Основы вычислительной математики

Автор(ы):Демидович Б. П., Марон И. А.
27.01.2023
Год изд.:1960
Описание: «Бурное развитие новейшей техники и все большее внедрение современных разделов математики в инженерные исследования неизмеримо повысили требования к математической подготовке инженеров и научных работников, занимающихся прикладными вопросами. Математическое образование инженера-исследователя в настоящее время не может ограничиться традиционными разделами так называемого «классического анализа», сложившегося, в основных своих направлениях, к началу нашего века. От инженера, работающего в научно-исследовательском институте, требуется теперь знание многих разделов современной математики и в первую очередь основательное владение методами и приемами вычислительной математики, так как решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата…»
Оглавление:
Основы вычислительной математики — обложка книги. Обложка книги.
Предисловие [9]
Введение. Общие правила вычислительной работы [13]
Глава I. Приближенные числа [17]
  § 1. Абсолютная и относительная погрешности [17]
  § 2. Основные источники погрешностей [20]
  § 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра.Число верных знаков [21]
  § 4. Округление чисел [24]
  § 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа [25]
  § 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот [28]
  § 7. Погрешность суммы [31]
  § 8. Погрешность разности [33]
  § 9. Погрешность произведения [35]
  § 10. Число верных знаков произведения [37]
  § 11. Погрешность частного [38]
  § 12. Число верных знаков частного [39]
  § 13. Относительная погрешность степени [39]
  § 14. Относительная погрешность корня [39]
  § 15. Вычисления без точного учета погрешностей [40]
  § 16. Общая формула для погрешности [41]
  § 17. Обратная задача теории погрешностей [43]
  § 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей [46]
  § 19. Способ границ [48]
  § 20. Понятие о вероятностной оценке погрешности [51]
  Литература к первой главе [52]
Глава II. Некоторые сведения из теории цепных дробей [53]
  § 1. Определение цепной дроби [53]
  § 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно [54]
  § 3. Подходящие дроби [56]
  § 4. Бесконечные цепные дроби [64]
  § 5. Разложение функций в цепные дроби [70]
  Литература ко второй главе [73]
Глава III. Вычисление значений функций [74]
  § 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера [74]
  § 2. Обобщенная схема Горнера [77]
  § 3. Вычисление значений рациональных дробей [79]
  § 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов [80]
  § 5. Вычисление значений аналитической функции [86]
  § 6. Вычисление значений показательной функции [88]
  § 7. Вычисление значений логарифмической функции [92]
  § 8. Вычисление значений тригонометрических функций [95]
  § 9. Вычисление значений гиперболических функций [98]
  § 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции [100]
  § 11. Вычисление обратной величины [101]
  § 12. Вычисление квадратного корня [ 104]
  § 13. Вычисление обратной величины квадратного корня [108]
  § 14. Вычисление кубического корня [108]
  Литература к третьей главе [111]
Глава IV. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений [112]
  § 1. Отделение корней [112]
  § 2. Графическое решение уравнений [116]
  § 3. Метод половинного деления [118]
  § 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд) [119]
  § 5. Метод Ньютона (метод касательных) [123]
  § 6. Видоизмененный метод Ньютона [131]
  § 7. Комбинированный метод [132]
  § 8. Метод итерации [135]
  § 9. Метод итерации для системы двух уравнений [148]
  § 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений [152]
  § 11. Метод Ньютона для случая комплексных корней [153]
  Литература к четвертой главе [157]
Глава V. Специальные приемы для приближенного решения алгебраических уравнений [158]
  § 1. Общие свойства алгебраических уравнений [158]
  § 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений [163]
  § 3. Метод знакопеременных сумм [165]
  § 4. Метод Ньютона [167]
  § 5. Число действительных корней полинома [169]
  § 6. Теорема Бюдана — Фурье [171]
  § 7. Идея метода Лобачевского — Греффе [176]
  § 8. Процесс квадрирования корней [178]
  § 9. Метод Лобачевского — Греффе для случая действительных различных корней [180]
  § 10. Метод Лобачевского — Греффе для случая комплексных корней [183]
  § 11. Случай пары комплексных корней [186]
  § 12. Случай двух пар комплексных корней [190]
  § 13. Метод Бернулли [195]
  Литература к пятой главе [198]
Глава VI. Улучшение сходимости рядов [199]
  § 1. Улучшение сходимости числовых рядов [199]
  § 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера — Абеля [205]
  § 3. Оценки коэффициентов Фурье [210]
  § 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье методом А. Н. Крылова [213]
  § 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов [222]
  Литература к шестой главе [224]
Глава VII. Алгебра матриц [225]
  § 1. Основные определения [225]
  § 2. Действия с матрицами [226]
  § 3. Транспонированная матрица [230]
  § 4. Обратная матрица [231]
  § 5. Степени матрицы [236]
  § 6. Рациональные функции матрицы [237]
  § 7. Абсолютная величина и норма матрицы [238]
  § 8. Ранг матрицы [244]
  § с9. Предел матрицы [245]
  § 10. Матричные ряды [247]
  § 11. Клеточные матрицы [252]
  § 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки [255]
  § 13. Треугольные матрицы [260]
  § 14. Элементарные преобразования матриц [263]
  § 15. Вычисление определителей [264]
  Литература к седьмой главе [267]
Глава VIII. Решение систем линейных уравнений [268]
  § 1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений [268]
  § 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера [268]
  § 3. Метод Гаусса [272]
  § 4. Уточнение корней [279]
  § 5. Метод главных элементов [281]
  § 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей [283]
  § 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса [285]
  § 8. Метод квадратных корней [287]
  § 9. Схема Халецкого [290]
  § 10. Метод итерации [294]
  §11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации [301]
  § 12. Метод Зейделя [303]
  § 13. Случай нормальной системы [305]
  § 14. Метод релаксации [307]
  § 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы [310]
  Литература к восьмой главе [314]
Глава IX. Сходимость итерационных процессов для систем линейных уравнений [315]
  § 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации [315]
  § 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации [317]
  § 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя [320]
  § 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по m-норме 322]
  § 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя [323]
  § 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по l-норме [325]
  § 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя [326]
  Литература к девятой главе [328]
Глава X. Основные сведения из теории линейных векторных пространств [329]
  § 1. Понятие линейного векторного пространства [329]
  § 2. Линейная зависимость векторов [330]
  § 3. Скалярное произведение векторов [335]
  § 4. Ортогональные системы векторов [333]
  § 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса [340]
  § 6. Ортогональные матрицы [342]
  § 7. Ортогонализация матриц [343]
  § 8. Применение методов ортогонализации к решению систем линейных уравнений [351]
  § 9. Пространство решений однородной системы [355]
  § 10. Линейные преобразования переменных [359]
  § 11. Обратное преобразование [365]
  § 12. Собственные векторы и собственные значения матрицы [367]
  § 13. Подобные матрицы [372]
  § 14. Билинейная форма матрицы [375]
  § 15. Свойства симметрических матриц [376]
  § 16. Свойства матриц с действительными элементами [381]
  Литература к десятой главе [385]
Глава XI. Дополнительные сведения о сходимости итерационных процессов для систем линейных уравнений [386]
  § 1. Сходимость матричных степенных рядов [386]
  § 2. Тождество Гамильтона — Кели [389]
  § 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса итерации для системы линейных уравнений [396]
  § 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зейделя для системы линейных уравнений [392]
  § 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы [395]
  § 6. Способы эффективной проверки условий сходимости [397]
  Литература к одиннадцатой главе [401]
Глава XII. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы [402]
  § 1. Вводные замечания [402]
  § 2. Развертывание вековых определителей [402]
  § 3. Метод А. М. Данилевского [404]
  § 4. Исключительные случаи в методе А. М. Данилевского [410]
  § 5. Вычисление собственных векторов по методу А. М. Данилевского [411]
  § 6. Метод А. Н. Крылова [412]
  § 7. Вычисление собственных векторов по методу А. Н. Крылова [416]
  § 8. Метод Леверрье [417]
  § 9. Понятие о методе неопределенных коэффициентов [419]
  § 10. Сравнение различных методов развертывания векового определителя [421
  § 11. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора [421]
  § 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого собственного значения действительной матрицы [428]
  § 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второго собственного вектора [431]
  § 14. Метод исчерпывания [434]
  § 15. Нахождение собственных элементов положительно определенной симметрической матрицы [437]
  § 16. Использование коэффициентов характеристического полинома матрицы для ее обращения [442]
  § 17. Метод Л. А. Люстерника улучшения сходимости процесса итерации для решения системы линейных уравнений [444]
  Литература к двенадцатой главе [449]
Глава XIII. Приближенное решение систем нелинейных уравнений [450]
  § 1. Метод Ньютона [450]
  § 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона [456]
  § 3. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона [460]
  § 4. Быстрота сходимости процесса Ньютона [465]
  § 5. Единственность решения [466]
  § 6. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьировании начального приближения [469]
  § 7. Модифицированный метод Ньютона [471]
  § 8. Метод итерации [474]
  § 9. Понятие о сжимающем отображении [477]
  § 10. Первое достаточное условие сходимости процесса итерации [481]
  § 11. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации [483]
  § 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений [490]
  § 14. Метод степенных рядов [494]
  Литература к тринадцатой главе [496]
Глава XIV. Интерполирование функций [497]
  § 1. Конечные разности различных порядков [497]
  § 2. Таблица разностей [500]
  § 3. Обобщенная степень [505]
  § 4. Постановка задачи интерполирования [507]
  § 5. Первая интерполяционная формула Ньютона [508]
  § 6. Вторая интерполяционная формула Ньютона [514]
  § 7. Таблица центральных разностей [518]
  § 8. Интерполяционные формулы Гаусса [519]
  § 9. Интерполяционная формула Стирлинга [521]
  § 10. Интерполяционная формула Бесселя [521]
  § 11. Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом [524]
  § 12. Интерполяционная формула Лагранжа [527]
  § 13. Вычисление лагранжевых коэффициентов [531]
  § 14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа [535]
  § 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона [537]
  § 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул [539]
  § 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования [540]
  § 18. Разделенные разности [542]
  § 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента [544]
  § 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов [547]
  § 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих узлов [550]
  § 22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования [551]
  § 23. Метод интерполяции для развертывания векового определителя [553]
  § 24. Интерполирование функций двух переменных [555]
  § 25. Двойные разности высших порядков [557]
  § 26. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух переменных [558]
  Литература к четырнадцатой главе [561]
Глава XV. Приближенное дифференцирование [562]
  § 1. Постановка вопроса [562]
  § 2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона [563]
  § 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формуле Стирлинга [567]
  § 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выраженные через значения функции в этих точках [571]
  § 5. Графическое дифференцирование [574]
  § 6. Понятие о приближенном вычислении частных производных [575]
  Литература к пятнадцатой главе [576]
Глава XVI. Приближенное интегрирование функций [577]
  § 1. Общие замечания [577]
  § 2. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса [580]
  § 3. Формула трапеций и ее остаточный член [582]
  § 4. Формула Симпсона и ее остаточный член [583]
  § 5. Формулы Ньютона — Котеса высших порядков [586]
  § 6. Общая формула трапеций (правило трапеций) [588]
  § 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула) [589]
  § 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева [593]
  § 9. Квадратурная формула Гаусса [597]
  § 10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул [604]
  § 11. Экстраполяция по Ричардсону [607]
  § 12. Числа Бернулли [611]
  § 13. Формула Эйлера — Маклорена [613]
  § 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов [618]
  § 15. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей [621]
  § 16. Графическое интегрирование [624]
  § 17. Понятие о Кубатурных формулах [627]
  § 18. Кубатурная формула типа Симпсона [629]
  Литература к шестнадцатой главе [633]
Глава XVII. Метод Монте-Карло [634]
  § 1. Идея метода Монте-Карло [634]
  § 2. Случайные числа [635]
  § 3. Способы получения случайных чисел [638]
  § 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло [641]
  § 5. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Монте-Карло [650]
  Литература к семнадцатой главе [658]
Формат: djvu + ocr
Размер:17878839 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 130 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU)