [278]
    4. Интегральные уравнения с полярным ядром [280]
    5. Упражнения [285]
  § 18. Теоремы Фредгольма [286]
    1. Интегральные уравнения с иырожденным ядром [286]
    2. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром [289]
    3. Теоремы Фредгольмч для интегральных уравнений с непрерывным ядром [292]
    4. Следствия из теорем Фредгольма [296]
    5. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с полярным ядром [299]
    6. Упражнения [301]
  § 19. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром [301]
    1. Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным ядром [302]
    2. Лемма Арчела — Асколи [303]
    3. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерывным ядром [304]
    4. Интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром [307]
  § 20. Теорема Гильберта — Шмидта и ее следствия [308]
    1. Теорема Гильберта—Шмидта для эрмитова непрерывного ядра [308]
    2. Билинейное разложение повторных ядер [312]
    3. Билинейное разложение эрмитова непрерывного ядра [313]
    4. Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмитовым непрерывным ядром [315]
    5. Положительно определенные ядра [317]
    6. Распространение теории Гильберта — Шмидта на интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром [318]
    7. Теорема Ентча [320]
    8. Метод Келлога [322]
    9. Теорема Мерсера [325]
Глава V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа [327]
  § 21. Задача на собственные значения [327]
    1. Постановка задачи на собственные значения [327]
    2. Формулы Грина [328]
    3. Свойства оператора L [329]
    4. Свойства собственных значений и собственных функций оператора L [331]
    5. Физический смысл собственных значений и собственных функций [335]
  § 22. Задача Штурма — Лиувилля [336]
    1. Функция Грина [334]
    2. Введение задачи Штурма - Лиувилля к интегральному уравнению [340]
    3. Свойства собственных значений и собственных функции [341]
    4. Нахождение собственных значений и собственных функций [343]
  § 23. Функции Бессселя [345]
    1. Определение и простейшие свойства функции Бесселя [345]
    2. Свойство ортогонильности [347]
    3. Рекуррентные соотношения для функций Бессели [349]
    4. Корни функции Бесселя [350]
    5. Краевая задача на собственные значения для уравнение Бесселя [352]
    6. Неоднородная краевая задача для уравнения Бесселя [354]
    7. Полнота функций Бесселя [355]
    8. Другие цилиндрические функции [357]
    9. Упражнения [358]
  § 24. Гармонические функции [359]
    1. Формула Грина [360]
    2. Распространение формул Грина [362]
    3. Теорема о среднем арифметическом [364]
    4. Принцип максимума [365]
    5. Следствия из принципа максимума [367]
    6. Стирание особенностей гармонической функции [368]
    7. Обобщенно-гармонические функции [369]
    8. Дальнейшие свойства гармонических функций [37]
    9. Аналог теоремы Лиувилля [371]
    10. Поведение гармонической функции на бесконечности [372]
    11. Упражнения [374]
  § 25. Сферические функции [374]
    1. Определение сферических функций [374]
    2. Дифференциальное уравнение для сферических функций [376]
    3. Полиномы Лежандра [377]
    4. Производящая функция [379]
    5. Присоединенные функции Лежандра [382]
    6. Сферические функции [383]
    7. Формула Лапласа [38]
    8. Шаровые функции [387]
    9. Упражнения [387]
  § 26. Метод Фурье для задачи на собственные значения [388]
    1. Общая схема метода Фурье [388]
    2. Примеры [390]
  § 27. Ньютонов потенциал [394]
    1. Объемный потенциал [395]
    2. Потенциалы простого и двойного слоя [396]
    3. Физический смысл ньютоновых потенциалов [399]
    4. Поверхности Липунова [400]
    5. Свойства потенциалов простого и двойного слоя на поверхности S [405]
    6. Разрыв потенциала двойного слоя [407]
    7. Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя [409]
    8. Упражнения [411]
  § 28. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве [412]
    1. Постановка основных краевых задач [412]
    2. Теоремы единственности решения краевых задач [413]
    3. Сведение краевая задач К интегральным уравнениям [415]
    4. Исследование интегральных уравнений [418]
    5. Решение задач Дирихле и Неймана для шара [422]
  § 29. Функция Грина задачи Дирихле [423]
    1. Определение и свойства функции Грина [423]
    2. Примеры построения функции Грина (метод отражений) [426]
    3. Решение краевой задачи с помощью функции Грина [429]
    4. Формула Пуассона [430]
    5. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению [431]
    6. Свойства собственных значений и собственных функций [434]
    7. Упражнения [436]
  § 30. Уравнения Гельмгольца [438]
    1. Условия излучения Зоммерфельда [438]
    2. Однородное уравнение Гельмгольца [439]
    3. Потенциалы [441]
    4. Принцип предельного поглощения [443]
    5. Принцип предельной амплитуды [444]
    6. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца [445]
    7. Внешние краевые задачи для шара [447]
    8. Упражнения [448]
  § 31. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости [449]
    1. Постановка и единственность решения основных краевых задач [449]
    2. Логарифмический потенциал [450]
    3. Разрешимость краевых задач [454]
    4. Решение краевых задач для круга [457]
    5. Функция Грина задачи Дирихле [449]
    6. Решение задачи Дирихле для односвязной области [461]
    7. Упражнения [462]
Глава VI. Смешанная задача [464]
  § 32. Метод Фурье [464]
    1. Однородное гиперболическое уравнение [465]
    2. Неоднородное гиперболическое уравнение [467]
    3. Параболическое уравнение [469]
    4. Уравнение Шредингера [470]
    5. Эллиптическое уравнение [470]
    6. Примеры [472]
    7. Упражнения [479]
  § 33. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа [479]
    1. Классическое решение. Интеграл энергии [479]
    2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения [482]
    3. Функции, непрерывные в * (G) [485]
    4. Обобщенное решение [498]
    5. Единственность и непрерывная зависимость обобщенного решения [491]
    6. Существование обобщенного решения [492]
    7. Существование классического решения [495]
  § 31. Смешанная задача для уравнения параболического типа [497]
    1. Классическое решение. Принцип максимума [498]
    2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения [500]
    3. Обобщенное решение [501]
    4. Существование обобщенного решения [503]
    5. Существование классического решения [504]
Литература [505]
Предметный указатель [509]
Формат: djvu
Размер:8617191 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 853 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU)