Анализ. Т. 1
Автор(ы): | Шварц Л.
06.10.2007
|
Описание: | Этот двухтомный курс существенно отличается от всех имеющихся книг по анализу. Изложение отличается глубоким взаимопроникновением методов классического и функционального анализа, современной алгебры и топологии. Первый том включает теорию множеств, дифференциальное и интегральное исчисление. |
Оглавление: |
Обложка книги.
Предисловие редактора перевода [5]Предисловие [7] Глава I. Теория множеств [9] 1. Множества. Элементарные операции [9] Части множества [9] Отношение включения. Дополнение [10] Объединение. Пересечение [10] Произведение множеств [11] 2. Отображения. Функции [11] Примеры отображений [12] Инъекции. Сюръекции. Биекции [13] Образ и прообраз подмножества [13] Множество отображений. Семейства. Последовательности [15] Композиция отображений [15] Замена переменных и замена функций [16] 3. Отношения эквивалентности. Фактормножество [17] Классы эквивалентности. Разбиения [18] Фактормножество [19] Факторгруппа по инвариантной подгруппе [19] Факторпространство векторного пространства по векторному подпространству [20] 4. Отношения порядка [21] Примеры отношений порядка [22] Мажорируемые части. Мажоранты. Максимум. Точная верхняя грань [23] Возрастающие функции [25] Пополненная прямая [26] 5. Мощности. Счетные множества [27] Мощности. Кардинальные числа [27] Счетные множества [31] Мощность континуума [33] Трансцендентные числа [33] Континуум-гипотеза [35] 6. Некоторые основные понятия логики [36] Глава II. Топология [40] 1. Метрические пространства. Элементарные примеры [40] Сферы. Шары [41] Нормированные векторные пространства [41] 2. Открытые и замкнутые части. Окрестности. Внутренность. Граница. Замыкание. Плотные подмножества [44] Открытые части [44] Замкнутые части [45] Окрестности [46] Внутренность [47] Внешность [48] Граница [48] Замыкание [49] Плотные подмножества [50] Подпространства. Индуцированная метрика [50] 3. Непрерывные функции. Гомеоморфизмы [52] Гомеоморфизмы [54] 4. Метрические пространства и топологические пространства [55] Топология пополненной прямой (?) [60] 5. Последовательности. Пределы. Сходимости [60] 6. Топологическое произведение [63] Сходящиеся последовательности в произведении [64] Непрерывные функции многих переменных [65] Топологические группы. Топологические векторные пространства [66] Раздельная непрерывность функции двух переменных [67] 7. Компактные пространства. Элементарные свойства [67] Локально компактные пространства [74] Точка сгущения последовательности [75] Верхний и нижний пределы вещественной последовательности [79] 8. Свойства непрерывных функций на компактных пространствах [79] Равномерная непрерывность [86] 9. Связные пространства [88] Линейно связные пространства [90] 10. Дополнение по общей топологии связных пространств [92] Некоторые применения понятия связности. Критерии негомеоморфности [97] Существование и непрерывность обратной функции для строго монотонной непрерывной функции [98] Применение: метрики, определяющие топологию в (?) [99] 11. Полные метрические пространства [100] Продолжение равномерно непрерывных отображений [104] Частные свойства конечномерных топологических векторных пространств [106] 12. Теорема о неподвижной точке [107] 13. Элементарная теория нормированных векторных пространств и пространств Банаха [110] Ядро и образ непрерывного линейного отображения [113] Произведения нормированных векторных пространств [118] Билинейные непрерывные отображения произведения нормированных векторных пространств в нормированное векторное пространство [121] Мультилинейные непрерывные отображения [126] Алгебры. Нормированные алгебры [127] 14. Ряды в нормированных векторных пространствах [128] Перестановка членов ряда [130] Суммирование по блокам безусловно сходящегося ряда [134] Действие линейного непрерывного отображения на ряд [136] Произведение двух числовых рядов. Применение билинейного непрерывного отображения к двум рядам [137] Обратимые отображения в банаховых пространствах [139] Критерий условной сходимости [142] 15. Наиболее употребительные примеры функциональных пространств. Сходимость простая и равномерная [146] Функциональные пространства [146] Простая сходимость последовательности функций [149] Равномерная сходимость последовательности функций [150] Другие применения выражения "равномерная сходимость" [152] Пространства, порожденные структурами пространств Е и F [154] Непрерывность локально равномерного предела последовательности непрерывных функций [155] Некоторые контрпримеры [157] Ряды функций со значениями в нормированном векторном пространстве [159] 16. Бесконечные произведения вещественных или комплексных чисел и функций [162] Бесконечные произведения и логарифмические ряды [164] Бесконечные произведения вещественных или комплексных функций [167] Применение к функции (?)Римана [168] Глава III. Дифференциальное исчисление [174] 1. Аффинные пространства [174] Аффинные многообразия [176] Линейные отображения. Аффинные отображения [178] Аффинные нормированные пространства [179] Выпуклые множества в аффинных пространствах [183] Евклидовы векторные и евклидовы аффинные пространства [184] Эрмитовы векторные и эрмитовы аффинные пространства [187] Изоморфизм (или полуизоморфизм) конечномерного евклидова (или эрмитова) пространства и его сопряженного пространства [189] Ортонормированные базисы [190] Обобщенные евклидовы или эрмитовы пространства [192] 2. Вещественные функции вещественной переменной. Непрерывность справа и слева [195] Разрывы первого рода. Правильные функции [196] Производная вещественной функции вещественной переменной [198] Монотонные функции [202] Дифференцируемые функции и теоремы о промежуточных значениях [204] Выпуклые функции [204] 3. Производная отображения одного аффинного пространства в другое. Производный вектор функции скалярной переменной [208] Общий случай. Частная производная вдоль вектора [209] Матрица Якоби. Якобиан [211] Недостатки понятия производной вдоль вектора [212] Полная производная или производное отображение [213] Понятие дифференциала [217] Геометрическая интерпретация производного отображения: дифференцируемое многообразие и линейное касательное многообразие [218] Градиент вещественной функции в евклидовом пространстве [221] Случай, когда F является произведением аффинных пространств [223] Случай, когда Е является произведением аффинных пространств. Частные производные отображения [224] Производная билинейного непрерывного отображения [225] Дифференцируемые функции. Непрерывно дифференцируемые функции [227] Примеры непрерывно дифференцируемых функций [228] Пространства дифференцируемых функций [229] 4. Теорема о сложной функции [230] Примеры вычисления обычных производных [235] 5. Формула конечных приращений [247] Полная дифференцируемость и частная дифференцируемость [253] 6. Производные высших порядков [257] Последовательные производные [261] Случаи произведения пространств. Полная и частная дифференцируемости [266] Пространства n раз дифференцируемых функций [267] Производная произведения (формула Лейбница) [268] 7. Формула Тейлора. Максимум и минимум [272] Применение формулы Тейлора для вычисления производных [276] Формула Тейлора относительно некоторой системы координат [279] Применение к изучению максимумов и минимумов. Определения [285] Необходимые условия экстремума [285] Нахождение необходимых и достаточных условии экстремума функции [287] Частный случай вещественной функции (?) двух вещественных переменных х, у [290] Применение формулы Тейлора к изучению расположения гиперповерхности по отношению к касательной гиперплоскости [292] 8. Теорема о неявной функции. Постановка задачи [293] Существование неявной функции [294] Дифференцируемость неявной функции [298] Дифференцируемость функции (?) на (?) [300] Частный случай, когда Е=F=G=К-скалярное поле [306] Случай, когда Е, F, G конечномерны [308] Обратная функция как неявная функция [309] Вычисление производных высших порядков неявной функции [314] Техника замены переменных и замены функций [318] 9. Дифференцируемые многообразия [319] Определение многообразия при помощи его параметрического представления [321] Определение многообразия с помощью неявных уравнений [331] Вещественные и комплексные многообразия [333] Абстрактные многообразия [334] Векторное пространство, касательное в точке к многообразию аффинного пространства Е размерности N [338] Векторное пространство, касательное к абстрактному многообразию в точке [343] Теорема о постоянном ранге [345] Зависимые и независимые функции [350] Особые, или параметрические, многообразия [352] 10. Условные максимумы и минимумы [353] Практический способ вычисления условного максимума или минимума [356] Применение теории условных максимумов. Неравенства Гёльдера и Минковского [358] 11. Вариационное исчисление [369] Постановка задачи [369] Дифференцируемость J [372] Необходимые условия экстремума [378] Лемма Хаара [379] Простые случаи интегрируемости уравнений Эйлера [383] Уравнение геодезических на поверхности [389] Относительный экстремум [393] Замена переменных [394] Приложение к задаче о геодезических [396] Переменные концы. Условие трансверсальности [400] Применение к геодезическим кривым [405] Канонические уравнения Гамильтона [406] Применения к механике [409] Вариационное исчисление для кратных интегралов [410] Глава IV. Интегральное исчисление [416] 1. Интеграл Римана на прямой [416] Ступенчатые функции [418] Верхний интеграл Римана от ограниченной функции f>Q с компактным носителем [421] Интегрируемые функции со значениями в пространстве Банаха [423] Интеграл от интегрируемой функции [425] Примеры интегрируемых по Риману функций [433] Вычисление интеграла функции с помощью сумм Коши - Римана [435] Среднее значение функции на интервале [438] 2. Меры Радона на локально компактном пространстве [439] Мера Радона на компактном пространстве [439] Примеры мер Радона [440] Меры на локально компактном пространстве [446] Примеры мер Радона [448] Применения к механике и физике [450] Векторные меры [450] Разложение единицы [452] Носитель меры Радона [465] Продолжение меры на непрерывные функции (?) с некомпактным носителем [473] Принцип кусочной склейки мер [475] Комплексные и вещественные меры [476] Вещественные положительные меры [478] Решетки [481] 3. Продолжение положительной меры. Теория Лебега [489] Внешние меры открытых множеств [490] Внутренняя мера компакта [492] Измеримые множества. Мера множеств [494] Множества нулевой меры [506] Свойства, выполняющиеся почти всюду [508] (?)-измеримые функции со значениями в метризуемом сепарабельном пространстве [510] (?)-этажные функции [513] Борелевские функции [517] Интеграл от векторной этажной функции [520] Верхний интеграл от вещественной неотрицательной функции [520] Интегрируемость функций с векторными значениями [524] Интеграл Лебега от функции с векторными значениями [524] Интегрируемость и интегралы от функций, определенных почти всюду [533] 4. Теорема Лебега о сходимости. Пространство (?) [534] Примеры применений теоремы Лебега [540] Характеристика интегрируемых функций. Интегрируемость и измеримость [551] Теория интегрирования, основанная на свойствах непрерывных и полунепрерывных снизу функций [555] Пространства (?) [561] Пространства (?). Теорема Фишера-Рисса [572] Пространства (?) и (?) [574] Продолжение мер, не обладающих свойством неотрицательности [578] 5. Умножение меры на функцию [590] Произведение векторной меры на непрерывную скалярную функцию [590] Элементарные свойства [591] Случай когда (?) - вещественная мера (?) [591] Мера с базой (?). Мера с базой (?) [594] Применение к продолжению меры с векторными значениями [610] Применение к интегрируемости функции по нескольким мерам [612] Сопряженность пространств (?) и (?) [614] 6. Образ меры при отображении [617] Случай, когда Н является гомеоморфизмом X на Y [626] Обобщение теоремы 59 на случай, когда (?) не (?) [627] Различные примеры образов мер [628] 7. Широкая сходимость мер Радона [630] Сходимость по норме. Локальная сходимость по норме [630] Широкая сходимость [632] Функции, mu-интегрируемые по Риману [634] Широкая сходимость и равномерная сходимость [641] Компактные подмножества пространства (?) [645] Широкая сходимость последовательности мер к мере Дирака [646] Узкая сходимость последовательности мер конечной нормы [652] Сходимость широкая и сходимость узкая [654] 8. Тензорное произведение мер. Кратные интегралы [657] Постановка задачи [657] Существование и единственность тензорного произведения [658] Примеры тензорных произведении [662] Элементарные свойства [663] Носитель меры (?) [663] Случай, когда интегрируемая функция является произведением функции от x и функции от у [673] Окончание доказательства прямого утверждения теоремы [675] Обобщение на произвольные кратные интегралы [677] Широкая сходимость тензорных произведений [679] 9. Частные свойства мер Радона на вещественной прямой R [682] Введение символа (?) [682] Неопределенные интегралы [683] Функции с ограниченной вариацией на прямой [686] Функция, удовлетворяющая условию Липшица на ограниченном интервале (?) прямой R, имеет ограниченную вариацию [687] Функции ограниченной вариации и неопределенные интегралы [694] Длина пути в метрическом пространстве [701] Неопределенный интеграл и первообразная [706] Последовательные первообразные непрерывной функции на прямой [711] Формула интегрирования по частям [716] Замена переменных при вычислении простых интегралов [720] Несобственные интегралы на прямой [724] Примеры применения критерия Абеля [732] Главное значение в смысле Коши [736] 10. Кратные интегралы на (?). Длины, площади и объемы в конечномерном аффинном евклидовом пространстве. Замена переменных в кратных интегралах на (?) [742] Измерение объемов в аффинных евклидовых конечномерных пространствах [754] Измерение длин в аффинном евклидовом пространстве [756] Измерение n-мерных площадей в линейном многообразии размерности n аффинного евклидова конечномерного пространства [756] n-мерная площадь n-мерного параметрического многообразия [760] Вычисление объемов с помощью поверхностных интегралов [770] 11. Функции, представимые рядами или интегралами [777] Функции, представимые рядами [777] Непрерывность суммы ряда [778] Интегрируемость суммы ряда относительно некоторой меры (?) [778] Дифференцируемость суммы ряда [779] Дифференцируемость бесконечного произведения [787] Функции, представимые интегралами [792] Непрерывность функции, представимой интегралом [792] Интегрируемость функции, представимой интегралом [793] Дифференцируемость функции, представимой интегралом [794] Случай несобственных сходящихся интегралов [799] Применение к делимости дифференцируемых функций [804] Предметный указатель [811] |
Формат: | djvu |
Размер: | 9076632 байт |
Язык: | RUS |
Рейтинг: | 198 |
Открыть: | Ссылка (RU) |