Курс современного анализа. Ч. 1. Основные операции анализа

Автор(ы):Уиттекер Э. Т.
06.10.2007
Год изд.:1963
Издание:2
Описание: Книга разделена на две части. Первая из них содержит изложение основных вопросов комплексного анализа. Основная цель книги в целом — научить читателя обращаться со специальными функциями так же свободно, как он обращается с элементарными функциями, к которым он только и приучен школой и, увы, университетом. Специальные функции в вещественном анализе обладают «жесткостью». Методами вещественного анализа можно, например, разложить котангенс в ряд элементарных дробей. Однако решение каждой такой задачи требует своего искусственного приема.
Оглавление:
Курс современного анализа. Ч. 1. Основные операции анализа — обложка книги.
Предисловие ко второму русскому изданию [11]
Глава 1. Комплексные числа [13]
  1.1. Рациональные числа [13]
  1.2. Теория иррациональных чисел Дедекинда [14]
  1.3. Комплексные числа [17]
  1.4. Модуль комплексного числа [19]
  1.5. Диаграмма Аргана [30]
Литература [21]
Примеры [21]
Глава 2. Теория сходимости [22]
  2.1. Определение предела последовательности [22]
    2.1.1. Определение термина «порядок величины» [23]
  2.2. Предел возрастающей последовательности [23]
    2.2.1. Предельные точки и теорема Больцано—Вейерштрасса [24]
      2.2.1.1. Определение «наибольшего из пределов» [25]
    2.2.2. Теорема Коши о необходимом и достаточном условии существования предела [25]
  2.3. Сходимость бесконечных рядов [27]
      2.3.0.1. Неравенство Абеля [29]
    2.3.1. Признак сходимости Дирихле [30]
    2.3.2. Абсолютная и условная сходимость [31]
    2.3.3. Геометрический ряд и ряд (?) [32]
    2.3.4. Теорема сравнения [33]
    2.3.5. Признак абсолютной сходимости Коши [35]
    2.3.6. Признак абсолютной сходимости Даламбера [36]
    2.3.7. Общая теорема о рядах, для которых (формула) [37]
    2.3.8. Сходимость гипергеометрического ряда [38]
  2.4. Влияние изменения порядка членов ряда [39]
    2.4.1. Основные свойства абсолютно сходящихся рядов [40]
  2.5. Двойные ряды [41]
    2.5.1. Методы нахождения сумм двойных рядов [43]
    2.5.2. Абсолютная сходимость двойных рядов [43]
    2.5.3. Теорема Коши об умножении абсолютно сходящихся рядов [44]
  2.6. Степенные ряды [45]
    2.6.1. Сходимость рядов, получаемых дифференцированием степенного ряда [47]
  2.7. Бесконечные произведения [48]
    2.7.1. Примеры бесконечных произведений [51]
  2.8. Бесконечные определители [54]
    2.8.1. Сходимость бесконечного определителя [55]
    2.8.2. Теорема об изменении элементов в сходящихся бесконечных определителях [56]
Литература [57]
Примеры [57]
Глава 3. Непрерывные функции и равномерная сходимость [62]
  3.1. Зависимость одного комплексного числа от другого [62]
  3.2. Непрерывность функций вещественных переменных [63]
    3.2.1. Простые кривые. Континуумы [64]
    3.2.2. Непрерывные функции комплексных переменных [66]
  3.3. Ряды с переменными членами. Равномерная сходимость [66]
    3.3.1. Об условии равномерной сходимости [67]
    3.3.2. Связь разрывности с неравномерной сходимостью [69]
    3.3.3. Различие между абсолютной и равномерной сходимостью [71]
    3.3.4. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса [72]
      3.3.4.1. Равномерная сходимость бесконечных произведений [72]
    3.3.5. Признак равномерной сходимости Харди [73]
  3.4. Исследование некоторых двойных рядов [75]
  3.5. Общее понятие равномерности [77]
  3.6. Видоизмененная теорема Гейне—Бореля [78]
    3.6.1. Равномерная непрерывность [79]
    3.6.2. Вещественная функция вещественной переменной, непрерывная в замкнутом интервале, достигает своей верхней границы [81]
    3.6.3. Вещественная функция вещественной переменной, непрерывная в замкнутой области, принимает все значения между верхней и нижней границами [82]
    3.6.4. Полная вариация функции вещественной переменной [82]
  3.7. Равномерная сходимость степенных рядов [83]
    3.7.1. Теорема Абеля о непрерывности вплоть до границы круга сходимости [83]
    3.7.2. Теорема Абеля об умножении рядов [84]
    3.7.3. Степенные ряды, тождественно равные нулю [85]
Литература [85]
Примеры [86]
Глава 4. Теория интеграла Римана [88]
  4.1. Понятие интегрирования [88]
    4.1.1. Верхний и нижний интегралы [88]
    4.1.2. Условие интегрируемости в смысле Римана [90]
    4.1.3. Одна общая теорема об интеграле Римана [91]]
    4.1.4. Теоремы о среднем значении [94]
  4.2. Дифференцирование интегралов, содержащих параметр [96]
  4.3. Двойные и повторные интегралы [98]
  4.4. Интегралы с бесконечными пределами [100]
    4.4.1. Интегралы с бесконечными пределами от непрерывных функций. Необходимое и достаточное условие сходимости [101]
    4.4.2. Равномерная сходимость интеграла с бесконечными пределами [101]
    4.4.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами [102]
      4.4.3.1. Признаки равномерной сходимости интегралов с бесконечными пределами [104]
    4.4.4. Теоремы, относящиеся к равномерно сходящимся интегралам с бесконечными пределами [106]
  4.5. Несобственные интегралы. Главные значения [109]
    4.5.1. Изменение порядка интегрирования в некоторых повторных интегралах [110]
  4.6. Интегрирование комплексных функций [113]
    4.6.1. Основная теорема для интегралов в комплексной области [114]
    4.6.2. Верхняя граница модуля интеграла в комплексной области [114]
  4.7. Интегрирование бесконечных рядов [115]
Литература [117]
Примеры [117]
Глава 5. Основные свойства аналитических функций, теоремы Тейлора, Лорана и Лиувилля [120]
  5.1. Свойства элементарных функций [120]
    5.1.1. Отступления от рассматриваемого свойства [121]
    5.1.2. Определение аналитической функции комплексного переменного по Коши [121]
    5.1.3. Приложение видоизмененной теоремы Гейне—Бореля [123]
  5.2. Теорема Коши об интеграле по контуру [123]
    5.2.1. Выражение значения аналитической функции в точке через интеграл, взятый по контуру, окружающему эту точку [127]
    5.2.2. Производные аналитической функции (?) [129]
    5.2.3. Неравенство Коши (?) [130]
  5.3. Аналитические функции, представляемые равномерно сходящимися рядами [131]
    5.3.1. Аналитические функции, представляемые интегралами [132]
    5.3.2. Аналитические функции, представляемые интегралами с бесконечными пределами [133]
  5.4. Теорема Тейлора [133]
    5.4.1. Формы остаточного члена в ряде Тейлора [137]
  5.5. Процесс аналитического продолжения [138]
      5.5.0.1. О функциях, к которым не может быть применен процесс аналитического продолжения [140]
    5.5.1. Тождественность двух функций [141]
  5.6. Теорема Лорана [142]
    5.6.1. Природа особенностей однозначных функций [145]
    5.6.2. «Бесконечно удаленная точка» [147]
    5.6.3. Теорема Лиувилля [149]
    5.6.4. Функции без существенно особых точек [150]
  5.7. Многозначные функции [151]
Литература [152]
Примеры [153]
Глава 6. Теория вычетов и приложение ее к вычислению определенных интегралов [157]
  6.1. Вычеты [157]
  6.2. Вычисление определенных интегралов [158]
    6.2.1. Вычисление интегралов некоторых периодических функций, взятых между пределами 0 и 2(?) [159]
    6.2.2. Вычисление определенных интегралов, взятых между пределами (?) и (?) [160]
      6.2.2.1. Некоторые интегралы с бесконечными пределами, содержащие синусы и косинусы [162]
      6.2.2.2. Лемма Жордана [162]
    6.2.3. Главные значения интегралов [165]
    6.2.4. Вычисление интегралов вида (формула) [166]
  6.3. Интегралы Коши [168]
    6.3.1. Число корней уравнения, содержащихся внутри контура [169]
  6.4. Связь между нулями функции и нулями ее производной [170]
Литература [171]
Примеры [171]
Глава 7. Разложение функций в бесконечные ряды [176]
  7.1. Формула Дарбу [176]
  7.2. Числа и полиномы Бернулли [177]
    7.2.1. Разложение Эйлера—Маклорена [179]
  7.3. Теорема Бюрмана [181]
    7.3.1. Обобщение теоремы Бюрмана, данное Тейшейра [184]
    7.3.2. Теорема Лагранжа [186]
  7.4. Разложение функций некоторого класса на простейшие дроби [187]
  7.5. Разложение функций некоторого класса в бесконечные произведения [191]
  7.6. Теорема Вейерштрасса о бесконечных произведениях [192]
  7.7. Разложение периодических функций некоторого класса в ряд по котангенсам [195]
  7.8. Теорема Бореля [196]
    7.8.1. Интеграл Бореля и аналитическое продолжение [197]
    7.8.2. Разложение в ряд обратных факториалов [199]
Литература [202]
Примеры [202]
Глава 8. Асимптотические разложения и суммируемые ряды [210]
  8.1. Простой пример асимптотического разложения [210]
  8.2. Определение асимптотического разложения [211]
    8.2.1. Другой пример асимптотического разложения [212]
  8.3. Умножение асимптотических разложений [213]
    8.3.1. Интегрирование асимптотических разложений [214]
    8.3.2. Единственность асимптотического разложения [215]
  8.4. Методы «суммирования» рядов [216]
    8.4.1. Метод суммирования Вореля [216]
    8.4.2. Метод суммирЪвания Эйлера [217]
    8.4.3. Метод суммирования Чезаро [217]
      8.4.3.1. Общий метод суммирования Чезаро [219]
    8.4.4. Метод суммирования Рисса [219]
  8.5. Теорема Харди [219]
Литература [222]
Примеры [222]
Глава 9. Ряды Фурье и тригонометрические ряды [224]
  9.1. Определение ряда Фурье [224]
    9.1.1. Область, внутри которой тригонометрический ряд сходится [226]
    9.1.2. Выражение коэффициентов через сумму тригонометрического ряда [228]
  9.2. Об условиях Дирихле и теореме Фурье [229]
    9.2.1. Представление функции рядом Фурье на произвольном отрезке [231]
    9.2.2. Ряды косинусов и ряды синусов [231]
  9.3. Свойства коэффициентов ряда Фурье [234]
    9.3.1. Дифференцирование рядов Фурье [236]
    9.3.2. Определение точек разрыва [237]
  9.4. Теорема Фейера [238]
    9.4.1. Леммы Римана—Лебега [243]
    9.4.2. Доказательство теоремы Фурье [245]
    9.4.3. Доказательство Дирихле—Бонне теоремы Фурье [248]
    9.4.4. Равномерная сходимость рядов Фурье [253]
  9.5. Теорема Гурвица—Ляпунова о коэффициентах Фурье [255]
  9.6. Риманова теория тригонометрических рядов [257]
    9.6.1. Ассоциированная функция Римана [258]
    9.6.2. Свойства ассоциированной функции Римана; первая лемма Римана [260]
      9.6.2.1. Вторая лемма Римана [262]
    9.6.3. Теорема Римана о тригонометрических рядах [263]
      9.6.3.1. Лемма Шварца [264]
      9.6.3.2. Доказательство теоремы Римана [265]
  9.7. Представление функции интегралом Фурье [266]
Литература [268]
Примеры [269]
Глава 10. Линейные дифференциальные уравнения [275]
  10.1. Линейные дифференциальные уравнения. Обыкновенные и особые точки [275]
  10.2. Решение дифференциального уравнения в окрестности обыкновенной точки [275]
    10.2.1. Единственность решения [277]
  10.3. Правильные точки дифференциального уравнения [279]
    10.3.1. Сходимость разложения из § 10.3 [281]
    10.3.2. Нахождение второго решения в случае, когда разность показателей будет целым числом или нулем [283]
  10.4. Решения, годные для больших значений |z| [285]
  10.5. Неправильные особые точки и слияние [286]
  10.6. Дифференциальные уравнения математической физики [286]
  10.7. Линейные дифференциальные уравнения с тремя особыми точками [290]
    10.7.1. Преобразования P-уравнения Римана [292]
    10.7.2. Связь P-уравнения Римана с гипергеометрическим уравнением [293]
  10.8. Линейные дифференциальные уравнения с двумя особыми точками [293]
Литература [294]
Примеры [294]
Глава 11. Интегральные уравнения [297]
  11.1. Определение интегрального уравнения [297]
    11.1.1. Алгебраическая лемма [298]
  11.2. Уравнение Фредгольма и его предполагаемое решение [300]
    11.2.1. Исследование решения Фредгольма [302]
    11.2.2. Взаимные функции Вольтерра [306]
    11.2.3. Однородные интегральные уравнения [308]
  11.3. Интегральные уравнения первого и второго рода [310]
    11.3.1. Уравнение Вольтерра [311]
  11.4. Метод последовательных подстановок Лиувилля—Неймана [311]
  11.5. Симметричные ядра [313]
    11.5.1. Теорема Шмидта: если ядро симметрично, то уравнение D(?) = 0 имеет по меньшей мере один корень [314]
  11.6. Ортогональные функции [315]
    11.6.1. Связь ортогональных функций с однородными интегральными уравнениями [316]
  11.7. Разложение симметричного ядра [319]
    11.7.1. Решение уравнения Фредгольма при помощи рядов [321]
  11.8. Решение интегрального уравнения Абеля [322]
    11.8.1. Интегральное уравнение Шлёмильха [323]
Литература [324]
Примеры [325]
Приложение. Элементарные трансцендентные функции [327]
  А.1. О некоторых допущениях, принятых в главах 1—4 [327]
    А.1.1. Содержание настоящего приложения [328]
    А.1.2. Логический порядок развития элементов анализа [328]
  А.2. Показательная функция ехр z [329]
    А.2.1. Теорема сложения для показательной функции и ее следствия [330]
    А.2.2. Различные свойства показательной функции [331]
  А.З. Логарифмы положительных чисел [332]
    А.3.1. Непрерывность логарифма [332]
    А.3.2. Дифференцирование логарифма [333]
    А.З.З. Разложение функции Ln (1+a) по степеням а [333]
  А.4 Определение синуса и косинуса [334]
    А.4.1. Основные свойства функций sin z и cos z [335]
    А.4.2. Теорема сложения для функций sin z и cos z [335]
  А.5. Периодичность показательной функции [336]
    А.5.1. Решение уравнения exp(?)=1 [336]
    А.5.2. Решение одной системы тригонометрических уравнений [338]
      А.5.2.1. Главное решение системы тригонометрических уравнений [339]
    А.5.2.2. Непрерывность аргумента комплексного переменного [339]
  А.6. Логарифмы комплексных чисел [341]
  А.7. Аналитическое определение углов [341]
Формат: djvu
Размер:2760954 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 245 Рейтинг
Открыть: