Дифференциальное и интегральное исчисление

Автор(ы):Стефан Банах
11.09.2009
Год изд.:1966
Издание:2
Описание: Стефан Банах - один из крупнейших математиков XX столетия. Настоящая книга была им задумана как пособие для первоначального ознакомления с предметом. Между тем автору удалось в книге небольшого объема мастерски осветить почти весь основной материал дифференциального и интегрального исчисления, не отпугивая при этом читателя скрупулезной строгостью изложения. Книга отличается простотой и лаконичностью изложения. Она содержит много удачно подобранных примеров, а также задач для самостоятельного решения. Рассчитана на студентов втузов (особенно заочных), пединститутов, а также на инженерно-технических работников, которые пожелают освежить в памяти основные факты дифференциального и интегрального исчисления. При подготовке второго издания учтен опыт преподавания по этой книге в некоторых высших технических учебных заведениях; в связи с этим в книгу внесено небольшое число добавлений, а также исправлены некоторые места текста. Это приблизило книгу к уровню современных учебников по математическому анализу и сделало возможным использование ее во втузах.
Оглавление: От редактора перевода [14]
Предисловие автора [14]
Введение [15]
ТОМ ПЕРВЫЙ
ГЛАВА I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
  ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
    1. Определение последовательности [17]
    2. Монотонные последовательности [19]
    3. Ограниченные последовательности [19]
    4. Действия над последовательностями [20]
      Задачи [20]
  ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
    5. Предел монотонной последовательности [21]
    6. Общее определение предела последовательности [21]
    7. Частный признак сходимости [22]
    8. Действия над сходящимися последовательностями [23]
    9. Последовательности, расходящиеся к±(?) [23]
    10. Теоремы о последовательностях, расходящихся к±(?) [24]
      Задачи [24]
  СТРОГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
    11. Отрезки последовательности [25]
    12. Последовательности, отличающиеся лишь порядком членов [25]
    13. Понятие приближения [26]
    14. Определение предела [27]
      Задачи [30]
  ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
    15. Сходимость последовательностей с равными членами [30]
    16. Независимость предела от порядка членов [30]
    17. Сходимость подпоследовательностей [31]
    18. Предел последовательности с неотрицательными членами [32]
    19. Предел суммы и разности последовательностей [32]
    20. Предел произведения последовательностей [34]
    21. Предел произведения последовательности на число [35]
    22. Предел частного двух последовательностей [35]
    22а. Предельный переход в неравенстве [37]
      Задачи [37]
  ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
    23. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей [37]
    24. Условие Коши [38]
    25. Ограниченность сходящихся последовательностей [39]
    26. Теорема о пределе промежуточной переменной [39]
      Задачи [40]
  ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ. ЧИСЛО e
    27. Вычисление некоторых пределов [42]
    28. Число е = 2,71828 [43]
ГЛАВА II. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
    1. Примеры функций. Понятие функции [48]
    2. Обозначения [49]
    3. Точное определение понятия функции [49]
    4. Различные способы задания функций [49]
    5. Способы представления функций. Таблицы [50]
    6. Графики [51]
      Задачи [52]
    7. Ограниченные функции. Монотонные функции [52]
ГЛАВA III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
    1. Определение предела функции [53]
    2. Условие существования предела [54]
    2а. Теоремы о пределах функций [58]
    3. Действия над пределами [59]
  ОДНОСТОРОННИЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ
    4. Односторонний предел [60]
    5. Несобственные пределы [62]
    6. Вычисление некоторых пределов [64]
      Задачи [68]
ГЛАВА IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
    1. Определение [69]
    2. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции [70]
    3. Геометрическая интерпретация [70]
    4. Теорема о сохранении знака для непрерывной функции [71]
    5. Действия над непрерывными функциями [71]
  РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
    6. Определение [71]
    7. Геометрическая интерпретация [71]
    8. Непрерывность равномерно непрерывной функции [72]
      Задачи [74]
    9. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале [74]
  СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
    10. Определение [75]
    11. Непрерывность сложной функции [76]
  ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
    12. Определение [77]
    13. Геометрическая интерпретация [77]
    14. Непрерывность обратной функции [77]
  НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
    15. Степенная функция у = хn [78]
    16. Показательная функция у = ах [80]
    17. Логарифмическая функция y=logax [80]
    18. Тригонометрические функции [81]
    19. Обратные тригонометрические функции [82]
ГЛАВА V. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
    1. Определение производной [86]
    2. Односторонние производные [88]
    3. Существование производной и непрерывность [88]
    4. Производная как функция [88]
    5. Интерпретация производной в геометрии и физике [89]
    6. Непрерывные функции, не имеющие производной в данной точке (примеры) [90]
  ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНОЙ
    7. Производная постоянной функции [91]
    8. Производная степенной функции [91]
    9. Производная произведения постоянной на функцию [92]
    10. Производная суммы, произведения, частного [93]
      Задачи [95]
    11. Производная сложной функции [96]
    12. Производная обратной функции [96]
  ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
    13. Дифференцируемые функции. Определение дифференциала [98]
    13а. Производная сложной функции [99]
    14. Инвариантность формы первого дифференциала [100]
    15. Дифференциал суммы, произведения и частного [101]
    16. Геометрическая интерпретация дифференциала [102]
  ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
    17. Производная степенной функции [103]
      Задачи [105]
    18. Производная логарифмической функции [105]
      Задачи [107]
    19. Производная показательной функции [107]
      Задачи [108]
    20. Производные тригонометрических функций [108]
      Задачи [110]
    21. Производные обратных тригонометрических функций [110]
      Задачи [113]
    22. Логарифмическая производная [113]
      Задачи [114]
  ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
    23. Производные высших порядков [114]
      Задачи [116]
    24. Формула Лейбница [116]
      Задачи [118]
    25. Параметрическое представление функции [118]
      Задачи [120]
    26. Дифференциалы высших порядков [121]
      Задачи [124]
ГЛАВА VI. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
    1. Теорема о среднем значении [127]
    2. Теорема Ролля [128]
    3. Доказательство теоремы Ролля [129]
    4. Доказательство теоремы о среднем значении [129]
    5. Следствия из теоремы о среднем значении [130]
    6. Формула Тейлора [131]
    7. Доказательство формулы Тейлора [132]
      Задачи [135]
    8. Выпуклость [136]
ГЛАВА VII. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ; ТОЧКИ ПЕРЕГИБА. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
  ЭКСТРЕМУМ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
    1. Определение экстремума [138]
    2. Необходимое условие существования экстремума [139]
    3. Достаточные условия существования экстремума [141]
    4. Более общее достаточное условие [143]
    5. Точки перегиба [145]
    6. Экстремумы функций, заданных параметрически [147]
      Задачи [149]
  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ (РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ)
    7. Неопределенности вида (?), (?) [149]
    8. Неопределенности вида (?), (?), (?), (?), (?) [153]
      Задачи [154]
ГЛАВА VIII. РЯДЫ
  РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
    1. Определение ряда. Сходящиеся ряды [155]
    2. Предел сходящейся последовательности как сумма ряда [156]
    3. Необходимое условие сходимости [157]
    4. Ограниченные ряды [158]
    5. Абсолютно сходящиеся ряды [160]
    6. Независимость суммы ряда от порядка членов [161]
    7. Условно сходящиеся ряды [162]
    8. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Теорема Лейбница [163]
  ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
    9. Сравнение рядов [164]
    9а. Признак сравнения в предельной форме [166]
    10. Признак Коши [167]
    11. Признак Даламбера [169]
  ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ
    12. Определение сходимости функциональной последовательности [171]
    13. Равномерная сходимость [172]
    14. Действия над равномерно сходящимися функциональными последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости [173]
    15. Достаточное условие непрерывности предельной функции [175]
    16. Равномерная сходимость рядов [176]
    17. Абсолютная и равномерная сходимость функциональных рядов [177]
    18. Дифференцирование последовательностей и рядов [178]
    19. Степенные ряды [180]
    20. Радиус сходимости степенного ряда [181]
    21. Непрерывность суммы степенного ряда [181]
    22. Вычисление радиуса сходимости [182]
    23. Дифференцирование степенных рядов [182]
    24. Ряд Тейлора [184]
      Задачи [188]
ГЛАВА IX. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
  ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
    1. Плоские множества. Области [190]
    2. Граничные точки. Замкнутые области [190]
    3. Области, задаваемые неравенствами [191]
      Задачи [191]
    4. Функции двух переменных [192]
    5. Геометрическая интерпретация функции двух переменных [192]
    6. Линии уровня [193]
      Задачи [194]
  ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
    7. Определение предела [194]
    8. Теоремы о пределах [195]
    9. Непрерывность. Равномерная непрерывность [196]
  ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
    10. Определение частных производных [197]
    11. Частные производные второго порядка [198]
    12. Теорема об изменении порядка дифференцирования [199]
      Задачи [200]
    13. Частные производные высших порядков [200]
    14. Сложная функция [201]
    15. Частные производные сложных функций [201]
      Задачи [203]
  НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
    16. Определение неявной функции [203]
    17. Теорема существования неявной функции [204]
    18 Производная неявной функции [205]
    19. Максимумы и минимумы неявных функций [207]
      Задачи [208]
ГЛАВА X. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
  ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
    1. Формула Тейлора [210]
    2. Ряды Тейлора и Маклорена [212]
  МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
    3. Определение экстремума [213]
    4. Необходимые условия существования экстремума [214]
    5. Достаточное условие существования экстремума [214]
      Задачи [218]
  ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
    6. Дифференцируемые функции двух переменных. Определение дифференциала [218]
    7. Дифференциал сложной функции [220]
    8. Применение к функциям одной переменной [220]
    9. Случай, когда одна из переменных является функцией другой [221]
    10. Частные дифференциалы [221]
    11. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала [222]
      Задачи [223]
    12. Дифференциалы высших порядков [224]
      Задачи [225]
ГЛАВА XI. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
    1. Области [226]
    2. Функции многих переменных [227]
    3 Предел. Непрерывность [227]
    4. Частные производные [227]
    5. Формула и ряд Тейлора [228]
ТОМ ВТОРОЙ.
ГЛАВА XII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
    1. Первообразная функция [230]
    2. Основные формулы [231]
    3. Некоторые свойства неопределенного интеграла [232]
    4. Интегрирование подстановкой [233]
    5. Интегрирование по частям [236]
    6. Интегралы от элементарных функций [237]
    7. Формулы приведения [240]
      Задачи [242]
ГЛАВА XIII. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
    1. Разложение многочлена на множители [245]
    2. Разложение рациональной функции на элементарные (простейшие) дроби [246]
    3. Интегралы от рациональных функций [251]
      Задачи [252]
ГЛАВА XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
    1. Интегрирование простейших иррациональностей [254]
    2. Биномиальные интегралы [255]
    3. Интегрирование рациональных функций R(x, у) [256]
    4. Некоторые частные случаи интегралов от рациональной функции R (x, y) (формула) [259]
    5. Замечания о преобразовании интеграла R (x, у) dx [266]
      Задачи [270]
ГЛАВА XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
    1. Общие замечания [272]
    2. Интегралы от показательных и логарифмических функций [273]
    3. Интегрирование тригонометрических функций [276]
    4. Интегралы от обратных тригонометрических функций [281]
    5. Примеры функции, не интегрируемых элементарно [283]
      Задачи [284]
ГЛАВА XVI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
    1. Определение определенного интеграла [286]
    2. Некоторые свойства определенных интегралов [291]
    3. Интегрируемость непрерывной функции [293]
    4. Достаточные условия интегрируемости [296]
    5. Разбиение интервала интегрирования [297]
    6. Пределы интегрирования [298]
    7. Некоторые неравенства для определенных интегралов [299]
    8. Функция верхнего (нижнего) предела интеграла [303]
    9. Определенный интеграл и первообразная функция [305]
    10. Интегральная теорема о среднем для непрерывных функций [309]
      Задачи [311]
ГЛАВА XVII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
    1. Замена переменных в определенных интегралах [314]
      Задачи [317]
    2. Интегрирование по частям [317]
    3. Интегрирование последовательностей и рядов [319]
    4. Интегрирование степенных рядов [322]
    5. Интегрирование и дифференцирование по параметру [325]
      Задачи [330]
ГЛАВА XVIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
    1. Интеграл неограниченной функции [332]
    2. Интегралы в бесконечном интервале [333]
    3. Признаки существования несобственного интеграла [335]
    4. Применение к рядам [339]
    5. Равномерно сходящиеся несобственные интегралы [342]
      Задачи [350]
ГЛАВА XIX. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
    1. Вычисление площади [352]
      Задачи [353]
    2. Вычисление длины дуги [354]
      Задачи [358]
    3. Объем тела вращения [359]
      Задачи [360]
    4. Площадь поверхности вращения [361]
      Задачи [364]
ГЛАВА XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
    1. Определение двойного интеграла по прямоугольнику [365]
    2. Достаточные условия интегрируемости [368]
    3. Двойной интеграл как повторный [369]
    3а. Некоторые свойства двойных интегоалов по прямоугольнику [372]
    4. Двойной интеграл по области [374]
    5. Свойства двойного интеграла по области [377]
    5а. Неравенства для двойных интегралов. Теорема о среднем [377]
    6. Двойной интеграл по области как повторный [379]
      Задачи [385]
ГЛАВА XXI. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
    1. Простая дуга [387]
    2. Криволинейный интеграл по простой дуге [388]
    3. Криволинейный интеграл по произвольной кривой [392]
    4. Работа как криволинейный интеграл [394]
    5. Замкнутая кривая [396]
    6. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой [398]
    7. Криволинейные интегралы по замкнутым плоским кривым [399]
    8. Теорема (формула) Грина [400]
    9. Применения теоремы Грина [402]
ГЛАВА XXII. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
    1. Отображения [409]
    2. Непрерывные отображения. Взаимнооднозначные отображения [410]
    3. Функциональный определитель (якобиан) [411]
      Задачи [416]
    4. Замена переменных в двойных интегралах [416]
      Задачи [422]
ГЛАВА XXIII. МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
    1. Тройной интеграл [424]
    2. Многократный интеграл [425]
    3. Условия интегрируемости [426]
    4. Многократный интеграл как повторный [426]
    5. Многократный интеграл по области [427]
    6. Многократный интеграл по области как повторный [428]
      Задачи [430]
Предметный указатель [431]
Формат: djvu
Размер:7891667 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 270 Рейтинг
Открыть: