Анализ. Т. 1

Автор(ы):Шварц Л.
06.10.2007
Описание: Этот двухтомный курс существенно отличается от всех имеющихся книг по анализу. Изложение отличается глубоким взаимопроникновением методов классического и функционального анализа, современной алгебры и топологии. Первый том включает теорию множеств, дифференциальное и интегральное исчисление.
Оглавление:
Анализ. Т. 1 — обложка книги.
Предисловие редактора перевода [5]
Предисловие [7]
Глава I. Теория множеств [9]
  1. Множества. Элементарные операции [9]
    Части множества [9]
    Отношение включения. Дополнение [10]
    Объединение. Пересечение [10]
    Произведение множеств [11]
  2. Отображения. Функции [11]
    Примеры отображений [12]
    Инъекции. Сюръекции. Биекции [13]
    Образ и прообраз подмножества [13]
    Множество отображений. Семейства. Последовательности [15]
    Композиция отображений [15]
    Замена переменных и замена функций [16]
  3. Отношения эквивалентности. Фактормножество [17]
    Классы эквивалентности. Разбиения [18]
    Фактормножество [19]
    Факторгруппа по инвариантной подгруппе [19]
    Факторпространство векторного пространства по векторному подпространству [20]
  4. Отношения порядка [21]
    Примеры отношений порядка [22]
    Мажорируемые части. Мажоранты. Максимум. Точная верхняя грань [23]
    Возрастающие функции [25]
    Пополненная прямая [26]
  5. Мощности. Счетные множества [27]
    Мощности. Кардинальные числа [27]
    Счетные множества [31]
    Мощность континуума [33]
    Трансцендентные числа [33]
    Континуум-гипотеза [35]
  6. Некоторые основные понятия логики [36]
Глава II. Топология [40]
  1. Метрические пространства. Элементарные примеры [40]
    Сферы. Шары [41]
    Нормированные векторные пространства [41]
  2. Открытые и замкнутые части. Окрестности. Внутренность. Граница. Замыкание. Плотные подмножества [44]
    Открытые части [44]
    Замкнутые части [45]
    Окрестности [46]
    Внутренность [47]
    Внешность [48]
    Граница [48]
    Замыкание [49]
    Плотные подмножества [50]
    Подпространства. Индуцированная метрика [50]
  3. Непрерывные функции. Гомеоморфизмы [52]
    Гомеоморфизмы [54]
  4. Метрические пространства и топологические пространства [55]
    Топология пополненной прямой (?) [60]
  5. Последовательности. Пределы. Сходимости [60]
  6. Топологическое произведение [63]
    Сходящиеся последовательности в произведении [64]
    Непрерывные функции многих переменных [65]
    Топологические группы. Топологические векторные пространства [66]
    Раздельная непрерывность функции двух переменных [67]
  7. Компактные пространства. Элементарные свойства [67]
    Локально компактные пространства [74]
    Точка сгущения последовательности [75]
    Верхний и нижний пределы вещественной последовательности [79]
  8. Свойства непрерывных функций на компактных пространствах [79]
    Равномерная непрерывность [86]
  9. Связные пространства [88]
    Линейно связные пространства [90]
  10. Дополнение по общей топологии связных пространств [92]
    Некоторые применения понятия связности. Критерии негомеоморфности [97]
    Существование и непрерывность обратной функции для строго монотонной непрерывной функции [98]
    Применение: метрики, определяющие топологию в (?) [99]
  11. Полные метрические пространства [100]
    Продолжение равномерно непрерывных отображений [104]
    Частные свойства конечномерных топологических векторных пространств [106]
  12. Теорема о неподвижной точке [107]
  13. Элементарная теория нормированных векторных пространств и пространств Банаха [110]
    Ядро и образ непрерывного линейного отображения [113]
    Произведения нормированных векторных пространств [118]
    Билинейные непрерывные отображения произведения нормированных векторных пространств в нормированное векторное пространство [121]
    Мультилинейные непрерывные отображения [126]
    Алгебры. Нормированные алгебры [127]
  14. Ряды в нормированных векторных пространствах [128]
    Перестановка членов ряда [130]
    Суммирование по блокам безусловно сходящегося ряда [134]
    Действие линейного непрерывного отображения на ряд [136]
    Произведение двух числовых рядов. Применение билинейного непрерывного отображения к двум рядам [137]
    Обратимые отображения в банаховых пространствах [139]
    Критерий условной сходимости [142]
  15. Наиболее употребительные примеры функциональных пространств. Сходимость простая и равномерная [146]
    Функциональные пространства [146]
    Простая сходимость последовательности функций [149]
    Равномерная сходимость последовательности функций [150]
    Другие применения выражения "равномерная сходимость" [152]
    Пространства, порожденные структурами пространств Е и F [154]
    Непрерывность локально равномерного предела последовательности непрерывных функций [155]
    Некоторые контрпримеры [157]
    Ряды функций со значениями в нормированном векторном пространстве [159]
  16. Бесконечные произведения вещественных или комплексных чисел и функций [162]
    Бесконечные произведения и логарифмические ряды [164]
    Бесконечные произведения вещественных или комплексных функций [167]
    Применение к функции (?)Римана [168]
Глава III. Дифференциальное исчисление [174]
  1. Аффинные пространства [174]
    Аффинные многообразия [176]
    Линейные отображения. Аффинные отображения [178]
    Аффинные нормированные пространства [179]
    Выпуклые множества в аффинных пространствах [183]
    Евклидовы векторные и евклидовы аффинные пространства [184]
    Эрмитовы векторные и эрмитовы аффинные пространства [187]
    Изоморфизм (или полуизоморфизм) конечномерного евклидова (или эрмитова) пространства и его сопряженного пространства [189]
    Ортонормированные базисы [190]
    Обобщенные евклидовы или эрмитовы пространства [192]
  2. Вещественные функции вещественной переменной. Непрерывность справа и слева [195]
    Разрывы первого рода. Правильные функции [196]
    Производная вещественной функции вещественной переменной [198]
    Монотонные функции [202]
    Дифференцируемые функции и теоремы о промежуточных значениях [204]
    Выпуклые функции [204]
  3. Производная отображения одного аффинного пространства в другое. Производный вектор функции скалярной переменной [208]
    Общий случай. Частная производная вдоль вектора [209]
    Матрица Якоби. Якобиан [211]
    Недостатки понятия производной вдоль вектора [212]
    Полная производная или производное отображение [213]
    Понятие дифференциала [217]
    Геометрическая интерпретация производного отображения: дифференцируемое многообразие и линейное касательное многообразие [218]
    Градиент вещественной функции в евклидовом пространстве [221]
    Случай, когда F является произведением аффинных пространств [223]
    Случай, когда Е является произведением аффинных пространств. Частные производные отображения [224]
    Производная билинейного непрерывного отображения [225]
    Дифференцируемые функции. Непрерывно дифференцируемые функции [227]
    Примеры непрерывно дифференцируемых функций [228]
    Пространства дифференцируемых функций [229]
  4. Теорема о сложной функции [230]
    Примеры вычисления обычных производных [235]
  5. Формула конечных приращений [247]
    Полная дифференцируемость и частная дифференцируемость [253]
  6. Производные высших порядков [257]
    Последовательные производные [261]
    Случаи произведения пространств. Полная и частная дифференцируемости [266]
    Пространства n раз дифференцируемых функций [267]
    Производная произведения (формула Лейбница) [268]
  7. Формула Тейлора. Максимум и минимум [272]
    Применение формулы Тейлора для вычисления производных [276]
    Формула Тейлора относительно некоторой системы координат [279]
    Применение к изучению максимумов и минимумов. Определения [285]
    Необходимые условия экстремума [285]
    Нахождение необходимых и достаточных условии экстремума функции [287]
    Частный случай вещественной функции (?) двух вещественных переменных х, у [290]
    Применение формулы Тейлора к изучению расположения гиперповерхности по отношению к касательной гиперплоскости [292]
  8. Теорема о неявной функции. Постановка задачи [293]
    Существование неявной функции [294]
    Дифференцируемость неявной функции [298]
    Дифференцируемость функции (?) на (?) [300]
    Частный случай, когда Е=F=G=К-скалярное поле [306]
    Случай, когда Е, F, G конечномерны [308]
    Обратная функция как неявная функция [309]
    Вычисление производных высших порядков неявной функции [314]
    Техника замены переменных и замены функций [318]
  9. Дифференцируемые многообразия [319]
    Определение многообразия при помощи его параметрического представления [321]
    Определение многообразия с помощью неявных уравнений [331]
    Вещественные и комплексные многообразия [333]
    Абстрактные многообразия [334]
    Векторное пространство, касательное в точке к многообразию аффинного пространства Е размерности N [338]
    Векторное пространство, касательное к абстрактному многообразию в точке [343]
    Теорема о постоянном ранге [345]
    Зависимые и независимые функции [350]
    Особые, или параметрические, многообразия [352]
  10. Условные максимумы и минимумы [353]
    Практический способ вычисления условного максимума или минимума [356]
    Применение теории условных максимумов. Неравенства Гёльдера и Минковского [358]
  11. Вариационное исчисление [369]
    Постановка задачи [369]
    Дифференцируемость J [372]
    Необходимые условия экстремума [378]
    Лемма Хаара [379]
    Простые случаи интегрируемости уравнений Эйлера [383]
    Уравнение геодезических на поверхности [389]
    Относительный экстремум [393]
    Замена переменных [394]
    Приложение к задаче о геодезических [396]
    Переменные концы. Условие трансверсальности [400]
    Применение к геодезическим кривым [405]
    Канонические уравнения Гамильтона [406]
    Применения к механике [409]
    Вариационное исчисление для кратных интегралов [410]
Глава IV. Интегральное исчисление [416]
  1. Интеграл Римана на прямой [416]
    Ступенчатые функции [418]
    Верхний интеграл Римана от ограниченной функции f>Q с компактным носителем [421]
    Интегрируемые функции со значениями в пространстве Банаха [423]
    Интеграл от интегрируемой функции [425]
    Примеры интегрируемых по Риману функций [433]
    Вычисление интеграла функции с помощью сумм Коши - Римана [435]
    Среднее значение функции на интервале [438]
  2. Меры Радона на локально компактном пространстве [439]
    Мера Радона на компактном пространстве [439]
    Примеры мер Радона [440]
    Меры на локально компактном пространстве [446]
    Примеры мер Радона [448]
    Применения к механике и физике [450]
    Векторные меры [450]
    Разложение единицы [452]
    Носитель меры Радона [465]
    Продолжение меры на непрерывные функции (?) с некомпактным носителем [473]
    Принцип кусочной склейки мер [475]
    Комплексные и вещественные меры [476]
    Вещественные положительные меры [478]
    Решетки [481]
  3. Продолжение положительной меры. Теория Лебега [489]
    Внешние меры открытых множеств [490]
    Внутренняя мера компакта [492]
    Измеримые множества. Мера множеств [494]
    Множества нулевой меры [506]
    Свойства, выполняющиеся почти всюду [508]
    (?)-измеримые функции со значениями в метризуемом сепарабельном пространстве [510]
    (?)-этажные функции [513]
    Борелевские функции [517]
    Интеграл от векторной этажной функции [520]
    Верхний интеграл от вещественной неотрицательной функции [520]
    Интегрируемость функций с векторными значениями [524]
    Интеграл Лебега от функции с векторными значениями [524]
    Интегрируемость и интегралы от функций, определенных почти всюду [533]
  4. Теорема Лебега о сходимости. Пространство (?) [534]
    Примеры применений теоремы Лебега [540]
    Характеристика интегрируемых функций. Интегрируемость и измеримость [551]
    Теория интегрирования, основанная на свойствах непрерывных и полунепрерывных снизу функций [555]
    Пространства (?) [561]
    Пространства (?). Теорема Фишера-Рисса [572]
    Пространства (?) и (?) [574]
    Продолжение мер, не обладающих свойством неотрицательности [578]
  5. Умножение меры на функцию [590]
    Произведение векторной меры на непрерывную скалярную функцию [590]
    Элементарные свойства [591]
    Случай когда (?) - вещественная мера (?) [591]
    Мера с базой (?). Мера с базой (?) [594]
    Применение к продолжению меры с векторными значениями [610]
    Применение к интегрируемости функции по нескольким мерам [612]
    Сопряженность пространств (?) и (?) [614]
  6. Образ меры при отображении [617]
    Случай, когда Н является гомеоморфизмом X на Y [626]
    Обобщение теоремы 59 на случай, когда (?) не (?) [627]
    Различные примеры образов мер [628]
  7. Широкая сходимость мер Радона [630]
    Сходимость по норме. Локальная сходимость по норме [630]
    Широкая сходимость [632]
    Функции, mu-интегрируемые по Риману [634]
    Широкая сходимость и равномерная сходимость [641]
    Компактные подмножества пространства (?) [645]
    Широкая сходимость последовательности мер к мере Дирака [646]
    Узкая сходимость последовательности мер конечной нормы [652]
    Сходимость широкая и сходимость узкая [654]
  8. Тензорное произведение мер. Кратные интегралы [657]
    Постановка задачи [657]
    Существование и единственность тензорного произведения [658]
    Примеры тензорных произведении [662]
    Элементарные свойства [663]
    Носитель меры (?) [663]
    Случай, когда интегрируемая функция является произведением функции от x и функции от у [673]
    Окончание доказательства прямого утверждения теоремы [675]
    Обобщение на произвольные кратные интегралы [677]
    Широкая сходимость тензорных произведений [679]
  9. Частные свойства мер Радона на вещественной прямой R [682]
    Введение символа (?) [682]
    Неопределенные интегралы [683]
    Функции с ограниченной вариацией на прямой [686]
    Функция, удовлетворяющая условию Липшица на ограниченном интервале (?) прямой R, имеет ограниченную вариацию [687]
    Функции ограниченной вариации и неопределенные интегралы [694]
    Длина пути в метрическом пространстве [701]
    Неопределенный интеграл и первообразная [706]
    Последовательные первообразные непрерывной функции на прямой [711]
    Формула интегрирования по частям [716]
    Замена переменных при вычислении простых интегралов [720]
    Несобственные интегралы на прямой [724]
    Примеры применения критерия Абеля [732]
    Главное значение в смысле Коши [736]
  10. Кратные интегралы на (?). Длины, площади и объемы в конечномерном аффинном евклидовом пространстве. Замена переменных в кратных интегралах на (?) [742]
    Измерение объемов в аффинных евклидовых конечномерных пространствах [754]
    Измерение длин в аффинном евклидовом пространстве [756]
    Измерение n-мерных площадей в линейном многообразии размерности n аффинного евклидова конечномерного пространства [756]
    n-мерная площадь n-мерного параметрического многообразия [760]
    Вычисление объемов с помощью поверхностных интегралов [770]
  11. Функции, представимые рядами или интегралами [777]
    Функции, представимые рядами [777]
    Непрерывность суммы ряда [778]
    Интегрируемость суммы ряда относительно некоторой меры (?) [778]
    Дифференцируемость суммы ряда [779]
    Дифференцируемость бесконечного произведения [787]
    Функции, представимые интегралами [792]
    Непрерывность функции, представимой интегралом [792]
    Интегрируемость функции, представимой интегралом [793]
    Дифференцируемость функции, представимой интегралом [794]
    Случай несобственных сходящихся интегралов [799]
    Применение к делимости дифференцируемых функций [804]
    Предметный указатель [811]
Формат: djvu
Размер:9076632 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 222 Рейтинг
Открыть: