Методы математической физики. Т. 2

Автор(ы):Курант Р., Гильберт Д.
06.10.2007
Год изд.:1937
Описание: В этом томе излагаются некоторые отделы теории дифференциальных уравнений в частных производных, связанные с математической физикой. Даже с этим ограничением я отнюдь не стремился к исчерпывающей полноте. Точнее говоря, здесь рассматриваются преимущественно вопросы, в существо или форму изложения которых мне, как я полагаю, удалось внести нечто новое. При этом преследовалась цель сделать важные ветви анализа более доступными и прозрачными и тем облегчить путь для дальнейших исследований. Этот том, в основном независимый от предыдущего, содержит систематическую теорию дифференциальных уравнений с частными производными, рассматриваемую с точки зрения математической физики. В последней, седьмой, главе приводятся на основе прямых методов вариационного исчисления доказательства существования решений для краевых задач и задач о собственных значениях эллиптических дифференциальных уравнений — в том объеме, в каком эти задачи встречались в предшествующем изложении.
Оглавление:
Методы математической физики. Т. 2 — обложка книги.
Глава I Введение. Основные понятия
  § 1. Представление о многообразии решений [14]
    1. Примеры [14]
    2. Дифференциальные уравнения для заданных семейств функций [19]
  § 2. Системы дифференциальных уравнений [22]
    1. Проблема эквивалентности систем и отельных дифференциальных уравнений [22]
    2. Системы определенные, сверхопределенные, недоопределенные [24]
  § 3. Методы интегрирования для некоторых дифференциальных уравнений частных видов [27]
    1. Разделение переменных [27]
    2. Получение новых решений с помощью суперпозиции (наложения). Основное решение уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона [29]
  § 4. Геометрическое истолкование дифференциального уравнения в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными. Полный интеграл [30]
    1. Геометрическое истолкование дифференциального уравнения в частных производных первого порядка [30]
    2. Полный интеграл [32]
    3. Особые интегралы [33]
    4. Примеры [34]
  § 5. Теория линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка [35]
    1. Линейные дифференциальные уравнения [35]
    2. Квазилинейные дифференциальные уравнения [38]
  § 6. Преобразование Лежандра [39]
    1. Преобразование Лежандра для функции двух переменных [39]
    2. Преобразование Лекандра для функции n переменных [41]
    3. Применение преобразования Лежандра к дифференциальным уравнениям с частными производными [41]
  § 7. Определение решений по их начальным значениям и теорема существования [44]
    1. Формулировка и разъяснение задачи с заданными начальными значениями (задачи Коши) [44]
    2. Приведение к системе квазилинейных дифференциальных уравнений [47]
    3. Определение производных вдоль начального многообразия [50]
    4. Доказательство существования аналитических решений у аналитических дифференциальных уравнений [52]
      Дополнения к главе I
  § 1. Дифференциальное уравнение для опорной функции минимальной поверхности [57]
  § 2. Система дифференциальных уравнений первого порядка и одно дифференциальное уравнение высшего порядка [60]
  § 3. Система двух дифференциальных уравнений первого порядка и одно дифференциальное уравнение второго порядка [61]
  § 4. Параметрическое представление отображений, сохраняющих площадь [63]
Глава II Общая теория дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка
  § 1. Квазилинейные дифференциальные уравнения при двух независимых переменных [66]
    1. Характеристические кривые [66]
    2. Задача Коши [68]
    3. Примеры [70]
  § 2. Квазилинейные дифференциальные уравнения с n независимыми переменными [73]
  § 3. Общие дифференциальные уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными [79]
    1. Характеристические и фокальные кривые [79]
    2. Решение задачи Коши [83]
    3. Характеристики как элементы разветвления. Дополнительные замечания. Интегральный коноид [85]
    4. Связь с теорией полного интеграла [87]
  § 5. Фокальные кривые и уравнение Монжа [89]
  § 6. Примеры [91]
    1. Дифференциальное уравнение (формула) [91]
    2. (формула) [94]
    3. Дифференциальное уравнение Клеро [96]
    4. Дифференциальное уравнение поверхностей каналов [97]
    5. Соотношение однородности [98]
  § 7. Общее дифференциальное уравнение с n независимыми переменными [99]
  § 8. Полный интеграл и теория Гамильтона-Якоби [105]
    1. Образование огибающей и характеристические кривые [105]
    2. Канонический вид характеристических дифференциальных уравнений [108]
    3. Теория Гамильтона-Якоби [109]
    4. Пример. Задача о двух телах [111]
    5. Пример. Геодезические линии на эллипсоиде [113]
  § 9. Теория Гамильтона и вариационное исчисление [114]
    1. Дифференциальные уравнения Эйлера в канонической форме [114]
    2. Геодезическое расстояние или эйконал, его производные и дифференциальное уравнение с частными производными Гамильтона - Якоби [116]
    3. Однородные подннтегральные выражения. Геодезические линии [119]
    4. Поля экстремалей н дифференциальное уравнение Гамильтона [121]
    5. Конус лучей. Построение Гюйгенса (Huyghens) [124]
    6. Инвариантный интеграл Гильберта (Hilbert) для представления эйконала [124]
    7. Теорема Гамильтоиа-Якоби [126]
  § 10. Канонические преобразования и приложения [127]
    1. Каноническое преобразование [127]
    2. Новое доказательство теоремы Якоби [128]
    3. Вариация постоянных (каноническая теория возмущений) [129]
Дополнения к главе II
  § 1. Новое рассмотрение характеристических многообразий [130]
    1. Предварительные формальные замечания по поводу дифференцирования в пространстве n измерений [130]
    2. Задача Коши и характеристические многообразия [132]
  § 2. Системы квазилинейных дифференциальных уравнений с одинаковой главной частью. Новый подход к теории характеристик [137]
Литература к главам I и II [142]
Глава III Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях высших порядков
  § 1. Нормальные формы линейных дифференциальных выражений второго порядка с двумя независимыми переменными [143]
    1. Эллиптические, гиперболические и параболические нормальные формы [143]
    2. Примеры [148]
  § 2. Нормальные формы квазилинейных дифференциальных уравнений [150]
    1. Нормальные формы [150]
    2. Пример. Минимальные поверхности [154]
  § 3. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка в случав многих независимых переменных [156]
    1. Эллиптические, гиперболические и параболические дифференциальные уравнения [156]
    2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами [158]
  § 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка и системы дифференциальных уравнений [159]
    1. Дифференциальные уравнения высшего порядка [160]
    2. Классификация систем дифференциальных уравнений [162]
    3. Замечания о нелинейных задачах [167]
  § 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами [168]
    1. Общие соображения [168]
    2. Плоские волны. Отсутствие искажения. Дисперсия [169]
    3. Примеры: телеграфное уравнение, отсутствие искажения у кабелей [174]
    4. Цилиндрические и сферические волны [175]
  § 6. Задачи с начальными условнами (задачи Коши); проблемы излучения [178]
    1. Задачи Коши в теории теплопроводности. Преобразование тета-функции [178]
    2. Задачи Коши для волнового уравнения [182]
    3. Метод интеграла Фурье для решения задачи Коши [183]
    4. Решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных. Запаздывающие потенциалы [187]
    5. Задачи Коши для волнового уравнения в двух пространственных измерениях. Метод спуска [189]
    6. Проблема излучения [191]
    7. Процессы распространения и принцип Гюйгенса [192]
  § 7. Типичные задачи теории дифференциальных уравнений математической физики [194]
    1. Предварительные замечания. Примеры типичных задач [194]
    2. Принципиальные соображения [199]
    3. Общие замечания о линейных задачах [202]
Дополнения к главе III Нестационарные задачи и операторное исчисление Хивисайда.
  § 1. Нестационарные задачи и решение с помощью интегральных выражений [203]
    1. Пример. Волновое уравнение [203]
    2. Общая постановка задачи [206]
    3. Интеграл Дюамеля [207]
    4. Метод суперпозиции экспоненциальных решений [209]
  § 2. Операторный метод Хивисайда [211]
    1. Простейшие операторы [211]
    2. Примеры [214]
    3. Приложения к теории теплопроводности [218]
    4. Волновое уравнение [219]
    5. Метод обоснования операторного исчисления. Реализация дальнейших операторов [220]
  § 3. К общей теории нестационарных задач [226]
    1. Преобразование Лапласа [226]
    2. Решение нестационарных задач с помощью преобразования Лапласа [229]
    3. Примеры. Уравнение теплопроводности и уравнение кабеля для конечных областей [234]
Литература к дополнениям к главе III [247]
Глава IV Эллиптические дифференциальные уравнения и, в частности, теория потенциала
  § 1. Основы [248]
    1. Дифференциальные уравнения Лапласа, Пуассона и родственные им дифференциальные уравнения [248]
    2. Потенциал распределения массы [252]
    3. Формулы Грина и их применения [256]
    4. Производные потенциала поверхностного распределения массы [263]
  § 2. Интеграл Пуассона и его следствия [265]
    1. Краевая задача и функция Грина [265]
    2. Функция Грина для круга и шара. Интеграл Пуассона для шара и полупространства [268]
    3. Следствия из формулы Пуассона [273]
  § 3. Теорема о среднем значении и ее применения [278]
    1. Однородное, и неоднородное уравнения для среднего значения [278]
    2. Обращение теорем о среднем значении [280]
    3. Уравнение Пуассона для потенциала объемного распределения массы [287]
    4. Теоремы о среднем значении для других эллиптических дифференциальных уравнений [289]
  § 4. Краевая задача [293]
    1. Предварительные замечания. Непрерывная зависимость решения от краевых значений и от области [293]
    2. Решение краевой задачи с помощью альтернирующего процесса [296]
    3. Метод интегральных уравнений для областей с достаточно гладкой границей [302]
    4. Дальнейшие замечания по поводу краевой задачи [306]
  § 5. Краевые задачи для более общих эллиптических дифференциальных уравнений; единственность решений [308]
    1. Линейные дифференциальные уравнения [308]
    2. Квазилинейные дифференциальные уравнения [310]
    3. Теорема Реллиха о дифференциальном уравнении Монжа - Ампера [311]
  § 6. Решение эллиптических дифференциальных уравнений методом интегральных уравнений [314]
    1. Построение решений. Основные решения [314]
    2. Краевая задача [318]
Дополнения к главе IV
    1. Обобщение краевой задачи. Теоремы Винера [321]
    2. Нелинейные дифференциальные уравнения [323]
Литература к главе IV [327]
Глава V Гиперболические дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
  § 1. Характеристики квазилинейных дифференциальных уравнений [329]
    1. Определение характеристик [329]
    2. Характеристики на интегральных поверхностях [334]
    3. Характеристики как линии разрыва. Фронт волны [335]
  § 2. Характеристики дифференциальных уравнений общего вида [338]
    1. Общее дифференциальное уравнение второго порядка [338]
    2. Дифференциальные уравнения высших порядков [341]
    3. Системы дифференциальных уравнений [343]
    4. Инвариантность характеристик относительно любого точечного преобразования [344]
    5. Примеры из гидродинамики [345]
  § 3. Единственность и область зависимости [347]
    1. Основные понятия, связанные с волновыми процессами [347]
    2. Доказательства единственности [348]
  § 4. Метод Римана [352]
    1. Формула Римана [352]
    2. Дополнительные замечания. Характеристическая задача Коши [356]
    3. Пример. Телеграфное уравнение [358]
  § 5. Решение дифференциального уравнения (формула) методом итераций Пикара [359]
    1. Предварительные замечания [359]
    2. Решение задачи Коши [361]
    3. Единственность решения задачи Коши [363]
    4. Непрерывная и дифференцируемая зависимость от параметров [364]
    5. Область зависимости решения [365]
  § 6. Обобщения и применение к системам первого порядка [366]
    1. Системы дифференциальных уравнений второго порядка с одинаковой линейной главной частью [366]
    2. Канонические гиперболические системы первого порядка [367]
  § 7. Общее квазилинейное уравнение второго порядка [368]
    1. Полная система характеристических дифференциальных уравнений [368]
    2. Решение задачи Коши [374]
  § 8. Общее уравнение Р(х, у, u, р, q, r, s, t) = 0 [376]
    1. Квазилинейные системы с одинаковой главной частью [376]
    2. Решение задачи Коши в общем случае [377]
Дополнения к главе V
  § 1. Введение комплексных величин. Переход от гиперболического случая к эллиптическому с помощью комплексных переменных [381]
  § 2. Аналитический характер решений в эллиптическом случае [282]
    1. Предварительное замечание из области теории функций [282]
    2. Аналитический характер решений уравнения (?) = f(х, у, u, р, q) [283]
    3. Замечание относительно общего случая дифференциального уравнения F (x,y, u,p, g, r, s, f)=0 [387]
  § 3. Дальнейшие замечания к теории характеристик в случае двух независимых переменных [387]
  § 4. Особая роль уравнения Монжа-Ампера [389]
Глава VI Гиперболические дифференциальные уравнения со многими независимыми переменными
  § 1. Характеристическое уравнение [392]
    1. Квазилинейные дифференциальные уравнения второго порядка [393]
    2. Линейные дифференциальные уравнения. Характеристические лучи [397]
  § 2. Характеристические многообразия как поверхности разрывов. Фронт волны [403]
    1. Разрывы второго порядка [403]
    2. Фронт волны линейного дифференциального уравнения как геометрическое место разрывов высших порядков [407]
    3. Поведение дифференциального уравнения на характеристическом многообразии. Распространение разрывов вдоль лучей [410]
    4. Физическая интерпретация. Граница тени [413]
    5. Коноид характеристических лучей. Связь с метрикой, риманова пространства [413]
    6. Построение фронта волны по способу Гюйгенса. Конус лучей и направление распространения волны [416]
    7. Конус лучей и конус нормалей [417]
    8. Пример. Волновое уравнение Пуассона в трехмерном пространстве [419]
  § 3. Характеристики дифференциальных уравнений высших порядков [421]
    1. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков [421]
    2. Системы дифференциальных уравнений. Уравнения гидродинамики [424]
    3. Дальнейшие примеры. Кристаллооптика [427]
  § 4. Теоремы единственности и область зависимости для задач Коши [429]
    1. Волновое уравнение [429]
    2. Дифференциальное уравнение (формула) (уравнение Дарбу) [432]
    3. Уравнения Максвелла для эфира [433]
    4. Теорема единственности и область зависимости для дифференциальных уравнений кристаллооптики [434]
    5. Замечания об области зависимости и области влияния. Необходимость условия выпуклости области зависимости [436]
  § 5. Гиперболические линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами [437]
    1. Построение решения [440]
    2. Метод спуска [444]
    3. Исследование решения. Принцип Гюйгенса [446]
    4. Поверка решения [452]
    5. Интегрирование неоднородного уравнения [455]
    6. Проблема излучения [457]
    7. Задача Коши для уравнения (формула) и телеграфного уравнения [463]
  § 6. Метод средних значений. Волновое уравнение и уравнение Дарбу [465]
    1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений [466]
    2. Связь с волновым уравнением и решение волнового уравнения [467]
    3. Задача излучения для волнового уравнения [470]
    4. Теорема Фридрихса [471]
  § 7. Ультрагиперболические дифференциальные уравнения и общие линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами [473]
    1. Общая, теорема о среднем значении Асджейрсона [473]
    2. Другое доказательство теоремы о среднем значении [477]
    3. Применение теоремы о среднем значении к волновому уравнению [477]
    4. Решения характеристической задачи Коши для волнового уравнения [478]
    5. Другие применения. Теорема о среднем значении для софокусных эллипсоидов [480]
  § 8. О негиперболических задачах Коши [482]
    1. Нахождение функции по ее средним значениям на сфере [482]
    2. Применение к задаче Коши [485]
  § 9. Решение задачи Коши методом Адамара [489]
    1. Предварительные замечания. Основное решение. Общий метод [490]
    2. Общее волновое уравнение для случая, когда число измерений пространства m = 2 [497]
    3. Общее волкопое уравнение для случая m = 3 [502]
  § 10. Некоторые замечания о понятии волны и проблеме излучения [509]
    1. Общие замечания. Проходящие волны, распространяющиеся без искажений [509]
    2. Сферические волны [512]
    3. Излучение и принцип Гюйгенса [513]
Дополнения к главе VI 1.
  § 1. Дифференциальные уравнения кристаллооптики [516]
    1. Поверхности нормалей и лучей кристаллооптики [516]
    2. Форма поверхности нормалей [517]
    3. Поверхность лучей [520]
    4. Приведение системы дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению шестого или четвертого порядка [522]
    5. Явный вид решения, получающийся методом Фурье [524]
    6. Исследование разрешающего ядра К(х, t) [525]
    7. Приложение к оптике. Коническая рефракция [527]
  § 2. Области зависимости для задач высших порядков [528]
  § 3. Обобщенный принцип Гюйгенса и продолжаемые начальные условия [531]
  § 4. Замена дифференциальных уравнений интегральными соотношениями. Обобщение понятия характеристик [532]
Глава VII
Применение вариационных методов к решению краевых задач и задач о собственных значениях
  § 1. Введение [537]
    1. Принцип Дирихле для круга [537]
    2. Общая постановка задачи [540]
    3. Линейные функциональные пространства с квадратичной метрикой. Определения [542]
    4. Краевые условия [546]
  § 2. Первая краевая задача [547]
    1. Постановка задачи [547]
    2. Формула Грина. Основное неравенство между D и Н. Единственность [548]
    3. Минимизирующие последовательности и решение краевой задачи [550]
  § 3. Задача о собственных значениях с нулевыми краевыми значениями [552]
    1. Интегральные неравенства [552]
    2. Первая задача о собственных значениях [555]
    3. Собственные значения и собственные функции высших порядков. Полнота [556]
  § 4. Характер приближения к краевым значениям в случае двух независимых переменных [559]
  § 5. Построение предельных функций и свойства сходимости интегралов Е, D и Н [562]
    1. Построение предельных функций [562]
    2. Свойства сходимости интегралов D и Н [570[]
  § 6. Краевые условия второго и третьего рода. Краевая задача [573]
    1. Формула Грина и краевые условия [573]
    2. Формулировка краевой задачи и вариационной задачи. Краевая задача III [575]
    3. Ограничение класса допустимых областей [576]
    4. Эквивалентность вариационной задачи и краевой задачи. Единственность [577]
    5. Решение вариационной задачи и краевой задачи [578]
  § 7. Задача о собственных значениях для краевых условий второго и третьего рода [578]
  § 8. Исследование областей, рассматриваемых при краевых условиях второго и третьего рода [581]
    1. Области типа (?) [581]
    2. Необходимость ограничительных условий для рассматриваемых областей [586]
  § 9. Дополнения и задачи [588]
    1. Функция Грина для Ди [588]
    2. Особенность типа биполя [590]
    3. Поведение на границе решения уравнения (?) = О с двумя независимыми переменными при краевом условии второго рода [591]
    4. Непрерывная зависимость от области [591]
    5. Распространение теории на неограниченные области G [592]
    6. Применение вариационного метода к дифференциальным уравнениям четвертого порядка. Поперечные деформации и колебания пластинок [593]
    7. Первая краевая задача и соответствующая задача о собственных значениях в плоской теории упругости [595]
    8. Другой метод построения предельной функции [598]
  § 10. Задача Плато [600]
    1. Постановка задачи и общая схема решения [601]
    2. Доказательство вариационных условий [604]
    3. Существование решения вариационной задачи [606]
Дополнительная литература [610]
Примечания переводчиков [611]
Предметный и именной указатели [613]
Формат: djvu
Размер:8219245 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 239 Рейтинг
Открыть: