Уравнения в частных производных математической физики

Автор(ы):Кошляков Н. С. и др.
15.02.2014
Год изд.:1970
Описание: В пособии рассмотрены классические методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и метод интегральных преобразований в конечных и бесконечных пределах. Для пособия характерно подробное изложение ряда конкретных физических и технических задач, приводящих к уравнениям в частных производных второго порядка, наряду с большим вниманием, уделяемым теории. Книга «Уравнения в частных производных математической физики» предназначена в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов университетов и технических вузов.
Оглавление:
Уравнения в частных производных математической физики — обложка книги.
Введение [10]
Глава I. Вывод основных уравнений математической физики
  § 1. Уравнение колебаний струны [12]
  § 2. Уравнение колебаний мембраны [16]
  § 3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн [18]
  § 4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле [24]
  § 5. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа [28]
Глава II. Классификация уравнений второго порядка
  § 1. Типы уравнений второго порядка [29]
  § 2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами [30]
  § 3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными [32]
Глава III. Уравнения первого порядка
  § 1. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными [40]
  § 2 Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными [44]
  § 3. Нелинейные дифференциальные уравнения с n независимыми переменными [51]
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. Дифференциальные уравнения гиперболического типа
Глава IV. Применение метода характеристик к изучению малых колебаний струны
  § 1. Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера [54]
  § 2. Понятие об обобщенных решениях [62]
Глава V. Продольные колебания стержня
  § 1. Дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения. Начальные и граничные условия [64]
  § 2. Колебания стержня с одним закрепленным концом [66]
  § 3. Продольный удар груза по стержню [70]
Глава VI. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
  § 1. Задача Коши [75]
  § 2. Задача Гурса [79]
  § 3. Метод Римана [80]
  § 4. Примеры на приложение метода Римана [83]
Глава VII. Применение метода характеристик к изучению колебаний в электрических линиях
  § 1. Дифференциальные уравнения свободных электрических
колебаний [88]
  § 2. Телеграфное уравнение [90]
  § 3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана [90]
  § 4. Электрические колебания в бесконечном проводе [93]
  § 5. Колебания в линии, свободной от искажения [95]
  § 6. Граничные условия для провода конечной длины [97]
Глава VIII. Волновое уравнение
  § 1 Формула Пуассона [98]
  § 2. Цилиндрические волны [101]
  § 3. Непрерывная зависимость решения от начальных данных [103]
  § 4. Теорема единственности [103]
  § 5. Неоднородное волновое уравнение [105]
  § 6. Точечный источник [108]
Глава IX. Некоторые общие вопросы теории дифференциальных уравнений гиперболического типа
  § 1. Задача Коши. Характеристики [109]
  § 2. Бихарактеристики [113]
  § 3. Слабый разрыв. Фронт волны [114]
  § 4. Распространение разрывов по лучам [117]
Глава X. Применение метода Фурье к изучению свободных колебаний струн и стержней
  § 1. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны [119]
  § 2. Колебание защепленной струны [125]
  § 3. Колебания струны под действием удара [126]
  § 4. Продольные колебания стержня [126]
  § 5. Общая схема метода Фурье [129]
Глава XI Вынужденные колебания струн и стержней
  § 1. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах [136]
  § 2. Вынужденные колебания тяжелого стержня [140]
  § 3. Вынужденные колебания струны с подвижными концами [142]
  § 4. Единственность решения смешанной задачи [145]
Глава XII. Крутильные колебания однородного стержня
  § 1. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний цилиндрического стержня [147]
  § 2. Колебания стержня с одним прикрепленным диском [150]
Глава XIII. Функции Бесселя
  § 1. Уравнение Бесселя [150]
  § 2. Некоторые частные случаи функций Бесселя [160]
  § 3. Ортогональность функций Бесселя и их корни [162]
  § 4. Разложение произвольной функции в ряд по функциям Бесселя [167]
  § 5. Некоторые интегральные представления функций Бесселя [169]
  § 6. Функции Ханкеля [172]
  § 7. Функции Бесселя мнимого аргумента [173]
Глава XIV. Малые колебания нити, подвешенной за один конец
  § 1. Свободные колебания подвешенной нити [176]
  § 2. Вынужденные колебания подвешенной нити [180]
Глава XV. Малые радиальные колебания газа
  § 1. Радиальные колебания газа в сфере [184]
  § 2. Радиальные колебания газа в неограниченной цилиндрической трубке [191]
Глава XVI. Полиномы Лежандра
  § 1. Дифференциальное уравнение Лежандра [195]
  § 2. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма [198]
  § 3. Некоторые свойства полиномов Лежандра [200]
  § 4. Интегральные представления полиномов Лежандра [201]
  § 5. Производящая функция [203]
  § 6. Рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра
и их производными [204]
  § 7. Функция Лежандра второго рода [205]
  § 8. Малые колебания вращающейся струны [205]
Глава XVII. Применение метода Фурье к исследованию малых колебаний прямоугольной и круглой мембраны
  § 1. Свободные колебания прямоугольной мембраны [210]
  § 2. Свободные колебания круглой мембраны [214]
  § 3. Метод Фурье в многомерном случае [219]
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. Дифференциальные уравнения эллиптического типа
Глава XVIII. Интегральные формулы, применяемые в теории дифференциальных уравнений эллиптического типа
  § 1. Определения и обозначения [224]
  § 2. Формулы Остроградского — Гаусса и Грина [227]
  § 3*. Преобразование формулы Грина [231]
  § 4*. Функции Леви [232]
  § 5*. Формула Грина — Стокса [234]
  § 6*. Формула Грина — Стокса в случае двух измерений [238]
  § 7. Представление некоторых дифференциальных выражений в ортогональных системах координат [239]
Глава XIX. Уравнения Лапласа и Пуассона
  § 1. Уравнения Лапласа и Пуассона. Примеры задач, приводящих к уравнению Лапласа [248]
  § 2. Граничные задачи [254]
  § 3. Гармонические функции [257]
  § 4. Единственность решений граничных задач [263]
  § 5. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Основная формула теории гармонических функций [268]
  § 6. Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара [273]
  § 7. Функция Грина [277]
  § 8. Гармонические функции на плоскости [282]
Глава XX. Теория потенциала
  § 1. Ньютоновский потенциал [287]
  § 2. Потенциалы разных порядков [289]
  § 3. Мультиполи [292]
  § 4. Разложение потенциала по мультиполям. Сферические функции [295]
  § 5. Потенциалы простого и двойного слоя [299]
  § 6*. Поверхности Ляпунова [300]
  § 7*. Сходимость и непрерывная зависимость несобственных интегралов от параметров [303]
  § 8*. Поведение потенциала простого слоя и его нормальных производных при пересечении слоя [305]
  § 9*. Тангенциальные производные потенциала простого слоя и производные по любому направлению [309]
  § 10*. Поведение потенциала двойного слоя при пересечении слоя [311]
  § 11. Уровенные распределения [312]
  § 12. Энергия гравитационного поля. Задача Гаусса [315]
  § 13. Поле тяжести. Теорема Стокса [319]
  § 14. Логарифмический потенциал [323]
Глава XXI. Сферические функции
  § 1. Построение системы линейно-независимых сферических функций [328]
  § 2. Ортогональность сферических функций [332]
  § 3. Разложение по сферическим функциям [335]
  § 4. Применение сферических функций для решения граничных задач [338]
  § 5. Функция Грина задачи Дирихле для шара [341]
  § 6. Функция Грина задачи Неймана для шара [343]
Глава XXII. Приложение теории сферических функций к решению задач математической физики
  § 1. Электростатический потенциал проводящего шара, разделенного слоем диэлектрика на два полушария [346]
  § 2. Задача о стационарном распределении температуры в шаре [348]
  § 3. Задача о распределении электричества на индуктивно заряженном шаре [350]
  § 4. Обтекание шара потоком несжимаемой жидкости [355]
Глава XXIII*. Гравитационные волны на поверхности жидкости
  § 1. Постановка проблемы [358]
  § 2. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины [361]
  § 3. Кольцевые волны [368]
  § 4. Метод стационарной фазы [371]
Глава XXIV. Уравнение Гельмгольца
  § 1. Связь уравнения Гельмгольца с некоторыми уравнениями
гиперболического и параболического типов [375]
  § 2. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца в ограниченной области [378]
  § 3. Собственные числа и собственные функции граничной задачи общего вида. Разложения по собственным функциям [384]
  § 4. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах [389]
  § 5. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца в бесконечной области [394]
  § 6. Интегральные формулы [401]
  § 7. Разложения в ряды по частным решениям уравнения Гельмгольца в бесконечной области [407]
  § 8*. Вопросы единственности решений внешних граничных задач для уравнения Гельмгольца [409]
Глава XXV. Излучение и рассеяние звука
  § 1. Основные зависимости для звуковых полей [413]
  § 2. Звуковое поле вибрирующего цилиндра [415]
  § 3. Звуковое поле пульсирующего шара. Точечный источник [418]
  § 4. Излучение из отверстия в плоском экране [420]
  § 5. Звуковое поле при произвольном колебании поверхности шара [422]
  § 6. Исследование поля шара при произвольном колебании его
поверхности. Акустические или колебательные мультиполи [426]
  § 7. Рассеяние звука [432]
Дополнение к части второй *. Сведения об уравнениях эллиптического типа общего вида
  § 1. Общий вид уравнения эллиптического типа [435]
  § 2. Основные граничные задачи [436]
  § 3. Сопряженные граничные задачи [438]
  § 4. Фундаментальные решения. Функция Грина [439]
  § 5. Теоремы единственности [441]
  § 6. Условия разрешимости граничных задач [443]
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. Уравнения параболического типа
Глава XXVI. Постановка граничных задач. Теоремы единственности
  § 1. Первая граничная задача. Теорема о максимуме и минимуме [448]
  § 2. Задача Коши [450]
Глава XXVII. Распространение тепла в бесконечном стержне
  § 1. Распространение тепла в неограниченном стержне [451]
  § 2. Распространение тепла в полуограниченном стержне [459]
Глава XXVIII. Применение метода Фурье к решению граничных задач
  § 1. Распространение тепла в ограниченном стержне [463]
  § 2. Неоднородное уравнение теплопроводности [471]
  § 3. Распространение тепла в бесконечном цилиндре [473]
  § 4. Распространение тепла в цилиндре конечных размеров [476]
  § 5. Распространение тепла в однородном шаре [478]
  § 6. Распространение тепла в прямоугольной пластинке [485]
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ Дополнительные сведения
Глава XXIX. Уравнения электромагнитного поля
  § 1. Векторные поля [488]
  § 2. Уравнения Лоренца — Максвелла [498]
  § 3. Уравнения Максвелла [501]
  § 4. Уравнения магнитной гидродинамики [508]
  § 5. Потенциалы электромагнитного поля [513]
  § 6. Периодические по времени электромагнитные поля [515]
  § 7. Условия на бесконечности и граничные условия [520]
  § 8. Представление электромагнитного поля с помощью двух скалярных функций [527]
  § 9. Теорема единственности [530]
Глава XXX. Направляемые электромагнитные волны
  § 1. Поперечно-электрические, поперечно-магнитные и поперечно-электромагнитные волны [535]
  § 2. Волны между идеально проводящими плоскостями, разделенные диэлектриком [536]
  § 3. Дальнейшее рассмотрение направляемых волн [542]
  § 4. ТМ-волны в волноводе круглого сечения [550]
  § 5. ТЕ-волны в волноводе круглого сечения [552]
  § 6. Волны в коаксиальном кабеле [553]
  § 7. Волны в диэлектрическом стержне [555]
Глава XXXI. Электромагнитные рупоры и резонаторы
  § 1. Секториальный рупор и секториальный резонатор [561]
  § 2. Сферический резонатор [566]
Глава XXXII. Разложение по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля
  § 1. Введение [568]
  § 2. Задача Штурма — Лиувилля [568]
  § 3. Функция Грина [571]
  § 4. Экстремальные свойства собственных функций [572]
  § 5. Разложение по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля на конечном интервале [577]
  § 6. Сингулярная задача Штурма — Лиувилля [582]
  § 7. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи Штурма — Лиувилля на полубесконечном интервале [586]
  § 8. Вычисление спектральной функции (полубесконечный интервал) [590]
  § 9. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи Штурма — Лиувилля на интервале, бесконечном в обе стороны [593]
  § 10. Разложение по бесселевым функциям [596]
Глава XXXIII. Применение интегральных преобразований для решения задач математической физики
  § 1. Введение [609]
  § 2. Условия, обеспечивающие возможность интегрального преобразования [611]
  § 3. Интегральные преобразования в конечных пределах [616]
  § 4. Интегральные преобразования с бесконечными пределами (общий случай) [620]
  § 5. Некоторые часто применяемые преобразования с бесконечными пределами [626]
Глава XXXIV. Примеры применения конечных интегральных преобразований
  § 1. Колебания тяжелой нити [631]
  § 2. Колебания мембраны [634]
  § 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне [637]
  § 4. Распространение тепла в круглой трубе [641]
  § 5 Поток тепла в шаре [643]
  § 6. Стационарный поток тепла в параллелепипеде [647]
Глава XXXV. Примеры применения интегральных преобразований с бесконечными пределами
  § 1. Задача о колебаниях бесконечной струны [650]
  § 2. Линейный поток тепла в полуограниченном стержне [652]
  § 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне, поверхность которого поддерживается при двух различных температурах [654]
  § 4. Установившееся тепловое состояние бесконечного клина [658]
Глава XXXVI. Излучение электромагнитных колебаний
  § 1. Введение [661]
  § 2. Вертикальный излучатель в однородной среде над идеально проводящей плоскостью [663]
  § 3. Вертикальный излучатель в однородной среде над средой с конечной электропроводностью [668]
  § 4. Магнитная антенна над средой с конечной электропроводностью [670]
  § 5. Поле произвольной системы излучателей [677]
  § 6. Горизонтальный излучатель над средой с конечной электропроводностью [680]
Глава XXXVII. Движение вязкой жидкости
  § 1. Уравнения движения вязкой жидкости [686]
  § 2. Движение вязкой жидкости в полупространстве над вращающимся диском бесконечного радиуса [691]
  § 3. Движение вязкой жидкости в плоском диффузоре [693]
Литература [698]
Предметный указатель [701]
Некоторые обозначения [708]
Николай Сергеевич Кошляков (краткий биографический очерк) [709]
Формат: djvu
Размер:14194357 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 374 Рейтинг
Открыть: