Основы классического и современного математического анализа

Автор(ы):Ляшко И. И., Емельянов В. Ф., Боярчук А. К.
21.12.2023
Год изд.:1988
Описание: В пособии изложен математический анализ с основами теории функций комплексной и действительной переменных, а также некоторые разделы функционального анализа. Дифференциальное исчисление построено на идеях Ферма - Лагранжа. В интегральном исчислении введен в рассмотрение интеграл Ньютона - Лейбница и показаны его приложения. Проведено сравнение интегралов Ньютона - Лейбница, Коши, Римана, Дарбу и Лебега. По-новому излагаются теории интеграла Лебега, рядов Фурье обобщенных функций, дифференциальных форм и другие вопросы. Теоретический материал иллюстрируется многими примерами. Даны упражнения для самостоятельного решения. Для студентов математических специальностей университетов.
Оглавление:
Основы классического и современного математического анализа — обложка книги. Обложка книги.
Предисловие [5]
1. Грани множеств и предел последовательности [9]
  §1. Элементы теории множеств и отображений [9]
  §2. Отношение порядка. Понятие частично упорядоченного пространства [22]
  §3. Верхняя и нижняя грани множества в частично упорядоченном пространстве [23]
  §4. Топология упорядоченного пространства [26]
  §5. Топологическое свойство граней множества. Полные пространства [28]
  §6. Последовательность, ее предел и порядковые свойства предела [30]
  §7. Связь между гранями множеств и пределом последовательности. Теорема Вейерштрасса [32]
  §8. Последовательность. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы [35]
  §9. Существование монотонной подпоследовательности. Теоремы Больцано - Вейерштрасса и Кантора [37]
2. Действительные и комплексные числа [39]
  §1. Аксиоматическая теория действительного числа [39]
  §2. Числовая последовательность и ее предел [50]
  §3. Теория действительного числа по Вейерштрассу [58]
  §4. Комплексные числа [68]
3. Сумма и произведение числового семейства. Числовой ряд и бесконечное произведение [73]
  §1. Сумма семейства чисел и ее свойства [73]
  §2. Вычисление сумм с помощью предела [88]
  §3. Признаки суммируемости последовательности комплексных чисел [89]
  §4. Произведение семейства комплексных чисел [93]
  §5. Числовые ряды [96]
  §6. Теорема Римана о перестановке членов ряда. Бесконечные произведения [103]
4. Последовательности функций и функциональные ряды. Степенные ряды и элементарные функции [109]
  §1. Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость [109]
  §2. Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда [110]
  §3. Степенные ряды [117]
  §4. Элементарные функции [122]
5. Предел и непрерывность функции [127]
  §1. Предел и непрерывность функции по Гейне [127]
  §2. Полунепрерывные функции. Предел и непрерывность функции в смысле Коши [135]
  §3. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора [137]
  §4. Обратные элементарные функции. Приемы решения задач [138]
  §5. Равностепенная непрерывность [143]
6. Производная и интеграл [151]
  §1. Производная [151]
  §2. Физический и геометрический смысл производной. Теоремы Ролля, Дарбу, Лагранжа [159]
  §3. Интеграл Ньютона - Лейбница [165]
  §4. Дифференцирование и интегрирование предела последовательности функций и суммы функционального ряда [173]
  §5. Существование первообразной. Интегралы Коши и Римана [178]
  §6. Вычисление интегралов и первообразных [183]
7. Приложения производной и интеграла. Функции векторного аргумента [198]
  §1. Приложения производной и интеграла к исследованию функций [199]
  §2. Производные и интегралы Ньютона - Лейбница любых порядков [208]
  §3. Производная Ферма - Лагранжа. Формула Тейлора - Пеано. Достаточные условия экстремума [215]
  §4. Ряд Тейлора [220]
  §5. Выпуклые функции [224]
  §6. Элементарная теория интеграла, зависящего от параметра. Частные производные функции. R2-дифференцируемость [234]
  §7. Формула Тейлора. Экстремум функции векторного аргумента [249]
  §8. Элементарная теорема о неявной функции. Условный экстремум [261]
  §9. Криволинейные интегралы. Формулы Коши для функции и ее производных. Ряд Лорана и теория вычетов [265]
  §10. Потенциальное векторное поле [283]
  §11. Функции ограниченной вариации [285]
  §12. Интеграл Стилтьеса [294]
8. Интеграл Лебега [319]
  §1. Интеграл как площадь фигуры. Теорема Дини о равномерной сходимости. Класс функций L0 [320]
  §2. Нуль-множества [327]
  §3. Суммируемые функции. Класс L и интеграл Лебега. Теоремы Леви, Фату, Лебега [330]
  §4. Измеримые функции. Теорема Фреше [335]
  §5. Измеримые множества, их мера. Борелевские множества [341]
  §6. Интегрирование по множеству [345]
  §7. Сравнение различных теорий интегрирования [349]
  §8. Ячейки на прямой и представление суммируемой функции посредством характеристических функций ячеек [355]
  §9. Теоремы Егорова и Лузина [356]
  §10. Интеграл Лебега функции многих переменных. Теоремы Фубини и Тонелли [358]
  §11. Плотность отображения. Замена переменных в интеграле [364]
  §12. Интегралы Эйлера. Свойства интегралов Лебега, зависящих от параметра [374]
  §13. Вторая теорема о среднем для интеграла Лебега. Абсолютно непрерывные функции [377]
9. Ряд и интеграл Фурье [383]
  §1. Тригонометрический ряд и ряд Фурье [384]
  §2. Преобразование Фурье. Теорема Римана - Лебега [387]
  §3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации Римана. Признаки сходимости ряда Фурье [389]
  §4. Сингулярный интеграл Фурье. Принцип локализации и признаки сходимости [392]
  §5. Теоремы Фейера и Вейерштрасса и следствия из них [395]
  §6. Ср едние Валле Пуссена. Теорема Харди [399]
  §7. Коэффициенты Фурье функции в ограниченным изменением. Признаки Дирихле - Жордана [401]
  §8. Операции дифференцирования и интегрирования рядов Фурье [403]
  §9. Векторное пространство над полем К. Пространства L и L2 [404]
  §10. Ортогональные ряды и ряды Фурье в гильбертовом пространстве [417]
  §11. Некоторые плотные множества в пространствах Lp. Полнота тригонометрической системы [426]
  §12. Преобразование Фурье в пространстве L [432]
  §13. Преобразование Фурье в пространстве L2. Теорема Планшереля [434]
10. Обобщенные функции [440]
  §1. Пространство D' обобщенных функций [441]
  §2. Ряд Фурье обобщенной функции [454]
  §3. Преобразование Фурье обобщенных функций [464]
  §4. Секвенциальный подход к теории обобщенных функций [475]
11. Поверхностные интегралы. Внешние дифференциальные формы [494]
  §1. Формула Гаусса - Остроградского [494]
  §2. Внешние дифференциальные формы [504]
  §3. Формула Стокса [517]
12. Некоторые вопросы функционального анализа [530]
  §1. Расстояния и метрические пространства [531]
  §2. Основные принципы функционального анализа [563]
Предметный указатель [582]
Список рекомендуемой литературы [588]
Формат: djvu + ocr
Размер:58383345 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 6 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU)