Математический анализ (функции одного переменного). Ч. 1-2

Автор(ы):Шилов Г. Е.
06.10.2007
Год изд.:1969
Описание: Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса математического анализа, хотя формально знаний основ анализа не предполагается. Книга рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания. В гл. 1 дается аксиоматическое построение теории вещественных чисел. В гл. 2 излагаются элементы теории множеств и теории математических структур. Гл. 3 посвящена метрическим пространствам. В гл. 4 строится общая теория пределов, использующая упрощенную схему фильтров Картана. В гл. 5 рассматривается понятие непрерывности и изучаются элементарные трансцендентные функции. В гл. 6 излагается теория рядов— числовых и функциональных. Гл. 7—8 посвящены собственно дифференциальному исчислению, а гл. 9—интегральному исчислению. Гл. 10 вводит читателя в теорию аналитических функций; ее методы используются, в частности, в гл. 11 о несобственных интегралах.
Оглавление:
Математический анализ (функции одного переменного). Ч. 1-2 — обложка книги.
Предисловие [6]
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 1. Вещественные числа [13]
  § 1.1. Первоначальные сведения о множествах [13]
  § 1.2. Аксиомы вещественных; чисел [16]
  § 1.3. Следствияиз аксиом сложения [18]
  § 1.4. Следствияиз аксиом умножения [19]
  § 1.5. Следствияиз аксиом порядка [22]
  § 1.6. Следствияиз аксиомы о верхней грани [25]
  § 1.7. Принцип Архимеда и его следствия [29]
  § 1.8. Принцип вложенных отрезков Кантора [35]
  § 1.9. Расширенная область вещественных чисел [36]
    Дополнение к главе 1.
    Логическая символика [38]
    Задачи [39]
    Историческая справка [40]
Глава 2. Элементы теории множеств [41]
  § 2.1. Операции над множествами [41]
  § 2.2. Эквивалентность множеств [43]
  § 2.3. Счетные множества [46]
  § 2.4. Множества мощности континуума [49]
  § 2.5. Понятие о математической структуре. Изоморфизм структур [50]
  § 2.6. Пространство и измерений [55]
  § 2.7. Комплексные числа [60]
  § 2.8. Общее понятие функции. График [65]
    Задачи [67]
    Историческая справка [68]
Глава 3. Метрические пространства [70]
  § 3.1. Определения и примеры [70]
  § 3.2. Открытые множества [78]
  § 3.3. Сходящиеся последовательности и гомеоморфизм [81]
  § 3.4. Предельные точки [91]
  § 3.5. Замкнутые множества [95]
  § 3.6. Всюду плотные множества и замыкания [97]
  § 3.7. Полные пространства [100]
  § 3.8. Пополнение [107]
  § 3.9. Компактность [111]
    Задачи [119]
    Историческая справка [121]
Глава 4. Общая теория пределов [122]
  § 4.1. Определение предела [122]
  § 4.2. Общие теоремы о пределах [131]
  § 4.3. Пределы числовых функций [132]
  § 4.4. Предельные точки функции [139]
  § 4.5. Функции, неубывающие по направлению [141]
  § 4.6. Основные теоремы о числовых последовательностях [144]
  § 4.7. Пределы векторных функций [148]
    Задачи [151]
    Историческая справка [153]
Глава 5. Непрерывные функции [154]
  § 5.1. Непрерывные функции на метрическом пространстве [154]
  § 5.2. Непрерывные числовые функции на числовой оси [162]
  § 5.3. Монотонные функции [165]
  § 5.4. Логарифм [169]
  § 5.5. Экспонента [172]
  § 5.6. Тригонометрические функции [181]
  § 5.7. Приложения тригонометрических функций [188]
  § 5.8. Векторные непрерывные функции векторного переменного [195]
  § 5.9. Последовательности функций [203]
    Задачи [208]
    Историческая справка [210]
Глава 6. Ряды [211]
  § 6.1. Числовые ряды. Знакоположительные ряды [211]
  § 6.2. Ряды с любыми вещественными членами [219]
  § 6.3. Действия с рядами [221]
  § 6.4. Ряды векторов [227]
  § 6.5. Ряды функций [236]
  § 6.6. Степенные ряды [238]
    Задачи [242]
    Историческая справка [246]
ЧАСТЬ ВТОРАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 7. Производная [249]
  § 7.1. Определение производной [249]
  § 7.2. Второе определение производной [258]
  § 7.3. Дифференциал [260]
  § 7.4. Теоремы о конечных приращениях [262]
  § 7.5. Расположение кривой относительно своей касательной [264]
  § 7.6. Правила Лопиталя [268]
    Задачи [270]
    Историческая справка [273]
Глава 8. Высшие производные [274]
  § 8.1. Определения и примеры [274]
  § 8.2. Формула Тейлора [277]
  § 8.3. Анализ поведения функции в окрестности данной точки [280]
  § 8.4. Высшие дифференциалы [285]
  § 8.5. Ряд Тейлора [286]
  § 8.6. Экспонента и тригонометрические функция в комплексной области [289]
  § 8.7. Гиперболические функции [294]
    Задачи [297]
    Историческая справка [299]
Глава 9. Интеграл Римана [300]
  § 9.1. Определение интеграла и теоремы существования [300]
  § 9.2. Зачем нужен интеграл? [314]
  § 9.3. Интеграл как функция верхнего предела [321]
  § 9.4. Техника неопределенного интегрирования [327]
  § 9.5. Вычисление определенных интегралов [338]
  § 9.6. Приложения интеграла [348]
  § 9.7. Интегрирование и дифференцирование последовательности функций [373]
  § 9.8. Интегрирование и дифференцирование по параметру [379]
  § 9.9. Криволинейные интегралы [385]
    Задачи [393]
    Историческая справка [396]
Глава 10. Аналитические функции [397]
  § 10.1. Определения и примеры [397]
  § 10.2. Криволинейные интегралы от комплексных функций [406]
  § 10.3. Теорема Коши и ее следствия [414]
  § 10.4. Вычеты и изолированные особые точки [428]
  § 10.5. Отображения и элементарные функции [440]
    Задачи [450]
    Историческая справка [453]
Глава 11. Несобственные интегралы [455]
  § 11.1. Несобственные интегралы первого рода [455]
  § 11.2. Несобственные интегралы второго и третьего рода [468]
  § 11.3. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов [473]
  § 11.4. Несобственные интегралы, содержащие параметр [483]
  § 11.5. Гамма-функция и бета-функция Эйлера [495]
    Задачи [508]
    Историческая справка [509]
Указания и ответы к задачам [510]
Алфавитный указатель [523]
Формат: djvu
Размер:3748229 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 263 Рейтинг
Открыть: