Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка

Автор(ы):Гилбарг Д., Трудингер М.
20.02.2014
Год изд.:1989
Издание:2
Описание: Книга посвящается изложению теории квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка, в основном задачи Дирихле в ограниченных областях. Состоит из двух частей: линейные уравнения и квазилинейные уравнения. Включается большой разнородный материал, значительная часть которого в монографии излагается впервые: современное изложение неравенства Харнака, оценки Морри и Джона - Ниренберга, теоремы Лере - Шаудера, значительная часть результатов о квазилинейных уравнениях. Книга предназначена для специалистов в области дифференциальных уравнений. Доступна аспирантам и студентам старших курсов, специализирующимся в данной области.
Оглавление:
Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка — обложка книги. Обложка книги.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ [7]
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ [8]
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ [9]
  Глава 1. Введение [11]
Часть I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ [21]
  Глава 2. Уравнение Лапласа [21]
    2.1. Неравенства для средних значений [22]
    2.2. Принцип максимума и минимума [23]
    2.3. Неравенство Харнака [24]
    2.4. Представление Грина [24]
    2.5. Интеграл Пуассона [27]
    2.6. Теоремы о сходимости [29]
    2.7. Внутренние оценки производных [30]
    2.8. Задача Дирихле; метод субгармонических функций [30]
    2.9. Емкость [35]
    Задачи [36]
  Глава 3. Классический принцип максимума [38]
    3.1. Слабый принцип максимума [39]
    3.2. Сильный принцип максимума [41]
    3.3. Априорные оценки [43]
    3.4. Оценки градиента решения уравнения Пуассона [44]
    3.5. Неравенство Харнака [48]
    3.6. Операторы в дивергентной форме [52]
    Примечания [53]
    Задачи [54]
  Глава 4. Уравнение Пуассона и ньютонов потенциал [57]
    4.1. Непрерывность по Гёльдеру [57]
    4.2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона [59]
    4.3. Оценки Гёльдера вторых производных [61]
    4.4. Оценки вблизи границы [68]
    4.5. Оценки Гёльдера первых производных [71]
    Примечания [73]
    Задачи [73]
  Глава 5. Банаховы и гильбертовы пространства [75]
    5.1. Принцип сжимающих отображений [76]
    5.2. Метод продолжения по параметру [76]
    5.3. Альтернатива Фредгольма [77]
    5.4. Сопряженные пространства и сопряженные операторы [81]
    5.5. Гильбертовы пространства [82]
    5.6. Теорема о проекции [82]
    5.7. Теорема представления Рисса [83]
    5.8. Теорема Лакса - Мильграма [84]
    5.9. Альтернатива Фредгольма в гильбертовых пространствах [85]
    5.10. Слабая компактность [86]
    Примечания [87]
    Задачи [87]
  Глава 6. Классические решения; метод Шаудера [88]
    6.1. Внутренние оценки Шаудера [90]
    6.2. Граничные и глобальные оценки [95]
    6.3. Задача Дирихле [101]
    6.4. Внутренняя регулярность и регулярность вблизи границы [110]
    6.5. Другой метод [113]
    6.6. Неравномерно эллиптические уравнения [117]
    6.7. Другие граничные условия; задача с косой производной [121]
    6.8. Приложение 1. Интерполяционные неравенства [130]
    6.9. Приложение 2. Леммы о продолжении [136]
    Примечания [138]
    Задачи [142]
  Глава 7. Пространства Соболева [143]
    7.1. Пространства Lp [144]
    7.2. Осреднение и аппроксимация гладкими функциями [146]
    7.3. Слабые производные [148]
    7.4. Цепное правило [150]
    7.5. Пространства Wkр [152]
    7.6. Теоремы о плотности [153]
    7.7. Теоремы вложения [154]
    7.8. Оценки потенциалов и теоремы вложения [156]
    7.9. Оценки Морри и Джона - Ниренберга [161]
    7.10. Теоремы о компактности [163]
    7.11. Разностные отношения [164]
    7.12. Продолжение и интерполяция [165]
    Примечания [168]
    Задачи [169]
  Глава 8. Обобщенные решения и их регулярность [170]
    8.1. Слабый принцип максимума [172]
    8.2. Разрешимость задачи Дирихле [174]
    8.3. Дифференцируемость слабых решений [176]
    8.4. Глобальная регулярность [179]
    8.5. Глобальная ограниченность слабых решений [181]
    8.6. Локальные свойства слабых решений [186]
    8.7. Сильный принцип максимума [190]
    8.8. Неравенство Харнака [190]
    8.9. Непрерывность по Гёльдеру [191]
    8.10. Локальные оценки вблизи границы [193]
    8.11. Оценки Гёльдера первых производных [199]
    8.12. Задача на собственные значения [202]
    Примечания [204]
    Задачи [206]
  Глава 9. Сильные решения [207]
    9.1. Принцип максимума для сильных решений [208]
    9.2. Оценки в Lp; предварительный анализ [213]
    9.3. Интерполяционная теорема Марцинкевича [214]
    9.4. Неравенство Кальдерона - Зигмунда [216]
    9.5. Оценки в Lp [220]
    9.6. Задача Дирихле [225]
    9.7. Локальный принцип максимума [228]
    9.8. Оценки Гельдера и неравенство Харнака [230]
    9.9. Локальные оценки вблизи границы [233]
    9.10. Граничные оценки Гельдера градиента [235]
    Примечания [237]
    Задачи [238]
Часть II. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ [240]
  Глава 10. Принципы максимума и сравнения [240]
    10.1. Принцип сравнения [243]
    10.2. Принципы максимума [245]
    10.3. Контрпример [247]
    10.4. Принципы сравнения доя операторов в дивергентной форме [248]
    10.5. Принципы максимума для операторов в дивергентной форме [250]
    Примечания [255]
    Задачи [255]
  Глава 11. Топологические теоремы о неподвижной точке и их применения [257]
    11.1. Теорема Шаудера о неподвижной точке [257]
    11.2. Теорема Лере - Шаудера; специальный случай [258]
    11.3. Применение [260]
    11.4. Теорема Лере - Шаудера о неподвижной точке [263]
    11.5. Вариационные задачи [265]
    Примечания [269]
  Глава 12. Уравнения с двумя переменными [269]
    12.1. Квазиконформные отображения [270]
    12.2. Оценки Гельдера градиента решения для линейных уравнений [275]
    12.3. Задача Дирихле для равномерно эллиптических уравнений ^ [279]
    12.4. Неравномерно эллиптические уравнения [284]
    Примечания [290]
    Задачи [292]
  Глава 13. Оценки Гельдера градиента [293]
    13.1. Уравнения в дивергентной форме [294]
    13.2. Уравнения с двумя переменными [297]
    13.3. Уравнения общего вида; внутренняя оценка [298]
    13.4. Уравнения общего вида; граничная оценка [302]
    13.5. Применение к задаче Дирихле [304]
    Примечания [305]
    Задача [305]
  Глава 14. Граничные оценки градиента [306]
    14.1. Общие области [307]
    14.2. Выпуклые области [309]
    14.3. Условия на кривизны границы [313]
    14.4. Результаты о несуществовании [318]
    14.5. Оценки модуля непрерывности [323]
    14.6. Приложение: граничные кривизны и функция расстояния [324]
    Примечания [327]
    Задачи [327]
  Глава 15. Глобальные и внутренние оценки градиента [328]
    15.1. Принцип максимума для градиента [329]
    15.2. Общий случай [331]
    15.3. Внутренние оценки градиента [337]
    15.4. Уравнения в дивергентной форме [341]
    15.5. Избранные теоремы существования [347]
    15.6. Теоремы существования для непрерывных граничных данных [350]
    Примечания [351]
    Задачи [352]
  Глава 16. Уравнения типа уравнения со средней кривизной [353]
    16.1. Гиперповерхности в Rn+1 [353]
    16.2. Внутренние оценки градиента [363]
    16.3. Применение к задаче Дирихле [367]
    16.4. Уравнения с двумя независимыми переменными [369]
    16.5. Квазиконформные отображения [372]
    16.6. Графики с квазиконформным гауссовым отображением [380]
    16.7. Приложения к уравнениям типа уравнений со средней кривизной [385]
    16.8. Дополнение: эллиптические параметрические функционалы [389]
    Примечания [391]
    Задачи [393]
  Глава 17. Вполне нелинейные уравнения [394]
    17.1. Принципы максимума и сравнения [397]
    17.2. Метод непрерывного продолжения по параметру [399]
    17.3. Уравнения с двумя переменными [403]
    17.4. Оценки Гёльдера вторых производных [406]
    17.5. Задача Дирихле для равномерно эллиптических уравнений [413]
    17.6. Оценки вторых производных для уравнений типа уравнения Монжа-Ампера [418]
    17.7. Задача Дирихле для уравнений типа уравнения Монжа — Ампера [421]
    17.8. Глобальные оценки Гёльдера вторых производных [424]
    17.9. Нелинейные граничные задачи [430]
    Примечания [433]
    Задачи [436]
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [438]
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ [455]
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ [463]
Формат: djvu
Размер:11896114 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 605 Рейтинг
Открыть: