Основы классического и современного математического анализа
| Автор(ы): | Ляшко И. И., Емельянов В. Ф., Боярчук А. К.
21.12.2023
|
| Год изд.: | 1988 |
| Описание: | В пособии изложен математический анализ с основами теории функций комплексной и действительной переменных, а также некоторые разделы функционального анализа. Дифференциальное исчисление построено на идеях Ферма - Лагранжа. В интегральном исчислении введен в рассмотрение интеграл Ньютона - Лейбница и показаны его приложения. Проведено сравнение интегралов Ньютона - Лейбница, Коши, Римана, Дарбу и Лебега. По-новому излагаются теории интеграла Лебега, рядов Фурье обобщенных функций, дифференциальных форм и другие вопросы. Теоретический материал иллюстрируется многими примерами. Даны упражнения для самостоятельного решения. Для студентов математических специальностей университетов. |
| Оглавление: |
Обложка книги.
1. Грани множеств и предел последовательности [9] §1. Элементы теории множеств и отображений [9] §2. Отношение порядка. Понятие частично упорядоченного пространства [22] §3. Верхняя и нижняя грани множества в частично упорядоченном пространстве [23] §4. Топология упорядоченного пространства [26] §5. Топологическое свойство граней множества. Полные пространства [28] §6. Последовательность, ее предел и порядковые свойства предела [30] §7. Связь между гранями множеств и пределом последовательности. Теорема Вейерштрасса [32] §8. Последовательность. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы [35] §9. Существование монотонной подпоследовательности. Теоремы Больцано - Вейерштрасса и Кантора [37] 2. Действительные и комплексные числа [39] §1. Аксиоматическая теория действительного числа [39] §2. Числовая последовательность и ее предел [50] §3. Теория действительного числа по Вейерштрассу [58] §4. Комплексные числа [68] 3. Сумма и произведение числового семейства. Числовой ряд и бесконечное произведение [73] §1. Сумма семейства чисел и ее свойства [73] §2. Вычисление сумм с помощью предела [88] §3. Признаки суммируемости последовательности комплексных чисел [89] §4. Произведение семейства комплексных чисел [93] §5. Числовые ряды [96] §6. Теорема Римана о перестановке членов ряда. Бесконечные произведения [103] 4. Последовательности функций и функциональные ряды. Степенные ряды и элементарные функции [109] §1. Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость [109] §2. Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда [110] §3. Степенные ряды [117] §4. Элементарные функции [122] 5. Предел и непрерывность функции [127] §1. Предел и непрерывность функции по Гейне [127] §2. Полунепрерывные функции. Предел и непрерывность функции в смысле Коши [135] §3. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора [137] §4. Обратные элементарные функции. Приемы решения задач [138] §5. Равностепенная непрерывность [143] 6. Производная и интеграл [151] §1. Производная [151] §2. Физический и геометрический смысл производной. Теоремы Ролля, Дарбу, Лагранжа [159] §3. Интеграл Ньютона - Лейбница [165] §4. Дифференцирование и интегрирование предела последовательности функций и суммы функционального ряда [173] §5. Существование первообразной. Интегралы Коши и Римана [178] §6. Вычисление интегралов и первообразных [183] 7. Приложения производной и интеграла. Функции векторного аргумента [198] §1. Приложения производной и интеграла к исследованию функций [199] §2. Производные и интегралы Ньютона - Лейбница любых порядков [208] §3. Производная Ферма - Лагранжа. Формула Тейлора - Пеано. Достаточные условия экстремума [215] §4. Ряд Тейлора [220] §5. Выпуклые функции [224] §6. Элементарная теория интеграла, зависящего от параметра. Частные производные функции. R2-дифференцируемость [234] §7. Формула Тейлора. Экстремум функции векторного аргумента [249] §8. Элементарная теорема о неявной функции. Условный экстремум [261] §9. Криволинейные интегралы. Формулы Коши для функции и ее производных. Ряд Лорана и теория вычетов [265] §10. Потенциальное векторное поле [283] §11. Функции ограниченной вариации [285] §12. Интеграл Стилтьеса [294] 8. Интеграл Лебега [319] §1. Интеграл как площадь фигуры. Теорема Дини о равномерной сходимости. Класс функций L0 [320] §2. Нуль-множества [327] §3. Суммируемые функции. Класс L и интеграл Лебега. Теоремы Леви, Фату, Лебега [330] §4. Измеримые функции. Теорема Фреше [335] §5. Измеримые множества, их мера. Борелевские множества [341] §6. Интегрирование по множеству [345] §7. Сравнение различных теорий интегрирования [349] §8. Ячейки на прямой и представление суммируемой функции посредством характеристических функций ячеек [355] §9. Теоремы Егорова и Лузина [356] §10. Интеграл Лебега функции многих переменных. Теоремы Фубини и Тонелли [358] §11. Плотность отображения. Замена переменных в интеграле [364] §12. Интегралы Эйлера. Свойства интегралов Лебега, зависящих от параметра [374] §13. Вторая теорема о среднем для интеграла Лебега. Абсолютно непрерывные функции [377] 9. Ряд и интеграл Фурье [383] §1. Тригонометрический ряд и ряд Фурье [384] §2. Преобразование Фурье. Теорема Римана - Лебега [387] §3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации Римана. Признаки сходимости ряда Фурье [389] §4. Сингулярный интеграл Фурье. Принцип локализации и признаки сходимости [392] §5. Теоремы Фейера и Вейерштрасса и следствия из них [395] §6. Ср едние Валле Пуссена. Теорема Харди [399] §7. Коэффициенты Фурье функции в ограниченным изменением. Признаки Дирихле - Жордана [401] §8. Операции дифференцирования и интегрирования рядов Фурье [403] §9. Векторное пространство над полем К. Пространства L и L2 [404] §10. Ортогональные ряды и ряды Фурье в гильбертовом пространстве [417] §11. Некоторые плотные множества в пространствах Lp. Полнота тригонометрической системы [426] §12. Преобразование Фурье в пространстве L [432] §13. Преобразование Фурье в пространстве L2. Теорема Планшереля [434] 10. Обобщенные функции [440] §1. Пространство D' обобщенных функций [441] §2. Ряд Фурье обобщенной функции [454] §3. Преобразование Фурье обобщенных функций [464] §4. Секвенциальный подход к теории обобщенных функций [475] 11. Поверхностные интегралы. Внешние дифференциальные формы [494] §1. Формула Гаусса - Остроградского [494] §2. Внешние дифференциальные формы [504] §3. Формула Стокса [517] 12. Некоторые вопросы функционального анализа [530] §1. Расстояния и метрические пространства [531] §2. Основные принципы функционального анализа [563] Предметный указатель [582] Список рекомендуемой литературы [588] |
| Формат: | djvu + ocr |
| Размер: | 58383345 байт |
| Язык: | РУС |
| Рейтинг: |
79
|
| Открыть: | Ссылка (RU) |