Методы математической физики. Т. 1

Автор(ы):Курант Р., Гильберт Д.
06.10.2007
Год изд.:1937
Описание: В книге описаны алгебра линейных преобразований и квадратичных форм, задача о разложении в ряд произвольных функций, теория линейных интегральных уравнений, основные понятия вариационного исчисления, проблемы колебаний и задачи о собственных значениях в математической физике, применение вариационного исчисления к задачам о собственных значениях, а также специальные функции, к которым приводят задачи о собственных значениях.
Оглавление:
Методы математической физики. Т. 1 — обложка книги.
ГЛАВА I.
АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ и КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ.
  § 1. Линейные уравнения и линейные преобразования [1]
    1. Векторы [1]
    2. Ортогональные системы векторов. Полнота системы [3]
    3. Линейные преобразования, матрицы [5]
    4. Билинейные формы, квадратичные и эрмитовы формы [10]
    5. Ортогональные и унитарные преобразования [12]
  § 2. Линейные преобразования с линейным параметром [14]
  § 3. Преобразования к главным осям квадратичных и эрмитовых форм [20]
    1. Проведение преобразования к главным осям на основании принципа максимума [20]
    2. Характеристические числа и собственные значения [23]
    3. Обобщение на эрмитовы формы [24]
    4. Закон инерции квадратичных форм [25]
    5. Выражение для резольвенты формы [26]
    6. Решение системылинейных уравнений, соответствующей данной форме [27]
  § 4. Минимально - максимальное свойство собственных значений [28]
    1. Определение характеристических чисел с помощью задачи о наименьшем значении максимума [28]
    2. Применения [29]
  § 5. Дополнения и задачи к первой главе [31]
    1. Линейная независимость и определитель Грама [31]
    2. Теорема Адамара об оценке определителя [32]
    3. Одновременное преобразование двух квадратичных форм к каноническому виду [33]
    4. Билинейные и квадратичные формы от бесконечно большого числа переменных [35]
    5. Бесконечно малые линейные преобразования [35]
    6. Варьированные системы [36]
    7. Наложение связи [38]
    8. Элементарные делители матрицы или билинейной формы [39]
    9. Спектр унитарной матрицы [39]
      Литература к гл. I [40]
ГЛАВА II.
ЗАДАЧА о РАЗЛОЖЕНИИ в РЯД ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
  § 1. Ортогональные системы функций [42]
    1. Определения [42]
    2. Ортогонализация функций [43]
    3. Неравенство Бесселя. Условие полноты системы. Аппроксимирование в среднем [44]
    4. Ортогональные и унитарные преобразования бесконечно большого, числа переменных [48]
    5. Справедливость результатов в случае нескольких независимых переменных. Расширение предпосылок [49]
    6. Построение полных систем функций от многих переменных [49]
  § 2. Принцип предельных точек в функциональном простравстве [50]
    1. Сходимость в функциональном пространстве [50]
  § 3. Мера независимости и число измерений [55]
    1. Мера независимости [55]
    2. Асимптотическое число измерений последовательности функций [56]
  § 4. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании. Полнота системы степеней и системы тригонометрических функций [55]
    1. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании [58]
    2. Распространение на функции от многих переменных [61]
    3. Аппроксимирование производных [61]
    4. Полнота системы тригонометрических функций [61]
  § 5. Ряды Фурье [62]
    1. Доказательство основной теоремы [62]
    2. Кратные ряды Фурье [66]
    3. Порядок коэфициентов Фурье [67]
    4. Растяжение основной области [67]
      Примеры [68]
  § 6. Интеграл Фурье [70]
    1. Доказательство основной теоремы [70]
    2. Распространение формулы на случай многих переменных [73]
    3. Взаимно обратные формулы [74]
  § 7. Примеры на интеграл Фурье [75]
    1. Интегральная формула Фурье [75]
    2. Разрывный множитель Дирихле [75]
  § 8. Полиномы Лежандра [77]
    1. Построение путем ортогонализации степеней 1, x, (?) [77]
    2. Производящая функция [79]
    3. Дальнейшие свойства [79]
  § 9. Примеры других ортогональных систем [80]
    1. Обобщение постановки вопроса, приводящей к полиномам Лежандра [80]
    2. Полиномы Чебышева [81]
    3. Полиномы Якоби [83]
    4. Полиномы Эрмита [84]
    5. Полиномы Лагерра [86]
    6. Полнота системы полиномов Лагерра и Эрмита [88]
  § 10. Дополнения и задачи ко второй главе [90]
    1. Решение Гурвица для изопериметрической задачи [90]
    2. Взаимно обратные формулы [91]
    3. Интеграл Фурье и сходимость в среднем [91]
    4. Спектральное разложение с помощью ряда Фурье и интеграла Фурье [92]
    5. Плотные системы функций [93]
    6. Теорема Г. Мюнца о полноте системы степеней [94]
    7. Теорема Фейера [94]
    8. Формулы обращения Мелина [95]
    9. Явление Гиббса [98]
    10. Теорема об определителе Грама [100]
    11. Применение понятия интеграла Лебега [100]
      Литература к гл. II [103]
ГЛАВА III.
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
  § 1. Предварительные соображения [104]
    1. Обозначения и основные понятия [104]
    2. Истокообразно представленные функции [105]
    3. Выродившиеся ядра [106]
  § 2. Теоремы Фредгольм а для выродившегося ядра [107]
  § 3. Теоремы Фредгольмадляпроизв&льного ядра [109]
  § 4. Симметрические ядра и их собственные значения [113]
    1. Существование собственного значения у симметрического ядра [113]
    2. Совокупность собственных функций и собственных значений [116]
    3. Максимально-минимальное свойство собственных значений [122]
  § 5. Теорема о разложении и ее применения [124]
    1. Теорема о разложении [124]
    2. Решение неоднородного линейного интегрального уравнения [126]
    3. Билинейная формула для итерированных ядер [127]
    4. Теорема Мерсера [128]
  § 6. Ряд Неймана и разрешающее ядро [130]
  § 7. Формулы Фредгольма [132]
  § 8. Новое обоснование теории [136]
    1. Лемма [136]
    2. Собственные функция симметрического ядра [137]
    3. Несимметрические ядра [138]
    4. Непрерывная зависимость собственных значений и собственных функций от ядра [139]
  § 9. Расширение границ приложимости теории [140]
  § 10. Дополнения и задачи к третьей главе [142]
    1. Примеры [142]
    2. Особенные интегральные уравнения [142]
    3. Метод Шмидта для вывода теорем Фредгольма [143]
    4. Метод Энскога для решения симметрических интегральных уравнений [144]
    5. Метод Келлога для определения собственных функций [145]
    6. Символические функции ядра и их собственные значения [145]
    7. Пример несимметрического ядра, не имеющего собственных функций [145]
    8. Интегральные уравнения Вольтерры [146]
    9. Интегральное уравнение Абеля [146]
    10. Взаимно сопряженнце ортогональные системы, принадлежащие несимметрическому ядру [147]
    11. Интегральные уравнения первого рода [147]
    12. Метод бесконечно большого-числа переменных [148]
    13. Минимальные свойства собственных функций [149]
    14. Полярные интегральные уравнения [149]
    15. Ядра, допускающие симметризацию [150]
    16. Определение разрешающего ядра посредством функциональных уравнений [150]
    17. Непрерывность определенных ядер [150]
    18. Теорема Гамерштейна [150]
      Литература к гл. III [150]
ГЛАВА IV.
ОСНОВНЫЕ понятия ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
  § 1. Постановка задачи вариационного исчисления [152]
    1. Maxima и minima функций [153]
    2. Функционалы [155]
    3. Типичные примеры задач вариационного исчисления [167]
    4. Характерные трудности вариационного исчисления [161]
  § 2. Прямые методы [162]
    1. Изопериметрическая задача [162]
    2. Метод Ритца. Минимальные последовательности [163]
    3. Дальнейшие прямые методы. Метод конечных приращений. Бесконечное число независимых переменных [165]
    4. Соображения общего характера относительно прямых методов вариационного исчисления [171]
  § 3. Уравнения Эйлера [173]
    1. Простейшая проблема вариационного исчисления [173]
    2. Случай многих неизвестных функций [177]
    3. Выражения, содержащие производные высших порядков [179]
    4. Случай многих независимых переменных [180]
    5. Тождественное обращение в нуль диференциального выражения Эйлера [182]
    6. Однородная форма диференциальных уравнений Эйлера [186]
    7. Вариационные проблемы с расширенными условиями допустимости. Теоремы Дюбуа-Реймона и Гаара [189]
    8. Другие вариационные задачи и их функциональные уравнения [195]
  § 4. Замечания относительно интегрирЬвания дифереициального уравнения Эйлера. Примеры [196]
  § 5. Граничные условия [198]
    1. Естественные граничные условия в задачах со свободной вариацией на границе [198]
    2. Геометрические задачи. Трансверсальность [201]
  § 6. Вторая вариация и условие Лежандра [205]
  § 7. Вариационные задачи с дополнительными условиями [207]
    1. Изопериметрические задачи [207]
    2. Конечные дополнительные условия [210]
    3. Диференциальные уравнения в качестве дополнительных условий [212]
  § 8. Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера [213]
    1. Выражение Эйлера как градиент в функциональном пространстве. Инвариантность выражения Эйлера [213]
    2. Преобразования выражения (?). Полярные координаты [216]
    3. Эллиптические координаты [217]
  § 9. Приведение вариационных задач к каноническому и инволюционному виду [222]
    1. Преобразование обыкновенных задач минимума с добавочным условием [222]
    2. Инволюционное преобразование простейшей вариационной задачи [224]
    3. Приведение вариационной задачи к каноническому виду [229]
    4. Обобщения [230]
  § 10. Вариационное исчисление и диференциаль-ные уравнения математической физики [233]
    1. Общие соображения [233]
    2. Колебания струны и стержня [235]
    3. Мембрана и пластинка [237]
  § 11. Дополнения и задачи кчетвертой главе [243]
    1. Вариационная задача, соответствующая заданному диференциальному уравнению [243]
    2. Закон взаимности изопериметрических задач [243]
    3. Световые лучи, имеющие форму Окружности [243]
    4. Задача Дидоны [243]
    5. Пример пространственной вариационной задачи [244]
    6. Изопериметрическая задача на поверхности [244]
    7. Индикатрисса и ее применения [244]
    8. Вариация при переменной области интегрирования [246]
    9. Теоремы Э. Нэтер относительно инвариантных вариационных проблем. Интегралы диференцяальных уравнений механики [248]
    10. Трансверсальность для случая кратных интегралов [252]
    11. Диференциальные выражения Эйлера на произвольной поверхности [252]
    12. Принцип Томсона в электростатике [253]
    13. Проблемы равновесия упругого тела. Принцип Кастильано [253]
    14. Принцип Кастильано в теории балок [256]
    15. Вариационная задача о продольном изгибе стержня [257]
      Литература к гл. IV [259]
ГЛАВА V.
ПРОБЛЕМЫ КОЛЕБАНИЙ и ЗАДАЧИ о СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ.
  § 1. Предварительные замечания о линейных диференциальных уравнениях [260]
    1. Общие замечания. Принцип наложения [260]
    2. Однородные и неоднородные задачи. Краевые условия [262]
    3. Формальные соотношения. Сопряженные диференциальные выражения. Формулы Грина [262]
    4. Линейные функциональные уравнения, как предельные случаи и аналоги систем линейных уравнений [265]
  § 2. Системы с конечным числом степеней свободы [266]
    1. Собственные колебания. Нормальные координаты. Общая теория процесса [266]
    2. Общие свойства колебательных систем [270]
  § 3. Колебания струны [271]
    1. Свободные колебания однородной струны [271]
    2. Вынужденные движения [274]
    3. Общий случай неоднородной струны и задача Штурм-Лиувилля [275]
  § 4. Колебания стержня [279]
  § 5. Колебания мембраны [281]
    1. Общая задача об однородной мембране [281]
    2. Вынужденные движения [283]
    3. Узловые линии [284]
    4. Прямоугольная мембрана [284]
    5. Круговая мембрана. Бесселевы функции [286]
    6. Неоднородная мембрана [289]
  § 6. Колебания пластинки [290]
    1. Общие соображения [290]
    2. Круговая пластинка [290]
  § 7. Общие соображения о методе собственных функций [291]
    1. Применение метода в задачах о колебаниях и в задачах о равновесии [291]
    2. Задачи о собственных значениях в теории теплопроводности [294]
    3. Другие вопросы, приводящие к задачам о собственных значениях [295]
  § 8. Колебания трехмерных континуумов [296]
  § 9. Краевые задачи теории потенциала и собетвенные функции [297]
    1. Окружность, сфера, сферический слой [298]
    2. Цилиндрическая область [301]
    3. Задача Ламе [301]
  § 10. Задачи штурм-лиувиллевского типа. Особые краевые точки [306]
    1. Бесселевы функции [306]
    2. Функции Лежандра любого порядка [307]
    3. Полиномы Якоби и Чебышева [309]
    4. Полиномы Эрмита и Лагерра [310]
  § 11. Об асимптотическом поведении решений штурм-лиувиллевских диференциальных уравнений [312]
    1. Ограниченность при бесконечном возрастании независимого переменного [312]
    2. Уточнение результата (бесселевы функции) [313]
    3. Ограниченность решений при возрастании параметра [315]
    4. Асимптотическое выражение решений [316]
    5. Асимптотическое выражение штурм-лиувиллевских фундаментальных функций [317]
  § 12. Краевые задачи с непрерывным спектром собственных значений [320]
    1. Тригонометрические функции [321]
    2. Бесселевы функции [321]
    3. Задача о собственных значениях уравнения колебания для бесконечной плоскости [321]
    4. Задача Шрёдингера о собственных значениях [322]
  § 13. Теория возмущений [324]
    1. Простые собственные значения [324]
    2. Кратные собственные значения [326]
    3. Пример к теории возмущений [328]
  § 14. Функция Грина (функция влияния). Приведение задач с диференциальными уравнениями к интегральным уравнениям [330]
    1. Функция Грина и краевая задача для обыкновенных диференциальных уравнений [330]
    2. Построение функции Грина и обобщенная функция Грина [334]
    3. Эквивалентность задачи с диференциальным уравнением задаче решения соответствующего интегрального уравнения [337]
    4. Обыкновенные диференциальиые уравнения высшего порядка [341]
    5. Диференциальные уравнения с частными производными [342]
  § 15. Примеры функции Грина [349]
    1. Обыкновенные Диференциальные уравнения [349]
    2. Функция Грина выражения (?) для круга и шара [354]
    3. Функция Грина и конформное отображение [356]
    4. Функция Грина уравнения потенциала для шаровой поверхности [356]
    5. Функция Грина уравнения (формула) для прямоугольного параллелепипеда [357]
    6. Функция Грина уравнения (формула) для внутренней области прямоугольника [362]
    7. Функция Грина для кругового кольца [364]
  § 16. Дополнения к пятой главе [366]
    1. Примеры на колебания струны [366]
    2. Колебания свободно свисающего каната и бесселевы функции [368]
    3. Дальнейшие примеры случаев колебательного уравнения, разрешимых в явном виде. Функции Матье [369]
    4. Параметры в краевых условиях [370]
    5. Тензоры Грина для систем диференциальных уравнений [371]
    6. Аналитическое продолжение решения уравнения (формула) [372]
    7. Теорема об узловых линиях решения уравнения (формула) [372]
    8. Пример собственного значения бесконечно большой кратности [372]
    9. Границы применимости теорем разложения [372]
      Литература к гл. V [373]
Глава VI.
ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ к ЗАДАЧАМ о СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ.
  § 1. Экстремальные свойства собственных значений [375]
    1. Классические экстремальные свойства [375]
    2. Дополнения и обобщения [379]
    3. Задачи о собственных значениях для областей, состоящих из отдельных несвязанных кусков [382]
    4. Максимально-минимальное Свойство собственных значений [383]
  § 2. Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений [384]
    1. Общие теоремы [384]
    2. Неограниченное возрастание собственных значений [390]
    3. Асимптотическое поведение собственных значений для задачи Штурм-Лиувилля [392]
    4. Диференциальные уравнения, имеющие особые точки [393]
    5. Дальнейшие замечания относительно возрастания собственных значений. Случай, когда имеются отрицательные собственные значения [394]
    6. Свойства непрерывности собственных значений [396]
  § 3. Теорема о полноте системы собственных функций и теоремао разложении [402]
    1. Полнота системы собственных функций [402]
    2. Теорема о разложении [404]
    3. Обобщение теоремы о разложении [405]
  § 4. Асимптотическое распределение собственных значений [407]
    1. Диференциальное уравнение (формула) для прямоугольника [407]
    2. Диференциальное уравнение (формула) для областей, состоящих из конечного числа квадратов или кубов [409]
    3. Распространение полученного результата на общее диференциальное уравнение (формула) [412]
    4. Законы асимптотического распределения собственных значений для произвольной области [414]
    5. Законы асимптотического распределения собственных значений диференциального уравнения (формула) в уточненной форме [421]
  § 5.3адачи о собственных значениях Шрёдингеровского типа [423]
  § б. Узлы собственных функций [429]
  § 7.Дополнения и задачи к шестой главе [434]
    1. Вывод минимальных свойств собственных значений из их полноты [434]
    2. Отсутствие нулей у первой собственной функции [436]
    3. Другие минимальные свойства собственных значений [437]
    4. Асимптотическое распределение собственных значений для случая колебания пластинки [438]
    5 — 7. Задачи [438]
    8. Задачи с граничными условиями, содержащими параметр (?) [438]
    9. Задачи о собственных значениях для замкнутых поверхностей [439]
    10. Оценка собственных значений в случае наличия особых точек [439]
    11. Минимальное свойство круглой мембраны или пластинки [441]
    12. Проблема минимума для случая неравномерного распределения масс [441]
    13. Узловые точки для задачи Штурм-Лиувилля и принцип максимума минимумов [442]
      Литература к гл. VI 443.
ГЛАВА VII.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ, к КОТОРЫМ ПРИВОДЯТ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ.
  § 1. Предварительные замечания относительно линейных диференц иальных уравнений второго порядка [444]
  § 2. Функции Бесселя [445]
    1. Интегральное преобразование [446]
    2. Функции Ганкеля [447]
    3. Бесселевы функции и функции Неймана [448]
    4. Выражение бесселевых функций в виде интегралов [451]
    5. Другое выражение функций Гайкеля и бесселевых функций в виде интегралов [454]
    6. Разложение бесселевых функций в степенные ряды [460]
    7. Соотношения между бесселевыми функциями [463]
    8. Нули бесселевых функций [469]
    9. Функции Неймана [473]
  § 3. Шаровые функции Лежандра [477]
    1. Интеграл Шлёфли [477]
    2. Интегральные выражения Лапласа [479]
    3. Функции Лежандра второго рода [480]
    4. Сопряженные шаровые функции (функции Лежандра высшего порядка) [481]
  § 4. Применение метода интегральных преобразований кдиференциальным уравнениям Лежандра, Чебышева, Эрмита и Лагерра [481]
    1. Функции Лежандра [481]
    2. Функции Чебышева [483]
    3. Функции Эрмита [484]
    4. Функции Лагерра [484]
  § 5. Шаровые функции Лапласа [485]
    1. Нахождение 2n +1 шаровых функций n-го порядка [486]
    2. Полнота полученной системы функций [487]
    3. Теорема о разложении [488]
    4. Интеграл Пуассона [488]
    5. Выражение шаровых функций Максвелла - Сильвестра [489]
  § 6. Асимптотические разложения [496]
    1. Формула Стирлинга [496]
    2. Асимптотическое вычисление функций Ганкеля и Бесселя для больших значений аргумента [498]
    3. Метод перевала [501]
    4. Применение метода перевала к вычислению функций Ганкеля и Бесселя для больших значений параметра и больших значений аргумента [502]
    5. Общие замечания по поводу метода перевала [606]
    6. Метод Дарбу [506]
    7. Применение метода Дарбу к асимптотическому разложению полиномов Лежандра [507]
Примечания [509]
Предметный указатель [519]
Формат: djvu
Размер:6014880 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 263 Рейтинг
Открыть: