Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции

Автор(ы):Уиттекер Э. Т.
06.10.2007
Год изд.:1963
Издание:2
Описание: Вторая часть посвящена главным образом изучению различных классов специальных функций. Только при комплексном подходе «жесткие» функции вещественного анализа становятся «пластическими». Метод комплексного переменного позволяет (естественным способом!) преобразовать ряд в произведение, произведение превратить в ряд элементарных дробей, ряд элементарных дробей просуммировать и вновь свернуть в функцию и т. п. Этой комплексной «пластике» и учит читателя книга Уиттекера и Ватсона.Огромную роль в книге играют примеры и задачи (их около тысячи в обеих частях). Трудные, а иногда и очень трудные выкладки влекут за собой свободное владение аналитическим аппаратом.
Оглавление:
Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции — обложка книги.
Глава 12. Гамма-функция [13]
  12.1. Определение гамма-функции. Произведение Вейерштрасса [13]
    12.1.1. Формула Эйлера для гамма-функции [16]
    12.1.2. Уравнение в конечных разностях для гамма-функции [16]
    12.1.3. Вычисление некоторых бесконечных произведений [18]
    12.1.4. Связь между гамма-функцией и тригонометрическими функциями [19]
    12.1.5. Теорема умножения Гаусса и Лежандра [20]
    12.1.6. Разложения для логарифмических производных гамма-функции [21]
  12.2. Интегральное представление Эйлера для Г (z) [22]
    12.2.1. Распространение интегрального представления гамма-функции на случай отрицательного аргумента [25]
    12.2.2. Представление Ханкеля функции Г (z) в виде контурного интеграла [26]
  12.3. Интегральное представление Гаусса для логарифмической производной от гамма-функции [29]
    12.3.1. Первое интегральное представление Бине для lg Г(z) [32]
    12.3.2. Второе интегральное представление Бине для lg Г (z) [35]
    12.3.3. Асимптотическое разложение логарифма гамма-функции (ряд Стирлинга) [37]
  12.4. Интеграл Эйлера первого рода [40]
    12.4.1. Выражение интеграла Эйлера первого рода через гамма-функцию [42]
    12.4.2. Выражение интегралов от тригонометрических функций через гамма-функции [44]
    12.4.3. Обобщение интеграла Эйлера первого рода (Похгаммер) [44]
  12.5. Интеграл Дирихле [46]
Литература [48]
Примеры [48]
Глава 13. Дзета-функция Римана [58]
  13.1. Определение дзета-функции [58]
    13.1.1. Обобщенная дзета-функция [58]
    13.1.2. Представление функции (?) в виде несобственного интеграла [59]
    13.1.3. Представление функции (?) в виде интеграла по контуру [60]
    13.1.4. Значение функции (?) для частных значений s [61]
    13.1.5. Формула Гурвица для функции (?), когда(?) [62]
      13.1.5.1. Соотношение Римана между (?) и (?) [63]
  13.2. Формула Эрмита для (?) [64]
    13.2.1. Следствия из формулы Эрмита [66]
  13.3. Бесконечное произведение Эйлера для (?) [67]
    13.3.1. Гипотеза Римана относительно нулей функции (?) [68]
  13.4. Интеграл Римана для (?) [68]
  13.5. Неравенства, которым удовлетворяет функция (?) при (?) [71]
    13.5.1. Неравенства, которым удовлетворяет функция (?) при (?) [72]
  13.6. Асимптотическое разложение функции lg Г (z+а) [74]
Литература [78]
Примеры [78]
Глава 14. Гипергеометрическая функция [81]
  14.1. Гипергеометрический ряд [81]
    14.1.1. Значение функции F (а, Ь; с; 1) при Re (с — а — Ь) > 0 [82]
  14.2. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция F (а, Ь; с; z) [83]
  14.3. Решения Я-уравнения Римана при помощи гипергеометрических функций [84]
  14.4. Соотношения между частными решениями гипергеометрического уравнения [86]
  14.5. Контурные интегралы Барнсадля гипергеометрической функции [88]
    14.5.1. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда [90]
    14.5.2. Лемма Барнса [91]
    14.5.3. Связь между гипергеометрическими функциями от z и от 1—z [93]
  14.6. Решение уравнения Римана при помощи интеграла по контуру [94]
    14.6.1. Нахождение интеграла, представляющего (?) [97]
  14.7. Соотношения между смежными гипергеометрическими функциями [98]
Литература [101]
Примеры [101]
Глава 15. Функции Лежандра [109]
  15.1. Определение полиномов Лежандра [109]
    15.1.1. Формула Родрига для полиномов Лежандра [111]
    15.1.2. Интеграл Шлефли для Рп(г) [111]
    15.1.3. Дифференциальное уравнение Лежандра [111]
    15.1.4. Интегральные свойства полиномов Лежандра [113]
  15.2. Функции Лежандра [114]
    15.2.1. Рекуррентные формулы [116]
      15.2.1.1. Разложение любого полинома по полиномам Лежандра [119]
    15.2.2. Представление Мерфи функции (?) в виде гипергеометрической функции [121]
    15.2.3. Интегралы Лапласа для (?) [123]
      15.2.3.1. Интеграл Мелера—Дирихле для (?) [127]
  15.3. Функции Лежандра второго рода [129]
    15.3.1. Разложение функции (?) в степенной ряд [130]
    15.3.2. Рекуррентные формулы для (?) [132]
    15.3.3. Интеграл Лапласа для функций Лежандра второго рода [133]
    15.3.4. Формула Неймана для (?), когда n—целое число [135]
  15.4. Разложение Гейне для функции (?) в ряд по полиномам Лежандра [136]
    15.4.1. Разложение Неймана для произвольной функции в ряд по полиномам Лежандра [138]
  15.5. Присоединенные лежандровы функции (?) и (?) Феррерса [140]
    15.5.1. Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра [141]
  15.6. Определение Гобсона присоединенных функций Лежандра [143]
    15.6.1. Выражение функции (?) через интеграл типа Лапласа [144]
  15.7. Теорема сложения для полиномов Лежандра [145]
    15.7.1. Теорема сложения для функций Лежандра [147]
  15.8. Функция (?) [149]
Литература [150]
Примеры [151]
Глава 16. Вырожденная гипергеометрическая функция [162]
  16.1. Слияние двух особых точек уравнения Римана [162]
    16.1.1. Формулы Куммера [163]
    16.1.2. Определение функции (?) [165]
  16.2. Выражение различных функций через функции типа (?) [167]
  16.3. Асимптотическое разложение функции (?) при (?) большом [169]
    16.3.1. Второе решение дифференциального уравнения для функции (?) [171]
  16.4. Контурные интегралы типа Меллина—Барнса (Mellin—Barnes) для (?) [171]
    16.4.1. Соотношения между (?) и (?) [174]
  16.5. Функции параболического цилиндра. Уравнение Вебера [176]
    16.5.1. Второе решение уравнения Вебера [177]
      16.5.1.1. Соотношение между функциями (формула) [178]
    16.5.2. Общее асимптотическое разложение для функции (?) [178]
  16.6. Контурный интеграл для функции (?) [179]
    16.6.1. Рекуррентные формулы для функции (?) [181]
  16.7. Свойства функции (?), когда n—целое число [181]
Литература [182]
Примеры [183]
Глава 17. Функции Бесселя [188]
  17.1. Коэффициенты Бесселя [188]
    17.1.1. Дифференциальное уравнение Бесселя [191]
  17.2. Решение уравнения Бесселя при любом комплексном n [192]
    17.2.1. Рекуррентные формулы для функций Бесселя [193]
      17.2.1.1. Соотношение между двумя функциями Бесселя, порядки которых отличаются на целое число [195]
      17.2.1.2. Связь между функциями (?) и (?) [195]
    17.2.2. Нули функций Бесселя, порядок которых n вещественный [196]
    17.2.3. Интеграл Бесселя для коэффициентов Бесселя [197]
      17.2.3.1. Видоизменение интеграла Бесселя, когда n не целое число [198]
    17.2.4. Функции Бесселя, порядок которых равен половине нечетного целого числа [200]
  17.3. Контурный интеграл Ханкеля для функции (?) [202]
  17.4. Связь между коэффициентами Бесселя и функциями Лежандра [205]
  17.5. Асимптотический ряд для функции (?), когда |z| велик [206]
  17.6. Второе решение уравнения Бесселя, когда порядок — целое число [209]
    17.6.1. Ряд для функции (?) при малых z [211]
  17.7. Функции Бесселя с чисто мнимым аргументом [213]
    17.7.1. Модифицированные функции Бесселя второго рода [214]
  17.8. Разложение Неймана аналитической функции в ряд по коэффициентам Бесселя [215]
    17.8.1. Доказательство разложения Неймана [217]
    17.8.2. Разложение Шлёмильха произвольной функции по функциям Бесселя нулевого порядка [219]
  17.9. Составление таблиц функций Бесселя [221]
Литература [221]
Примеры [222]
Глава 18. Уравнения математической физики [233]
  18.1. Дифференциальные уравнения математической физики [233]
  18.2. Граничные условия [234]
  18.3. Общее решение уравнения Лапласа [236]
    18.3.1. Решение уравнения Лапласа с помощью функций Лежандра [240]
  18.4. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее определенным граничным условиям на поверхности сферы [242]
  18.5. Решение уравнения Лапласа в бесселевых функциях целого порядка [245]
    18.5.1. Периоды колебания однородной мембраны [246]
  18.6. Общее решение волнового уравнения [247]
    18.6.1. Решение волнового уравнения в функциях Бесселя [248]
      18.6.1.1. Приложение результатов § 18.61 к одной физической задаче [250]
Литература [250]
Примеры [250]
Глава 19. Функции Матье [257]
  19.1. Дифференциальное уравнение Матье [257]
    19.1.1. Форма решения уравнения Матье [259]
    19.1.2. Уравнение Хилла [260]
  19.2. Периодические решения уравнения Матье [260]
    19.2.1. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют четные функции Матье [261]
    19.2.2. Доказательство того, что четные функции Матье удовлетворяют интегральному уравнению [262]
  19.3. Построение функций Матье [264]
    19.3.1. Интегральные формулы для функций Матье [267]
  19.4. Характер решения общего уравнения Матье; теория Флоке [267]
    19.4.1. Метод решения Хилла [269]
    19.4.2. Вычисление определителя Хилла [271]
  19.5. Теория Линдемана—Стилтьеса, относящаяся к общему уравнению Матье [274]
    19.5.1. Форма Линдемана теоремы Флоке [274]
    19.5.2. Определение целой функции, связанной с общим уравнением Матье [275]
    19.5.3. Решение уравнения Матье с помощью функции F(?) [277]
  19.6. Второй метод построения функции Матье [278]
    19.6.1. Сходимость рядов, определяющих функции Матье [281]
  19.7. Метод замены параметра [284]
  19.8. Асимптотическое решение уравнения Матье [285]
Литература [286]
Примеры [287]
Глава 20. Эллиптические функции. Общие теоремы и функции Вейерштрасса [290]
  20.1. Двоякопериодические функции [290]
    20.1.1. Параллелограммы периодов [291]
    20.1.2. Простые свойства эллиптических функций [292]
    20.1.3. Порядок эллиптической функции [293]
    20.1.4. Соотношение между нулями и полюсами эллиптической функции [294]
  20.2. Построение эллиптической функции. Определение функции (?) [295]
    20.2.1. Периодичность и другие свойства функции (?) [297]
    20.2.2. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (?) [299]
      20.2.2.1. Интегральная формула для (?) [301]
      20.2.2.2. Иллюстрация из теории тригонометрических функций [301]
  20.3. Теорема сложения для функции (?) [304]
    20.3.1. Другая форма теоремы сложения [305]
      20.3.1.1. Формула удвоения для (?) [306]
      20.3.1.2. Метод Абеля доказательства теоремы сложения для (?) [307]
    20.3.2. Постоянные (?), (?), (?) [308]
    20.3.3. Прибавление полупериода к аргументу функции (?) [310]
  20.4. Квазипериодические функции. Функция (?) [311]
    20.4.1. Квазипериодичность функции (?) [312]
      20.4.1.1. Соотношение между (?), и (?) [313]
    20.4.2. Функция (?) [313]
      20.4.2.1. Квазипериодичность функции (?) [314]
  20.5. Формулы, выражающие любую эллиптическую функцию через функции Вейерштрасса с теми же периодами [315]
    20.5.1. Выражение любой эллиптической функции через функции (?) и (?) [315]
    20.5.2. Выражение любой эллиптической функции через линейную комбинацию от дзета-функции и ее производных [317]
    20.5.3. Выражение любой эллиптической функции в виде отношения сигма-функций [318]
    20.5.4. Связь между любыми двумя эллиптическими функциями с одинаковыми периодами [320]
  20.6. Об интегрировании функции (формула) [321]
  20.7. Униформизация кривых рода единица [324]
Литература [325]
Примеры [325]
Глава 21. Тэта-функции [334]
  21.1. Определение тэта-функции [334]
    21.1.1. Четыре типа тэта-функций [336]
    21.1.2. Нули тэта-функций [338]
  21.2. Соотношения между квадратами тэта-функций [339]
    21.2.1. Формулы сложения для тэта-функций [340]
    21.2.2. Основные формулы Якоби. [341]
  21.3. Выражения Якоби для тэта-функций через бесконечные произведения [343]
  21.4. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют тэта-функции [345]
    21.4.1. Соотношение между тэта-функциями нулевого аргумента [345]
    21.4.2. Значение постоянной G [348]
    21.4.3. Связь сигма-функции с тэта-функциями [349]
  21.5. Выражение эллиптических функций при помощи тэта-функций [350]
    21.5.1. Мнимое преобразование Якоби [351]
    21.5.2. Преобразование типа Ландена [354]
  21.6. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют отношения тэта-функций [354]
    21.6.1. Генезис эллиптической функции Якоби (?) [356]
    21.6.2. Более раннее обозначение Якоби. Тэта-функция в (?) и эта-функция (?) [358]
  21.7. Задача обращения [359]
    21.7.1. Задача обращения для комплексных значений с. Модулярные функции (?), (?), (?) [360]
      21.7.1.1. Главное решение уравнения (формула) [361]
      21.7.1.2. Значения модулярной функции (?) на рассмотренном выше контуре [363]
    21.7.2. Периоды, рассматриваемые как функции модулей [364]
    21.7.3. Задача обращения, связанная с эллиптическими функциями Вейерштрасса [364]
  21.8. Вычисление эллиптических функций [366]
  21.9. Обозначения, применяемые для тэта-функций [368]
Литература [368]
Примеры [369]
Глава 22. Эллиптические функции Якоби [374]
  22.1. Эллиптические функции с двумя простыми полюсами [374]
    22.1.1. Эллиптические функции Якоби (?), (?), (?) [375]
    22.1.2. Простые свойства функций (?), (?), (?) [377]
      22.1.2.1. Дополнительный модуль [377]
      22.1.2.2. Обозначение Глешера для отношений [378]
  22.2. Теорема сложения для функции (?) [379]
    22.2.1. Теоремы сложения для (?) и (?) [382]
  22.3. Постоянная К [384]
      22.3.0.1. Выражение К через k [384]
      22.3.0.2. Эквивалентность определений К [385]
    22.3.1. Свойства периодичности (связанные с K) эллиптических функций Якоби [387]
    22.3.2. Постоянная K' [387]
    22.3.3. Свойства периодичности (связанные с (?)) эллиптических функций Якоби [390]
    22.3.4. Свойства периодичности (связанные с (?)) эллиптических функций Якоби [391]
      22.3.4.1. Поведение эллиптических функций Якоби в окрестности начала координат и в окрестности (?) [392]
    22.3.5. Общее описание функций (?), (?), (?) [392]
      22.3.5.1. Связь между эллиптическими функциями Вейерштрасса и Якоби [393]
  22.4. Мнимое преобразование Якоби [394]
    22.4.1. Доказательство мнимого преобразования Якоби при помощи тэта-функций [395]
    22.4.2. Преобразование Ландена [396]
      22.4.2.1. Преобразование эллиптических функций [398]
  22.5. Бесконечные произведения для эллиптических функций Якоби [398]
  22.6. Ряды Фурье для эллиптических функций Якоби [401]
    22.6.1. Ряды Фурье для обратных величин эллиптических функций Якоби [403]
  22.7. Эллиптические интегралы [404]
    22.7.1. Представление полинома четвертой степени в виде произведения двух сумм квадратов [406]
    22.7.2. Три рода эллиптических интегралов [407]
    22.7.3. Эллиптический интеграл второго рода. Функция (?) [410]
      22.7.3.1. Дзета-функция (?) [412]
      22.7.3.2. Формулы сложения для (?) и (?) [413]
      22.7.3.3. Мнимое преобразование Якоби для функции (?) [414]
      22.7.3.4. Мнимое преобразование Якоби для функции (?) [414]
      22.7.3.5. Соотношение Лежандра [415]
      22.7.3.6. Свойства полных эллиптических интегралов, рассматриваемых как функции модуля [416]
      22.7.3.7. Значения полных интегралов для малых значений k [417]
    22.7.4. Эллиптический интеграл третьего рода [418]
      22.7.4.1. Динамическое приложение эллиптического интеграла третьего рода [420]
  22.8. Лемнискатные функции [420]
    22.8.1. Значения К и K' для частных значений k [422]
    22.8.2. Геометрическое толкование функций (?), (?), (?) [426]
Литература [426]
Примеры [427]
Глава 23. Эллипсоидальные гармонические функции и уравнение Ламе [439]
  23.1. Определение эллипсоидальных гармонических функций [439]
  23.2 Четыре вида эллипсоидальных гармонических функций [440]
    23.2.1. Построение эллипсоидальных гармонических функций первого вида [441]
    23.2.2. Эллипсоидальные гармонические функции второго вида [445]
    23.2.3. Эллипсоидальные гармонические функции третьего вида [446]
    23.2.4. Эллипсоидальные гармонические функции четвертого вида [447]
    23.2.5. Выражения Нивена для эллипсоидальных гармонических Функций через однородные гармонические функции [448]
    23.2.6. Эллипсоидальные гармонические функции степени n [453]
  23.3. Эллипсоидальные координаты [454]
    23.3.1. Униформизирующие переменные, связанные с эллипсоидальными координатами [457]
    23.3.2. Уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах [459]
    23.3.3. Эллипсоидальные гармонические функции в эллипсоидальных координатах [461]
  23.4. Различные формы дифференциального уравнения Ламе [463]
    23.4.1. Решения уравнения Ламе в виде рядов [465]
    23.4.2. Определение функций Ламе [468]
    23.4.3. Об отсутствии кратных корней у функций Ламе [469]
    23.4.4. Линейная независимость функций Ламе [469]
    23.4.5. Линейная независимость эллипсоидальных гармонических функций [470]
    23.4.6. Теорема Стилтьеса о нулях функций Ламе [471]
    23.4.7. Функции Ламе второго рода [473]
  23.5. Уравнение Ламе в связи с эллиптическими функциями Якоби [475]
  23.6. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют функции Ламе первого и второго вида [476]
    23.6.1. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют функции Ламе третьего и четвертого вида [478]
    23.6.2. Интегральные формулы для эллипсоидальных гармонических функций [479]
    23.6.3. Интегральные формулы для эллипсоидальных гармонических Функций третьего и четвертого вида [482]
  23.7. Обобщения уравнения Ламе [483]
    23.7.1. Форма Якоби обобщенного уравнения Ламе [487]
Литература [490]
Примеры [490]
Именной указатель [495]
Предметный указатель [500]
Формат: djvu
Размер:4175444 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 273 Рейтинг
Открыть: