Специальные функции и теория представлений групп

Автор(ы):Виленкин Н. Я.
06.10.2007
Год изд.:1965
Описание: Решение очень многих важных задач математической физики и техники не может быть выражено с помощью обычных, элементарных функций, и тогда приходят на помощь специальные функции (функции Лежандра, функции Бесселя, гипергеометрическая функция и т. д.). Теория специальных функций очень детально разработана и включает в себя необозримое множество формул и соотношений, выводимых самыми разнообразными методами, что затрудняет ее изучение. Целью данной книги является изложение теории специальных функций с единой точки зрения при помощи теории представлений групп. Этот подход позволяет единым образом получать всевозможные соотношения между специальными функциями, как ранее известные, так и новые. Книга предназначена для математиков, физиков (как теоретиков, так и экспериментаторов), научных работников в области техники, а также может быть использована аспирантами и студентами старших курсов университетов.
Оглавление:
Специальные функции и теория представлений групп — обложка книги. Обложка книги.
Предисловие [13]
Введение [17]
ГЛАВА I ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
  § 1. Основные понятия теории представлений [22]
    1. Определение [22]
    2. Матричная запись представлений [24]
    3. Эквивалентные представления [26]
    4. Сопряженные представления [27]
    5. Эрмитово-сопряженные представления. Унитарные представления [28]
    6. Инвариантные подпространства. Неприводимые представления [29]
    7. Разложение представления в прямую сумму [30]
    8. Полная приводимость унитарных представлений [32]
    9. Кронекеровское умножение представлений [33]
    10. Характеры представлений [34]
    11. Инфинитезимальные операторы представления [35]
  § 2. Группы преобразований и их представления [38]
    1. Группы преобразований [38]
    2. Транзитивные группы преобразований [38]
    3. Инвариантные меры [40]
    4. Представления групп операторами сдвига [41]
    5. Представления класса 1. Сферические функции [44]
    6. Индуцированные представления [45]
    7. Представления групп с операторным множителем [46]
    8. Некоторые примеры [48]
  § 3. Инвариантные операторы и теория представлений [49]
    1. Операторы, перестановочные с представлениями [49]
    2. Лемма Шура [51]
    3. Следствия из леммы Шура [52]
    4. Инвариантные операторы [54]
  § 4. Представления компактных групп [55]
    1. Матричные группы. Компактные и локально компактные группы [55]
    2. Полная приводимость представлений компактных групп [57]
    3. Ряды Фурье на компактных группах [58]
    4. Гармонический анализ функций на компактных группах [63]
    5. Разложение функций на однородных пространствах [65]
    6. Свертка функций на группе [68]
    7. Разложение центральных функций [69]
Дополнение к главе I. Некоторые сведения о линейных пространствах [72]
    1. Кронекеровское или тензорное произведение линейных пространств и операторов [72]
    2. Операторы типа Гильберта—Шмидта [74]
    3. Тензорное произведение гильбертовых пространств [75]
    4. Счетно-гильбертовы пространства. Ядерные пространства [77]
    5. Ортогональная прямая сумма гильбертовых пространств [78]
    6. Непрерывная прямая сумма гильбертовых пространств [79]
    7. Разложение операторов в непрерывную прямую сумму операторов [80]
ГЛАВА II АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
  § 1. Показательная и тригонометрические функции [81]
    1. Неприводимые унитарные представления группы R [81]
    2. Группа вращений плоскости и тригонометрические функции [82]
    3. Группа гиперболических вращений плоскости и гиперболические функции [84]
    4. Комплексная форма группы SO(2) [86]
  § 2. Ряды Фурье [87]
    1. Инвариантное интегрирование на группе SO(2) [87]
    2. Тригонометрическая система функций. Ряды Фурье [87]
    3. Разложение регулярного представления группы SO(2) [88]
    4. Разложение бесконечно дифференцируемых функций [89]
  § 3. Интеграл Фурье [90]
    1. Регулярное представление группы R [90]
    2. Преобразование Фурье и его свойства [91]
    3. Формула обращения [93]
    4. Формула Планшереля [96]
    5. Преобразование функций с интегрируемым квадратом [97]
    6. Интеграл Фурье для функций нескольких переменных [98]
  § 4. Преобразование Фурье в комплексной области [99]
    1. Определение [99]
    2. Преобразование функций с интегрируемым квадратом [101]
    3. Преобразование Меллина [103]
ГЛАВА III ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ
  § 1. Группа SU(2) [106]
    1. Параметризация [106]
    2. Углы Эйлера произведения двух матриц [108]
    3. Алгебра Ли [109]
    4. Комплексификация [111]
    5. Связь с группой вращений [112]
    6. Углы Эйлера вращений [113]
    7. Сфера, как однородное пространство [115]
  § 2. Неприводимые унитарные представления (?) [116]
    1. Представления в пространствах однородных многочленов [116]
    2. Инфинитезимальные операторы представления (?) [118]
    3. Неприводимость [120]
    4. Инвариантное скалярное произведение [121]
    5. Полнота системы представлений (?) [122]
  § 3. Матричные элементы представлений (?). Многочлены Лежандра и Якоби [123]
    1. Вычисление матричных элементов [123]
    2. Различные выражения матричных элементов [124]
    3. Выражение через углы Эйлера [127]
    4. Различные выражения функций (?) [128]
    5. Частные значения (?) [129]
    6. Соотношения симметрии [130]
    7. Матрицы (?) [132]
    8. Соотношения обхода [132]
    9. Связь с классическими ортогональными многочленами [132]
    10. Многочлены Лежандра как зональные сферические функции [136]
  § 4. Функциональные соотношения для функций (?) [137]
    1 Теорема сложения [137]
    2. Теорема сложения для многочленов Лежандра [139]
    3. Формула умножения [140]
    4. Рекуррентные формулы [142]
    5. Дифференциальное уравнение [144]
    6. Инфинитезимальные операторы регулярного представления [146]
    7. Инфинитезимальные операторы и рекуррентные формулы [148]
    8. Оператор Лапласа [149]
    9. Дальнейшие рекуррентные соотношения [152]
  § 5. Производящие функции для (?) [154]
    1. Случай фиксированных l и n [154]
    2. Рекуррентные формулы при различных значениях l [156]
    3. Случай фиксированных m и n [161]
    4. Интегральные представления Дирихле—Мерфи [163]
    5. Рекуррентные формулы для многочленов Лежандра [164]
  § 6. Разложение функций на группе SU(2) [166]
    1. Инвариантная мера [166]
    2. Соотношения ортогональности для функций (?) [167]
    3. Разложения в ряды по функциям (?) [170]
    4. Некоторые подпространства функций [171]
    5. Разложение функций на сфере [174]
    6. Разложение полей величин на сфере [175]
  § 7. Характеры представлений (?) [177]
    1. Вычисление характеров [177]
    2. Ортогональность характеров [179]
    3. Разложение центральных функций [180]
  § 8. Коэффициенты Клебша—Гордана [181]
    1. Кронекеровское произведение представлений (?) [181]
    2. Базисы в пространстве (?) [183]
    3. Вычисление коэффициентов Клебша—Гордана [184]
    4. Соотношения симетрни [188]
    5. Некоторые частные значения [190]
    6. Разложение произведений функций (?) [192]
    7. Связь с многочленами Якоби [194]
    8. Рекуррентные формулы [195]
    9. Производящая функция [197]
ГЛАВА IV ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
  § 1.Группа М(2) [201]
    1. Определение [201]
    2. Параметризации [202]
    3. Алгебра Ли [204]
    4. Комплексификация [205]
  § 2. Неприводимые унитарные представления группы М(2) [206]
    1. Описание представлений [206]
    2. Инфинитезимальные операторы [207]
    3. Неприводимость представлений [208]
    4. Представления скрещенных произведений [209]
  § 3. Матричные элементы представлений (?) и функции Бесселя [210]
    1. Вычисление матричных элементов [210]
    2. Связь функций Бесселя с противоположными индексами [212]
    3. Разложение функций Бесселя в степенные ряды [212]
  § 4. Функциональные соотношения для функций Бесселя [213]
    1. Теорема сложения [213]
    2. Формула умножения [214]
    3. Рекуррентные формулы [215]
    4. Дифференциальное уравнение [216]
    5. Производящая функция [217]
    6. Рекуррентные соотношения [217]
  § 5. Разложения представлений группы М(2) и преобразование Фурье — Бесселя [218]
    1. Квазирегупярное представление [218]
    2. Преобразование Фурье — Бесселя [221]
    3. Разложение квазирегулярного представления [222]
    4. Инфинитезимальные операторы [225]
    5. Разложение регулярного представления [227]
  § 6. Произведение представлений [228]
    1. Кронекеровское произведение представлений (?) [228]
    2. Кронекеровское произведение и формула умножения [230]
  § 7. Функции Бессепя и функции (?) [232]
    1. Группа движений плоскости и группа вращений сферы [232]
    2. Функции Бессепя и многочлены Якоби [232]
    3. Асимптотическая формула для коэффициентов Клебша—Гордана [234]
ГЛАВА V ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА
  § 1. Представления группы линейных преобразований прямой линии и Г-функция [235]
    1. Группа линейных преобразований прямой линии [235]
    2. Неприводимые представления группы G [236]
    3. Приведение операторов (?) к диагональному виду [239]
    4. Выражение ядра K (w, z, g) через Г-функцию [241]
    5. Свойства Г-функции [242]
    6. Теорема сложения для Г-функции и ее следствия [245]
    7. Бета-функция и формула удвоения для Г(х) [247]
    8. Преобразование Фурье функций (?) и (?) [248]
    9. Представления группы линейных преобразований прямой, индуцированные одномерными представлениями подгруппы A [249]
  § 2. Группа MH(2) движений псевдоевклидовой плоскости [251]
    1. Псевдоевклидова плоскость [251]
    2. Группа МH(2) [252]
    3. Параметризации группы MH(2) [254]
    4. Алгебра Ли группы МН(2)[255]
  § 3. Представления группы МН(2) [257]
    1. Неприводимые представления [257]
    2. Другая реализация представлений (?) группы МН(2) [258]
    3. Унитарный случай [261]
    4. Функции Макдональда и Ганкеля [262]
    5. Выражение ядер представления (?) через функцию Макдональда [263]
    6. Инфинитезимальные операторы представлений (?) и (?) [264]
    7. Неприводимость представлений (?) [265]
  § 4. Рекуррентные формулы и дифференциальное уравнение для функций Макдональда и Ганкеля [266]
    1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами представления [266]
    2. Рекуррентные формулы [267]
    3. Дифференциальные уравнения для функций Макдональда и Ганкеля [268]
    4. Связь между функциями Ганкеля и функциями Бесселя [269]
  § 5. Функциональные соотношения для функций Ганкеля и Макдональда [270]
    1. Вводные замечания [270]
    2. Интегральное представление [271]
    3. Разложение в степенные ряды [272]
    4. Преобразования Меллина [273]
    5. Преобразования Меллина (продолжение) [276]
    6. Теоремы сложения [277]
    7. Теоремы умножения [280]
    8. Взаимно обратные интегральные преобразования [281]
  § 6. Разложение квазирегулярного представления группы МН(2) [282]
    1. Квазирегулярное представление группы МН(2) [282
    2. Интегральные преобразования [284]
ГЛАВА VI ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2) УНИМОДУЛЯРНЫХ КВАЗИУНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ
  § 1. Группа QU(2) [288]
    1. Описание [288]
    2. Подгруппы группы SL(2, R) [291]
    3. Параметризации группы QU(2) [292]
    4. Инвариантное интегрирование [294]
    5. Алгебра Ли [294]
  § 2. Неприводимые представления группы QU(2) [295]
    1. Пространство (?) [295]
    2. Представления (?) [296]
    3. Инфинитезимальные операторы [298]
    4. Неприводимость [299]
    5. Целочисленные представления [300]
    6. Условия эквивалентности [302]
    7. Условия унитарности [303]
    8. Унитарно-сопряженные представления [306]
  § 3. Матричные элементы представлений (?) [307]
    1. Вычисление матричных элементов [307]
    2. Выражение через углы Эйлера [308]
    3. Различные выражения функций (?) [310]
    4. Зональные сферические функции представлений (?) и функции Лежандра [315]
    5. Присоединенные функции Лежандра [316]
    6. Соотношения симметрии для функции (?) [317]
    7. Функции (?) в целочисленном случае [320]
  § 4. Функциональные соотношения для (?) [322]
    1. Теорема сложения [322]
    2. Целочисленный случай [324]
    3. Теоремы сложения для функций Лежандра [324]
    4. Формула умножения [325]
    5. Рекуррентные формулы [327]
    6. Производящая функция [328]
    7. Континуальная производящая Функция [331]
  § 5. Разложение регулярного представления группы QU(2) [331]
    1. Регулярное представление группы QU(2) [332]
    2. Рекуррентные соотношения и нифинитезимальные операторы [334]
    3. Разложение функций на группе QU(2) [335]
    4. Разложение регулярного представления группы QU(2) на неприводимые [340]
    5. Разложение индуцированных представлений группы QU(2) [342]
    6. Соотношения ортогональности для функций (?) [344]
ГЛАВА VII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
  § 1. Гипергеометрическая функция [345]
    1. Определение [345]
    2. Некоторые соотношения [347]
    3. Некоторые интегралы, выражающиеся через гипергеометрическую функцию [348]
    4. Выражение функций и многочленов Якоби через гипергеометрическую функцию [349]
  § 2. Группа SL(2, R) вещественных унимодулярных матриц второго порядка [350]
    1. Вводные замечания [350]
    2. Параметризация [351]
    3. Алгебра Ли [353]
  § 3. Неприводимые представления группы SL(2, R) [354]
    1. Описание [354]
    2. Другая реализация представлений (?) [356]
    3. Операторы второй реализации представлений (?) [358]
    4. Инфинитезимальные операторы [361]
  § 4. Вычисление ядер представления (?) [363]
    1. Вычисление K(?) и К(?) [363]
    2. Случай треугольных матриц [366]
    3. Общий случай [368]
    4. Некоторые интегральные преобразования, связанные с гипергеометрической функцией [368]
  § 5. Рекуррентные формулы для гипергеометрической функции. Гипергеометрическое уравнение [371]
    1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами представления [371]
    2. Рекуррентные формулы [373]
    3. Гипергеометрическое уравнение [378]
  § 6. Интегральные представления и формула сложения для гипергеометрической функции [379]
    1. Вводные замечания [379]
    2. Интегральные представления [380]
    3. Преобразование Меллина [384]
    4. Теоремы сложения [389]
  § 7. Представления группы вещественных; матриц второго порядка и функции Ганкеля [393]
    1. Новая реализация представлений (?) [393]
    2. Вычисление ядра оператора (?) [395]
ГЛАВА VIII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА
  § 1. Функции Уиттекера и вырожденная гипергеометрическая функция [397]
    1. Определение [397]
    2. Вырожденная гипергеометрическая функция [398]
  § 2. Группа треугольных матриц третьего порядка и ее представления [399]
    1. Алгебра Ли [399]
    2. Разложение по однопараметрическим подгруппам [401]
    3. Неприводимые представления группы (?) [401]
    4. Другая реализация представлений (?) [402]
    5. Инфинитезимальные операторы представлений (?) [405]
    6. Вычисление ядер представлений [405]
  § 3. Функциональные соотношения для функций Уиттекера [408]
    1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами представления [408]
    2. Рекуррентные соотношения [409]
    3. Дифференциальное уравнение Уиттекера [411]
    4. Соотношения симметрии для функций Уиттекера [413]
  § 4. Интегралы, связанные с функциями Уиттекера [415]
    1. Представление Меллина—Бернса [415]
    2. Преобразование Меллина по параметрам [417]
    3. Континуальные теоремы сложения [420]
    4. Двойственные формулы [424]
    5. Вырожденные случаи теорем сложения [425]
  § 5. Многочлены Лагерра и представления группы комплексных треугольных матриц третьего порядка [426]
    1. Определение многочленов Лагерра [426]
    2. Группа комплексных треугольных матриц третьего порядка и многочлены Лагерра [428]
ГЛАВА IX ГРУППА ВРАЩЕНИЙ n-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА
  § 1. Группа SO(n) [430]
    1. Сферические координаты [430]
    2. Описание группы SO(n) [432]
    3. Углы Эйлера [433]
    4. Инвариантное интегрирование [434]
  § 2. Представления класса 1 группы SO(n) и гармонические многочлены [435]
    1. Квазирегулярное представление [435]
    2. Представления в пространствах однородных многочленов [436]
    3. Гармонические многочлены [437]
    4. Инвариантность подпространства (?) [438]
    5. Гармоническая проекция многочлена. Представление в пространстве гармонических многочленов [438]
    6. Каноническое разложение однородных многочленов [441]
    7. Разложение квазирегулярного представления [442]
    8. Разложение сужения представления (?) на подгруппу SO(n-1) [443]
    9. Инфинитезимальные операторы представления (?) [446]
    10. Неприводимость представлений (?) [447]
    11. Полнота системы представлений (?) [450]
  § 3. Зональные сферические функции представлений (?) и многочлены Гегенбауэра [451]
    1. Описание зональных сферических функций [451]
    2. Дифференциальное уравнение и рекуррентные соотношения для многочленов Гегенбауэра [453]
    3. Частные случаи и частные значения многочленов Гегенбауэра [455]
    4. Соотношения ортогональности для многочленов Гегенбауэра [456]
    5. Разложение пространства гармонических многочленов [458]
    6. Построение канонического базиса [460]
    7. Разложение функций на n-мерной сфере [462]
  § 4. Матричные элементы нулевого столбца [463]
    1. Элементы «нулевого столбца» канонической матрицы [463]
    2. Теорема сложения для многочленов Гегенбауэра [466]
    3. Формула умножения для многочленов Гегенбауэра [468]
    4. Реализация представлений (?) в пространстве функций от n—1 переменного [470]
    5. Разложение пространства (?) [472]
    6. Инвариантное скалярное произведение в пространстве (?) [472]
    7. Интегральное представление многочленов Гегенбауэра [476]
    8. Связь между многочленами Гегенбауэра и присоединенными функциями Лежандра [478]
    9. Некоторые разложения по многочленам Гегенбауэра [481]
    10. Другие интегральные представления многочленов Гегенбауэра [482]
    11. Некоторые интегралы, содержащие многочлены Гегенбауэра [483]
    12. Производящая функция для многочленов Гегенбауэра [486]
  § 5. Сферические функции и оператор Лапласа. Полнсферические функции [487]
    1. Оператор Лапласа на сфере [487]
    2. Полносферические координаты [489]
    3. Дифференциал длины дуги и оператор Лапласа в полносферических координатах [492]
    4. Собственные функции оператора Лапласа в полнсферических координатах [493]
ГЛАВА X ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ n-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
  § 1. Псевдоевклидово пространство и гиперболические вращения [498]
    1. Псевдоевклидово пространство [498]
    2. Группа SH(n) [500]
    3. Пространство Лобачевского [501]
    4. Углы Эйлера в группе SH(n) [503]
  § 2. Представления класса 1 группы SH(n) [504]
    1. Описание представлений (?) [504]
    2. Сопряженные представления [506]
    3. Неприводимость представлений (?) при нецелых (?) [508]
    4. Приводимость представления (?) при целых значениях (?) [510]
    5. Условия унитарности представления (?) [511]
    6. Эквивалентность представлений (?) [515]
  § 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы SH(n) [515]
    1. Построение базиса в пространстве (?) [515]
    2. Интегральное представление зональных и присоединенных; сферических функций [517]
    3. Выражение зональной функции через гипергеометрическую функцию [518]
    4. Вычисление присоединенных сферических функций [520]
    5. Теорема сложения для функций Лежандра [523]
    6. Теорема умножения для функций Лежандра [524]
    7. Производящая функция для присоединенных функций Лежандра [525]
  § 4. Разложения представлений группы SH(n) и преобразование Фока—Мелера [526]
    1. Вводные замечания [526]
    2. Инвариантное интегрирование в пространстве Лобачевского и на орисферах [527]
    3. Интегральное преобразование Гельфанда—Граева [528]
    4. Квазирегулярное представление группы SH(n) [529]
    5. Интегральные преобразования функций на гиперболоиде [534]
  § 5. Оператор Лапласа на гиперболоиде. Полисферические и орисферические функции на гиперболоиде [537]
    1. Оператор Лапласа на гиперболоиде [537]
    2. Полисферические координаты на гиперболоиде [х, х]=1 [538]
    3. Орисферические координаты на гиперболоиде [540]
    4. Разделение переменных в орисферических координатах [541]
ГЛАВА XI ГРУППА ДВИЖЕНИЯ «-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
  § 1. Группа М(n) [543]
  § 2. Неприводимые представления класса 1 группы М(n) [544]
    1. Описание представлений (?) [544]
    2. Неприводимость представлений (?) [546]
  § 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы М(n) [546]
    1. Базис в пространстве (?) [546]
    2. Вычисление зональных сферических функций [547]
    3. Присоединенные сферические функции [549]
    4. Теорема сложения для функций Бесселя [550]
    5. Теорема умножения для функций Бесселя [551]
    6. Производящая функция для функций Бесселя [552]
    7. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя [553]
  § 4. Предельный переход по размерности пространства. Многочлены Эрмита [554]
    1. Многочлены Эрмита, как предел многочленов Гегенбауэра [554]
    2. Некоторые свойства многочленов Эрмита [556]
    3. Соотношения ортогональности для многочленов Эрмита [559]
    4. Преобразование Фурье функций (?) [560]
    5. Предельный переход по размерности для группы М(n) [561]
Литература [563]
Примечания и литературные указания [576]
Указатель важнейших обозначений [580]
Предметный указатель [582]
Формат: djvu
Размер:4601166 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 324 Рейтинг
Открыть: