Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, изд. 4

Автор(ы):Матвеев Н. М.
27.07.2023
Год изд.:1974
Издание:4
Описание: Учебник для механико-математических факультетов университетов по курсу дифференциальных уравнений. В книге даются основные понятия и определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, излагаются наиболее важные методы интегрирования, доказываются теоремы существования решений и исследуются свойства последних. Может использоваться в педагогических институтах и технических вузах, особенно будет полезна студентам-заочникам и лицам, самостоятельно изучающим теорию обыкновенных дифференциальных уравнений.
Оглавление:
Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений — обложка книги. Обложка книги.
Предисловие [13]
Введение [15]
Глава первая. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ. УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ.
  §1. Основные понятия и определения [23]
    1. Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной [23]
    2. Решение уравнения [24]
    3. Неявное и параметрическое задания решения [25]
    4. Геометрическое истолкование [26]
    5. Задача Коши [31]
    6. Достаточное условие существования решения задачи Коши [35]
    7. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши [36]
    8. Общее решение [39]
    9. Общий интеграл. Общее решение в параметрической форме [42]
    10. Частное решение [43]
    11. Особое решение [44]
    12. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по дифференциальному уравнению [46]
    13. Отсутствие особых решений у уравнения первого порядка с правой частью, рациональной относительно у [47]
    14. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение [49]
    15. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение, в процессе построения общего решения [общего интеграла) [52]
    16. Понятие об интеграле дифференциального уравнения. Зависимость любых двух интегралов одного и того же уравнения [53]
    17. Связь между обыкновенным дифференциальным уравнением и уравнением с частными производными [60]
    18. Замечание об интегрируемости в квадратурах [61]
  §2. Неполные уравнения [63]
    19. Уравнение, не содержащее искомой функции [63]
    20. Уравнение, не содержащее независимой переменной [65]
  §3. Уравнение с разделяющимися переменными [70]
    21. Построение общего интеграла [70]
    22. Особые решения [72]
    23. Примеры [73]
  §4. Однородное уравнение [75]
    24. Построение общего интеграла [75]
    25. Особые решения [77]
    26. Пример [77]
    27. Геометрическое свойство интегральных кривых однородного уравнения [78]
    28. Простейшее уравнение, приводящееся к однородному [81]
  §5. Обобщенное однородное уравнение [82]
    29. Построение общего интеграла. Особые решения [82]
    30. Пример [84]
  §6. Линейное уравнение [85]
    31. Понятие о линейном уравнении [85]
    32. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства линейного уравнения [85]
    33. Построение общего решения однородного линейного уравнения [88]
    34. Свойства решений однородного линейного уравнения [90]
    35. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения [91]
    36. Метод вариации произвольной постоянной [метод Лагранжа) [92]
    37. Примеры [96]
    38. Геометрическое свойство интегральных кривых линейного уравнения [97]
  §7. Уравнение Бернулли [100]
    39. Построение общего решения [100]
    40. Особое решение [101]
  §8. Уравнение Дарбу [102]
    41. Построение общего интеграла. Особые решения [102]
    42. Пример [103]
  §9. Уравнение Якоби [103]
    43. Построение общего интеграла [103]
    44. Примеры [106]
  §10. Уравнение Риккати [108]
    45. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства уравнения Риккати [108]
    46. Приведение уравнения Риккати к каноническому виду [110]
    47. Простейшие случаи интегрируемости в квадратурах [112]
    48. Построение общего решения в случае, когда известно одно частное решение [113]
    49. Структура общего решения [115]
    50. Построение общего решения в случае, когда известны два или три частных решения [116]
    51. Специальное уравнение Риккати [117]
  §11. Уравнение в полных дифференциалах [118]
    52. Понятие об уравнении в полных дифференциалах [118]
    53. Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение общего интеграла [120]
    54. Решение задачи Коши [123]
  §12. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя [124]
    55. Понятие об интегрирующем множителе [124]
    56. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от x [125]
    57. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от y [127]
    58. Случай интегрирующего множителя вида µ=µ [w(x, y)] [127]
    59. Интегрирующий множитель и особые решения [128]
    60. Интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися переменными [129]
    61. Интегрирующий множитель однородного уравнения [130]
  §13. Интегрирующий множитель. Общая теория [131]
    62. Теорема о существовании интегрирующего множителя [131]
    63. Теорема о неединственности интегрирующего множителя [133]
    64. Теорема об общем виде интегрирующего множителя и ее следствие [133]
    65. Один общий способ нахождения интегрирующего множителя [135]
Глава вторая. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ. УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ.
  §14. Основные понятия и определения [137]
    66. Общий случай уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной [137]
    67. Примеры [141]
    68. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение, по дифференциальному уравнению [146]
    69. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение [149]
  §15. Неполные уравнения [150]
    70. Уравнение, содержащее только производную [150]
    71. Уравнение, не содержащее искомой функции [151]
    72. Уравнение, не содержащее независимой переменной [155]
    73. Обобщенное однородное уравнение [157]
  §16. Общий метод введения параметра [158]
    74. Приведение уравнения, не разрешенного относительно производной, к уравнению, разрешенному относительно производной. Общий случай [158]
    75. Случай, когда уравнение разрешимо относительно искомой функции [159]
    76. Случай, когда уравнение разрешимо относительно независимой переменной [160]
    77. Уравнение Лагранжа [161]
    78. Уравнение Клеро [164]
  §17. Задача о траекториях [167]
    79. Задача о траекториях на плоскости в случае декартовых координат [167]
    80. Примеры [169]
    81. Случай полярных координат [170]
Глава третья. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА.
  §18. Основные понятия и определения [174]
    82. Предварительные замечания [174]
    83. Геометрическое истолкование [175]
    84. Механическое истолкование уравнения второго порядка [175]
    85. Задача Коши [177]
    86. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши [179]
    87. Понятие о краевой (граничной) задаче [181]
    88. Общее решение [184]
    89. Общий интеграл [185]
    90. Общее решение в параметрической форме [186]
    91. Частное решение [186]
    92. Особое решение [186]
    93. Промежуточные интегралы. Первые интегралы [187]
    94. Замечание об уравнении n-го порядка, не разрешенном относительно старшей производной [188]
  §19. Уравнения, интегрируемые в квадратурах, и уравнения, допускающие понижение порядка [189]
    95. Уравнение, содержащее только независимую переменную и производную порядка n [189]
    96. Уравнение, не содержащее искомой функции, и уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных [197]
    97. Уравнение, не содержащее независимой переменной [200]
    98. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных [203]
    99. Обобщенное однородное уравнение [204]
    100. Уравнение, левая часть которого есть точная производная [207]
Глава четвертая. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ.
  §20. Нормальные системы дифференциальных уравнений [210]
    101. Предварительные замечания [210]
    102. Геометрическое истолкование нормальной системы [213]
    103. Механическое истолкование нормальной системы [213]
    104. Задача Коши [216]
    105. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши [218]
    106. Общее решение [219]
    107. Частное решение [221]
    108. Особое решение [222]
    109. Понятие об интеграле нормальной системы. Первые интегралы. Общий интеграл. Число независимых интегралов [222]
    110. Связь между нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнением с частными производными [234]
    111. Понижение порядка системы при помощи первых интегралов [235]
    112. Приведение уравнения n-го порядка к системе и уравнений первого порядка и обратная задача [237]
    113. Один общий способ интегрирования нормальной системы двух уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Коши - Римана [242]
    114. Понятие о системе уравнений высших порядков [244]
    115. Построение всего множества нормальных систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную траекторию [246]
  §21. Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме [249]
    116. Понятие о системе обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме. Приведение нормальной системы к системе в симметрической форме [249]
    117. Интегралы, первые интегралы и общий интеграл системы дифференциальных уравнений в симметрической форме [251]
Глава пятая. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ.
  §22. Теорема существования и единственности решения задачи Коши [теорема Пикара) [259]
    118. Предварительные замечания [259]
    119. Формулировка теоремы Пикара для нормальной системы n уравнений [260]
    120. Доказательство теоремы Пикара для нормальной системы двух уравнений [263]
    121. Замечание о выборе нулевого приближения [277]
    122. Случай одностороннего интервала изменения независимой переменной [277]
    123. Случай области, не ограниченной по искомым функциям [277]
    124. Случай области, не ограниченной по всем переменным [278]
    125. О продолжении решения, определяемого теоремой Пикара [283]
    126. Теорема Пикара для линейной системы дифференциальных уравнений [286]
    127. О решении однородной линейной системы с нулевыми начальными значениями искомых функций [290]
    128. Теорема Пикара для уравнения n-го порядка [292]
    129. Теорема Пикара для линейного уравнения n-го порядка [294]
    130. О решении однородного линейного уравнения n-го порядка с нулевыми начальными значениями искомой функции и ее производных [295]
  §23. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости решения как функции от параметров и начальных данных. Понятие об устойчивости решения в смысле Ляпунова [296]
    131. Теорема о непрерывной зависимости решения нормальной системы от параметров [296]
    132. Теорема о непрерывной зависимости решения нормальной системы от начальных данных [305]
    133. Понятие об устойчивости решения [движения) в смысле Ляпунова [309]
    134. Теорема о дифференцируемости решения по начальным данным [317]
    135. Обобщения [331]
  §24. Теорема существования общего решения [332]
    136. Теорема существования общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений [332]
    137. Замечания [337]
    138. Доказательство существования n независимых интегралов нормальной системы и уравнений [337]
  §25. Особые точки [339]
    139. Особые точки уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной [339]
    140. Особые точки нормальной системы дифференциальных уравнений. Точки равновесия [покоя) [342]
    141. Поведение интегральных кривых уравнения с дробно-линейной однородной правой частью в окрестности особой точки [346]
    142. Один физический пример [363]
    143. Понятие о проблеме центра и фокуса [366]
  §26. Теорема существования и единственности голоморфного решения задачи Коши [теорема Коши) [370]
    144. Понятие о голоморфном решении [370]
    145. Понятие о мажоранте [371]
    146. Формулировка теоремы Коши для нормальной системы n уравнений [374]
    147. Доказательство теоремы Коши для нормальной системы двух уравнений [375]
    148. Теорема Коши для линейной системы [385]
    149. Примеры существования голоморфных решений в случае невыполнения условия теоремы Коши [392]
    150. Теорема Коши для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной [394]
    151. Теорема Коши для линейного уравнения n-го порядка [396]
    152. Теорема о голоморфности решения относительно параметра [398]
  §27. Теорема существования решения задачи Коши (теорема Пеано) [399]
    153. Теорема Арцеля [399]
    154. Теорема существования решения дифференциального уравнения с непрерывной правой частью (теорема Пеано) [402]
  §28. Теорема Каратеодори [410]
    155. Предварительные замечания [410]
    156. Формулировка и доказательство теоремы Каратеодори [415]
Глава шестая. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n-го ПОРЯДКА.
  §29. Общие свойства линейного уравнения [424]
    157. Предварительные замечания [424]
    158. Инвариантность линейного уравнения относительно любого преобразования независимой переменной и относительно, любого преобразования искомой функции [426]
  §30. Однородное линейное уравнение n-го порядка [429]
    159. Свойства решений [429]
    160. Понятие о линейной независимости функций [433]
    161. Необходимое условие линейной зависимости n функций [436]
    162. Необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородного линейного уравнения n-го порядка [438]
    163. Формула Остроградского - Лиувилля [440]
    164. Понятие о фундаментальной системе решений [441]
    165. Доказательство существования фундаментальной системы решений [442]
    166. Построение общего решения [443]
    167. Число линейно независимых решений однородного линейного уравнения n-го порядка [447]
    168. Построение однородного линейного уравнения, имеющего заданную фундаментальную систему решений [447]
    169. Понижение порядка однородного линейного уравнения при помощи линейно независимых частных решений [450]
  §31. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка [453]
    170. Структура общего решения неоднородного уравнения [453]
    171. Метод вариации произвольных постоянных [метод Лагранжа) [455]
    172. Метод Коши [459]
Глава седьмая. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ п-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
  §32. Однородное уравнение [463]
    173. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородного линейного уравнения в случае различных корней характеристического уравнения [463]
    174. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения [468]
    175. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами [472]
  §33. Неоднородное уравнение [481]
    176. Предварительные замечания [481]
    177. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов [481]
  §34. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и колебательные явления [489]
    178. Свободные колебания [489]
    179. Вынужденные колебания [495]
  §35. Операционный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [497]
    180. Некоторые сведения из операционного исчисления [497]
    181. Операционный метод решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами [509]
  §36. Некоторые линейные уравнения n-го порядка, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами [513]
    182. Приведение однородного линейного уравнения n-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной [513]
    183. Линейное уравнение Эйлера [515]
    184. Уравнение Чебышева [519]
Глава восьмая. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
  §37. Приведение к простейшим формам [521]
    185. Приведение к уравнению, не содержащему члена с первой производной при помощи замены искомой функции [521]
    186. Приведение к уравнению, не содержащему члена с первой производной, при помощи замены независимой переменной [525]
    187. Приведение к самосопряженному виду [527]
  §38. Понижение порядка [531]
    188. Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение [531]
    189. Связь между однородным линейным уравнением второго порядка и уравнением Риккати [535]
  §39. Интегрирование при помощи степенных рядов и обобщенных степенных рядов [536]
    190. Представление решений однородного линейного уравнения второго порядка в окрестности обыкновенной точки в виде степенных рядов [536]
    191. Представление решений в окрестности особой точки в виде обобщенных степенных рядов [545]
    192. Уравнение Бесселя [555]
    193. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение [572]
  §40. Колебательный характер решений однородных линейных уравнений второго порядка [581]
    194. Колеблющиеся и неколеблющиеся решения [581]
    195. Теорема Штурма [586]
    196. Теорема сравнения [587]
Глава девятая. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
  §41. Однородные линейные системы [603]
    197. Предварительные замечания [603]
    198. Свойства решений однородной системы [606]
    199. Понятие о линейной независимости систем функций [608]
    200. Необходимое условие линейной зависимости n систем функций [610]
    201. Необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородной линейной системы n уравнений [611]
    202. Формула Остроградского - Лиувилля - Якоби [612]
    203. Понятие о фундаментальной системе решений [613]
    204. Теорема о существовании фундаментальной системы решений [614]
    205. Построение общего решения [615]
    206. Число линейно независимых решений однородной линейной системы n уравнений. Первые интегралы [616]
    207. Понятие о сопряженной (присоединенной) системе [617]
    208. Построение однородной линейной системы уравнений, имеющей заданную фундаментальную систему решений [620]
  §42. Неоднородные линейные системы [621]
    209. Структура общего решения неоднородной системы [621]
    210. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) [622]
Глава десятая. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
  §43. Метод Эйлера [624]
    211. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородной линейной системы в случае различных корней характеристического уравнения [624]
    212. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения [632]
    213. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами [641]
    214. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению в случае автономной системы [648]
    215. Приведение однородной линейной системы к системе с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной [651]
    216. Интегрирование неоднородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных [653]
  §44. Другие методы интегрирования линейных систем с постоянными коэффициентами [653]
    217. Интегрирование линейной системы с постоянными коэффициентами при помощи приведения ее к уравнению n-го порядка [метод исключения) [653]
    218. Метод Даламбера [655]
    219. Операционный метод решения задачи Коши для линейной системы с постоянными коэффициентами [657]
  §45. Линейные системы с постоянными коэффициентами, содержащие производные выше первого порядка [660]
    220. Метод исключения [660]
    221. Метод Даламбера [660]
Глава одиннадцатая. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.
  §46. Некоторые сведения из теории матриц [662]
    222. Предварительные замечания [662]
    223. Понятие о матрице [663]
    224. Алгебраические операции над матрицами [666]
    225. Характеристические числа матрицы. Элементарные делители матрицы [672]
    226. Преобразование подобия. Приведение матрицы к каноническому виду [677]
    227. Дифференцирование и интегрирование матриц [681]
    228. Понятие о матричном степенном ряде [683]
  §47. Запись и интегрирование однородной линейной системы дифференциальных уравнений в матричной форме [688]
    229. Построение матричного уравнения, равносильного однородной линейной системе [688]
    230. Два общих свойства матричного уравнения, соответствующего однородной линейной системе [691]
    231. Основные свойства интегральной матрицы [692]
    232. Случай Лаппо - Данилевского [694]
    233. Сопряженное [присоединенное) матричное уравнение [695]
  §48. Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами [697]
    234. Структура фундаментальной системы решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Группы решений [697]
    235. Приведение однородной линейной системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду [702]
    236. Вид фундаментальной системы решений однородной линейной системы с периодическими коэффициентами [710]
    237. Понятие о приводимых системах [712]
  §49. Интегрирование линейных систем матрично-векторным методом [714]
    238. Матрично-векторная запись линейной системы и ее решение. Задача Коши [714]
    239. Два общих свойства матрично-векторного уравнения, соответствующего линейной системе [715]
    240. Основные свойства решений однородного матрично-векторного уравнения [716]
    241. Линейно независимые решения и построение общего решения однородного матрично-векторного уравнения [717]
    242. Формула Коши для неоднородной линейной системы [719]
Глава двенадцатая. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
  §50. Однородное линейное уравнение [722]
    243. Связь между однородным линейным уравнением с частными производными первого порядка и соответствующей ему системой обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме [722]
    244. Построение общего решения однородного линейного уравнения [725]
    245. Решение задачи Коши для однородного линейного уравнения [729]
  §51. Неоднородное линейное уравнение [733]
    246. Построение общего решения неоднородного линейного уравнения [733]
    247. Решение задачи Коши для неоднородного линейного уравнения [736]
  §52. Нелинейные уравнения [740]
    248. Система двух уравнений с частными производными. Условия совместности [740]
    249. Уравнение Пфаффа [742]
    250. Полный интеграл нелинейного уравнения. Метод Лагранжа - Шарпи [744]
Литература [749]
Предметный указатель [758]
Формат: djvu + ocr
Размер:62466646 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 44 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU)