Уравнения математической физики

Автор(ы):Тихонов А. Н., Самарский А. А.
06.10.2007
Год изд.:1977
Издание:5
Описание: В книге рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения простейших задач и физической интерпретации результатов. В каждой главе помещены задачи и примеры. В основу книги положены лекции, читавшиеся на физическом факультете МГУ.
Оглавление:
Уравнения математической физики — обложка книги.
Предисловие к пятому изданию [9]
Предисловие к четвертому изданию [9]
Предисловие к третьему изданию [9]
Из предисловия ко второму изданию [9]
Из предисловия к первому изданию [9]
Глава I. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
  § 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка [11]
    1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными [11]
    2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными [18]
    3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами [20]
      Задачи к главе I [22]
Глава II. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
  § 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Постановка краевых задач [23]
    1. Уравнение малых поперечных колебаний струны [23]
    2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн [27]
    3. Энергия колебания струны [28]
    4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах [30]
    5. Поперечные колебания мембраны [31]
    6. Уравнения гидродинамики и акустики [34]
    7. Граничные и начальные условия [39]
    8. Редукция общей задачи [44]
    9. Постановка краевых задач для случая многих переменных [45]
    10. Теорема единственности [46]
      Задачи [49]
  § 2. Метод распространяющихся волн [50]
    1. Формула Даламбера [50]
    2. Физическая интерпретация [52]
    3. Примеры [56]
    4. Неоднородное уравнение [58]
    5. Устойчивость решений [60]
    6. Полуограничениая прямая и метод продолжений [64]
    7. Задачи для ограниченного отрезка [70]
    8. Дисперсия волн [73]
    9. Интегральное уравнение колебаний [75]
    10. Распространение разрывов вдоль характеристик [79]
      Задачи [80]
  § 3. Метод разделения переменных [82]
    1. Уравнение свободных колебаний струны [82]
    2. Интерпретация решения [88]
    3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих волн [92]
    4. Неоднородные уравнения [96]
    5. Общая первая краевая задача [103]
    6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями [104]
    7. Задачи без начальных условий [106]
    8. Сосредоточенная Сила [110]
    9. Общая схема метода разделения переменных [113]
      Задачи [120]
  § 4. Задачи с данными на характеристиках [121]
    1. Постановка задачи [121]
    2. Метод последовательных приближений для задачи Гурса [123]
      Задачи [128]
  § 5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа [128]
    1. Сопряженные дифференциальные операторы [128]
    2. Интегральная форма решения [129]
    3. физическая интерпретация функции Римана [132]
    4. Уравнения с постоянными коэффициентами [135]
      Задачи к главе II [139]
      Приложения к главе II [140]
        I. О колебании струн музыкальных инструментов [140]
        II. О колебании стержней [143]
        III. Колебания нагруженной струны [147]
    1. Постановка задачи [147]
    2. Собственные колебания нагруженной струны [148]
    3. Струна с грузом на конце [152]
    4. Поправки для собственных значений [153]
        IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн [154]
    1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии [154]
    2. Ударные волны. Условия динамической совместности [156]
    3. Слабые разрывы [161]
        V. Динамика сорбции газов [165]
    1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа [165]
    2. Асимптотическое решение [169]
        VI. Физические аналогии [176]
Глава III. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
  § 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач [180]
    1. Линейная задача о распространении тепла [180]
    2. Уравнение диффузии [184]
    3. Распространение тепла в пространстве [185]
    4. Постановка краевых задач [188]
    5. Принцип максимального значения [194]
    6. Теорема единствениости [196]
    7. Теорема единств ениости для бесконечной прямой [199]
  § 2. Метод разделения переменных [200]
    1. Однородная краевая задача [200]
    2. Функция источника [205]
    3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями [207]
    4. Неоднородное уравнение теплопроводности [214]
    5. Общая первая краевая задача [217]
      Задачи [219]
  § 3. Задачи на бесконечной прямой [220]
    1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области [220]
    2. Краевые задачи для полу ограниченной прямой [233]
  § 4. Задачи без начальных условий [241]
      Задачи к главе III [245]
      Приложения к главе III [246]
        I. Температурные волны [246]
        II. Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры [250]
        III. Метод подобия в теории теплопроводности [255]
    1. Функция источника для бесконечной прямой [255]
    2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности [257]
        IV. Задача о фазовом переходе [259]
        V. Уравнение Эйнштейна-Колмогорова [264]
        VI. (?)-функция [267]
    1. Определение (?)-функции [267]
    2. Разложение (?)-функции в ряд Фурье [270]
    3. Применение (?)-функции к построению функции источника [272]
Глава IV. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
  § 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа [276]
    1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач [276]
    2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и  электростатического поля [277]
    3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат [279]
    4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа [282]
    5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного [283]
    6. Преобразование обратных радиусов-векторов [286]
  § 2. Общие свойства гармонических функции [287]
    1. Формулы Грниа. Интегральное представление решения [287]
    2. Некоторые основные свойства гармонических функций [293]
    3. Единствениость и устойчивость первой краевой задачи [297]
    4. Задачи с разрывными граничными условиями [298]
    5. Изолированные особые точки [299]
    6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности [301]
    7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для двух- и трехмерных задач [303]
    8. Вторая краевая задача. Теорема единствениости [305]
  § 3. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных [309]
    1. Первая краевая задача для круга [309]
    2. Интеграл Пуассона [314]
    3. Случай разрывных граничных значений [316]
  § 4. Функция источника [318]
    1. функция источника для уравнения Delta u=0 и ее основные свойства [319]
    2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы [323]
    3. Функция источника для круга [326]
    4. Функция источника для полупространства [327]
  § 5. Теория потенциала [329]
    1. Объемный потенциал [329]
    2. Плоская задача. Логарифмический потенциал [331]
    3. Несобственные интегралы [333]
    4. Первые производные объемного потенциала [340]
    5. Вторые производные объемного потенциала [343]
    6. Поверхностные потенциалы [346]
    7. Поверхности и кривые Ляпунова [350]
    8. Разрыв потенциала двойного слоя [352]
    9. Свойства потенциала простого слоя [356]
    10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач [359]
    11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам [364]
      Задачи к главе IV [369]
      Приложения к главе IV [371]
        I. Асимптотическое выражение объемного потенциала [371]
        II. Задачи электростатики [373]
        III. Основная задача электроразведки [379]
        IV. Определение векторных полей [385]
        V. Применение метода конформного преобразования в электростатике [389]
        VI. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике [392]
        VII. Бигармоническое уравнение [398]
    1. Единств ениость решения [399]
    2. Представление бигармонических функций через гармонические функции [400]
    3. Решение бигармонического уравнения для круга [402]
Глава V. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ
  § 1. Задача с начальными условиями [403]
    1. Уравнение колебаний в пространстве[403]
    2. Метод усреднения [405]
    3. Формула Пуассона [406]
    4. Метод спуска [408]
    5. Физическая интерпретация [410]
    6. Метод отражения [412]
  § 2. Интегральная формула [414]
    1. Вывод интегральной формулы [414]
    2. Следствия из интегральной формулы [417]
  § 3. Колебания ограниченных объемов [420]
    1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны [420]
    2. Колебания прямоугольной мембраны [426]
    3. Колебания круглой мембраны [430]
      Задачи к главе V [436]
      Приложения к главе V [437]
        I. Приведение уравнении теории упругости к уравнениям колебаний [437]
        II. Уравнения электромагнитного поля [440]
    1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия [440]
    2. Потенциалы электромагнитного поля [444]
    3. Электромагнитное поле осциллятора [446]
Глава VI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
  § 1. Распространение тепла в неограниченном пространстве [452]
    1. Функция температурного влияния [452]
    2. Распространение тепла в неограниченном пространстве [456]
  § 2. Распространение тепла в ограниченных телах [460]
    1. Схема метода разделения переменных [460]
    2. Остывание круглого цилиндра [464]
    3. Определение критических размеров [466]
  § 3. Краевые задачи для областей с подвижными границами [468]
    1. Формула Грина для уравнения теплопроводности и функция источника [468]
    2. Решениекраевойзадачи [472]
    3. функция источника для отрезка [474]
  § 4. Тепловые потенциалы [476]
    1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя [476]
    2. Решение краевых задач [479]
      Задачи к главе VI [480]
      Приложения к главе VI [481]
        I. Диффузия облака [481]
        II. О размагничивании цилиндра с обмоткой [484]
Глава VII. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
  § 1. Основные задачи, приводящие к уравнению (формула) [489]
    1. Установившиеся колебания [489]
    2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях [490]
    3. Диффузия в движущейся среде [490]
    4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения (формула) [491]
  § 2. Функции влияния точечных источников [493]
    1. Функции влияния точечных источников [493]
    2. Интегральное представление решения [495]
    3. Потенциалы [498]
  § 3. Задачи для неограниченной области. Принцип излучения [501]
    1. Уравнение (формула) неограниченном пространстве [501]
    2. Принцип предельного поглощения [502]
    3. Принцип предельной амплитуды [504]
    4. Условия излучения [505]
  § 4. Задачи математической теории дифракции [510]
    1. Постановка задачи [510]
    2. Единствениость решения задачи дифракции [511]
    3. Дифракция на сфере [515]
      Задачи к главе VII [521]
      Приложения к главе VII [523]
        I. Волны в цилиндрических трубах [523]
        II. Электромагнитные колебания в полых резонаторах [534]
    1. Собственные колебания цилиндрического эидовибратора [534]
    2. Электромагнитная энергия собственных колебаний [538]
    3. Возбуждение колебаний в эидовибраторе [540]
        III. Скни-эффект [542]
        IV. Распространение радиоволн над поверхностью земли [547]
      Дополнение I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
  § 1. Основные понятия [552]
    1. Сетки и сеточные функции [553]
    2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов [554]
    3. Разностная задача [560]
    4. Устойчивость [561]
  § 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности [563]
    1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами [565]
    2. Погрешность аппроксимации [566]
    3. Энергетическое тождество [568]
    4. Устойчивость [572]
    5. Сходимость и точность [576]
    6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами [577]
    7. Метод баланса. Консервативные схемы [578]
    8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами [582]
    9. Трехслойные схемы [588]
    10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки [590]
    11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений [592]
  § 3. Метод конечных разностей для решения з адачи Дирихле [596]
    1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа [596]
    2. Принцип максимума [601]
    3. Оценка решения неоднородного уравнения [603]
    4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле [604]
    5. Решение разностных уравнений методом простой итерации [606]
  § 4. Разностные методы решения задач с несколькими пространственными переменными [608]
    1. Многомерные схемы [608]
    2. Экономичные схемы [610]
    3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле [619]
      Дополнение II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
    1. Введение [624]
    2. Общее уравнение теории специальных функций [626]
    3. Поведение решений в окрестности х=а, если (формула) [627]
    4. Постановка краевых задач [629]
Часть I. Цилиндрические функции [632]
  § 1. Цилиндрические функции [632]
    1. Степенные ряды [633]
    2. Рекуррентные формулы [637]
    3. Функции полуцелого порядка [638]
    4. Асимптотический порядок цилиндрических функций [639]
  § 2. Краевые задачи для уравнения Бесселя [642]
  § 3. Различные типы цилиндрических функций [645]
    1. Функции Ханкеля [645]
    2. Функции Ханкеля и Неймана [647]
    3. Функции мнимого аргумента [649]
    4. Функция (?) [651]
  § 4. Представление цилиндрических функций в виде контурных интегралов [655]
    1. Контурные интегралы [655]
    2. функции Ханкеля [657]
    3. Некоторые свойства гамма-функции [658]
    4. Интегральное представление функции Бесселя [660]
    5. Интегральное представление (?) [662]
    6. Асимптотические формулы для цилиндрических функций [663]
  § 5. Интеграл Фурье-Бесселя и некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя [666]
    1. Интеграл Фурье-Бесселя [666]
    2. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя [668]
Часть II. Сферические функции [671]
  § 1. Полиномы Лежандра [672]
    1. Производящая функция и полиномы Лежандра [672]
    2. Рекуррентные формулы [673]
    3. Уравнение Лежандра [674]
    4. Ортогональность полиномов Лежандра [675]
    5. Норма полиномов Лежандра [676]
    6. Нули полиномов Лежандра [677]
    7. Ограниченность полиномов Лежандра [677]
  § 2. Присоединенные функции Лежандра [678]
    1. Присоединенные функции [678]
    2. Норма присоединенных функций [679]
    3. Замкнутость системы присоединенных функций [680]
  § 3. Гармонические полиномы и сферические функции [682]
    1. Гармонические полиномы [682]
    2. Сферические функции [683]
    3. Ортогональность системы сферических функций [687]
    4. Полнота системы сферических функций [689]
    5. Разложение по сферическим функциям [690]
  § 4. Некоторые примеры применения сферических функций [694]
    1. Задача Дирихле для сферы [695]
    2. Проводящая сфера в поле точечного заряда [695]
    3. Поляризация шара в однородном поле [696]
    4. Собственные колебания сферы [698]
    5. Внешняя краевая задача для сферы [701]
Часть III. Полиномы Чебьппева-Эрмита и Чебьппева-Лагерра [702]
  § 1. Полиномы Чебышева-Эрмита [703]
    1. Дифференциальная формула [703]
    2. Рекуррентные формулы [704]
    3. Уравнение Чебышева-Эрмита [704]
    4. Норма полиномов Н_n(х) [705]
    5. функции Чебышева-Эрмита [706]
  § 2. Полиномы Чебышева-Лагерра [706]
    1. Дифференциальная формула [706]
    3. Уравнение Чебьппева-Лагерра [707]
    4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лагерра [708]
    5. Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра [709]
  § 3. Простейшие задачи для уравнения Шредингера [710]
    1. Уравнение Шредингера [710]
    2. Гармонический осциллятор [712]
    3. Ротатор [713]
    4. Движение электрона в кулоновом поле [714]
Часть IV. Формулы, таблицы и графики [718]
        I. Основные свойства специальных функции [718]
        II. Таблицы [723]
        III. Графики специальных функций [726]
        IV. Различные ортогональные системы координат [728]
Формат: djvu
Размер:5785055 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 397 Рейтинг
Открыть: