Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том I

Автор(ы):Сансоне Дж.
06.10.2007
Описание: В книге нашли достаточно полное освещение такие вопросы, как краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотическое поведение решений линейных уравнений, теоремы существования, единственности, непрерывности, и дифференцируемости решений и мн. др.
Оглавление:
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том I — обложка книги.
Предисловие [3]
Глава I
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ НИХ
  § 1. Нормальные системы  [5]
    1. Определения [5]
    2. Порядок системы дифференциальных уравнений [6]
    3. Нормальные системы [7]
  § 2. Получение систем обыкновенных дифференциальных уравнений путем исключения произвольных постоянных [8]
    1. Системы дифференциальных уравнений, полученные путем исключения произвольных постоянных [8]
    2. Обратная задача [9]
  § 3. Доказательство основной теоремы существования и единственности по методу последовательных приближений Пикара — Пеано [9]
    1. Формулировка теоремы существования [9]
    2. Доказательство теоремы существования по методу последовательных приближений Пикара — Пеано [11]
    3. Доказательство Гурса теоремы единственности [16]
    4. Дополнения к формулировке теоремы существования [17]
  § 4. Аналитическое продолжение решений. Примеры [18]
    1. Аналитическое продолжение решений [18]
    2. Система дифференциальных уравнений, определяющая тригонометрические функции [19]
    3. Система дифференциальных уравнений, определяющая эллиптические функции Якоби [21]
  § 5. Решения дифференциальных уравнений как функции начальных значений [27]
    1. Непрерывность [27]
    2. Дифференцируемость [28]
    3. Лемма Гронуолла [29]
    4. Дифференцируемость по параметру [30]
    5. Дифференцируемость по начальным значениям решений [32]
    6. Дифференцируемость по начальному значению независимой переменной [32]
    7. Общее решение системы дифференциальных уравнений [33]
  § 6. Доказательство теоремы существования по методу Коши — Липшица [34]
    1. Геометрические рассмотрения [34]
    2. Теорема существования в формулировке Пеаио. Доказательство Арцела [36]
    3. Доказательство Тоиелли теоремы существования в формулировке Пеано [42]
Глава II
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
  § 1. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений [47]
    1. Нормальные системы однородных линейных дифференциальных уравнений и линейные дифференциальные уравнения [47]
    2. Формулы Лиувилля и Якоби [49]
    3. Независимые решения. Фундаментальные системы. Понижение порядка системы линейных однородных уравнений [51]
    4. Сопряженная система дифференциальных уравнений [55]
    5. Неоднородные линейные системы. Метод Лагранжа [57]
    6. Нормальные системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [60]
  § 2. Применение матричного исчисления к определению решений системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [65]
    1. Сведения по матричному исчислению [65]
    2. Матрицант квадратной матрицы [75]
    3. Метод Пеано — Бекера [77]
  § 3. Частные преобразования линейных однородных дифференциальных уравнений [78]
    1. Преобразование линейного однородного уравнения порядка n в уравнение порядка n — 1 [78]
    2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка и уравнение Риккати [78]
    3. Линейные дифференциальные уравнения, у которых коэффициент при (?) равен производной коэффициента при (?) [79]
  § 4. Относительная нормализация и каноническая нормализация линейных однородных дифференциальных уравнений [79]
    1. Относительная нормализация и дифференциальные семиинварианты [79]
    2. Замена независимой переменной [81]
    3. Каноническая нормализация Лагерра — Форсайта [85]
    4. Преобразования уравнений второго и третьего порядка [87]
  § 5. Сопряженное уравнение Лагранжа [89]
    1. Сопряженные дифференциальные многочлены и уравнения [89]
    2. Соотношения между фундаментальными системами решений сопряженных дифференциальных уравнений [92]
    3. Самосопряженные дифференциальные уравнения и многочлены [94]
    4. Первый интеграл самосопряженного уравнения нечетного порядка [97]
    5. Самосопряженные уравнения третьего порядка [97]
  § 6. Преобразование линейного дифференциального уравнения с начальными данными в интегральное уравнение Вольтерра второго рода [98]
Глава III
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  § 1. Метод мажорант (исчисление пределов Коши) [101]
    1. Метод Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений при помощи рядов [101]
    2. Основной принцип метода мажорант Коши [102]
    3. Доказательство теоремы существования методом мажорант [103]
    4. Теорема существования в общем случае [105]
    5. Метод суммирования Бореля и дифференциальные уравнения [107]
  § 2. Доказательство теоремы существования и единственности с помощью метода последовательных приближений [108]
    1. Теорема существования и единственности [108]
    2. Замечание Уиитнера относительно области существования голоморфного решения [111]
    3. Применение матричного исчисления для определения фундаментальной системы решений системы линейных дифференциальных уравнений [112]
  § 3. Аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка [115]
    1. Правильные и неправильные особые точки для дифференциального уравнения второго порядка [115]
    2. Правильные точки. Определяющее уравнение [115]
    3. Сходимоств рядов в случае, когда разность характеристических показателей ие является целым числом [117]
    4. Построение второго решения в случае, когда характеристические показатели совпадают или отличаются на целое число [119]
    5. Правильные особые точки в бесконечности [121]
  § 4. Линейные дифференциальные уравнения с тремя правильными особыми точками. Гипергеометрическое уравнение [121]
    1. Уравнение Паперица и функция Р Римана [121]
    2. Преобразования Римана для функции Р [123]
    3. Гипергеометрическое уравнение Гаусса [124]
    4. Гипергеометрическнй ряд [125]
    5. Гипергеометрический интеграл Эйлера [128]
  § 5. Гипергеометрические многочлены Якоби [129]
    1. Многочлены Якоби (?) [129]
    2. Формула Родрига. Производящая функция многочленов (?) [130]
    3. Значения (?) [131]
    4. Рекуррентные формулы [132]
    5. Ортогональность многочленов (?) в [— 1,1] [133]
    6. Теорема Пуанкаре и (формула) [136]
    7. Ряды по многочленам Якоби в комплексной области [138]
    8. Ультрасферические многочлены и их производящая функция [139]
  § 6. Уравнение Бесселя [141]
    1. Задача Д. Бернулли о малых колебаниях подвешенной нити и уравневие Бесселя [141]
    2. Функции Бесселя (цилиндрические функции) первого рода [143]
    3. Функции (?) [146]
    4. Интегральные представления бесселевых функций первого рода [146]
    5. Другие интегральные представления [148]
    6. Рекуррентные соотношения между (?) [149]
    7. Интеграл (?) [150]
    8. Задача о разложении в ряды по бесселевым-функциям [152]
Глава IV
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  § 1. Задача о нахождении решения дифференциального уравнения n-го порядка, проходящего через и заданных точек [154]
    1. Случай, когда уравнение линейно [154]
    2. Теорема существования и единственности Валле-Пуссена для линейного уравнения [155]
    3. Теорема Валле-Пуссена для случая дифференциального уравнения порядка n нормального вида [159]
  § 2. Дифференциальные уравнения второго порядка и теорема сравнения Штурма [161]
    1. Исследования Штурма об уравнениях второго порядка [161]
    2. Общие замечания относительно уравнений второго порядка [161]
    3. Сопряженные точки [162]
    4. Достаточное условие для несуществования сопряженных точек [164]
    5. Тождество Пиконе [165]
    6. Теорема сравнения Штурма [166]
    7. Теорема о разделении нулей [167]
    8. Теорема сравнения для полуоткрытых отрезков [169]
    9. Выпуклость последовательности нулей решений одного дифференциального уравнения второго порядка частного вида [169]
  § 3. Применение теоремы сравнения для отделения нулей ультрасферических многочленов и бесселевых функций в главном случае [170]
    1. Нули ультрасферических многочленов [170]
    2. Нули бесселевых функций [171]
  § 4. Рсцнлляционная теорема [174]
    1. Осцилляционная теорема [174]
    2. Осцилляционная теорема для уравнения (формула) [176]
  § 5. Решения, обращающиеся в нуль в двух заданных точках. Собственные значения и собственные функции [176]
    1. Постановка задачи [176]
    2. Разложение оператора второго порядка в произведение операторов первого порядка [177]
    3. Выражение для решения на отрезке, содержащем сопряженные точки [179]
    4. Теорема существования собственных значений. Доказательство Маммана [181]
    5. Собственные значения для уравнения (формула) [183]
  § 6. Системы Штурма. Собственные значения. Собственные функции [183]
    1. Задача о распределении тепла в тонкой проволоке и системы Штурма [183]
    2. Дополнения к теореме сравнения [186]
    3. Добавления к осцилляционной теореме [188]
    4. Системы Штурма. Существование собственных значений. Теоремы Бохера [191]
    5. Системы Штурма. Существование собственных функций с заданным числом нулей. Теоремы Бохера [193]
    6. Система Штурма — Лиувилля. Существование собственных значений [197]
    7. Ортогональность собственных функций системы Штурма — Лиувилля [198]
    8. Достаточные условия действительности всех собственных значений системы Штурма — Лиувилля [199]
  § 7. Асимптотические разложения функций Штурма — Лиувилля [202]
    1. Типичная форма систем Штурма — Лиувилля [202]
    2. Уравнение для собственных значений [203]
    3. Асимптотические выражения для собственных значений и собственных функций [204]
    4. Собственные функции, обращающиеся в нуль в двух заданных точках, и их асимптотические выражения [207]
  § 8. Теорема Дини — Гобсона о равносходимости ряда Штурма —Лиувилля и тригонометрического ряда Фурье [209]
    1. Задача о разложении по функциям Штурма — Лиувилля [209]
    2. Предварительные леммы [210]
    3. Теорема Уолша о равносходимости для рядов по ортогональным функциям [214]
    4. Теорема о равносходимости рядов Штурма — Лиувнлля и тригонометрических рядов Фурье [216]
Глава V
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n-ГО ПОРЯДКА (n>2)
  § 1. Билинейные формы. Канонический вид [222]
  § 2. Сопряженные и самосопряженные дифференциальные системы [225]
    1. Дифференциальные системы. Индекс совместности [225]
    2. Сопряженные дифференциальные системы [226]
    3. Индексы совместности для сопряженных систем [228]
    4. Самосопряженные линейные системы [230]
    5. Самосопряженные системы второго порядка [230]
    6. Самосопряженные системы Штурма — Лиувилля [232]
    7. Самосопряженные системы четвертого порядка [233]
  § 3. Функция Грина и преобразование дифференциальных систем в интегральные уравнения Фредгольма второго рода [233]
    1. Функция Грина для самосопряженной системы второго порядка частного вида [233]
    2. Функция Грина для дифференциальных систем [235]
    3. Запись в виде интеграла решения неоднородной дифференциальной системы, имеющей единственное решение [238]
    4. Решения дифференциальных систем как решения интегральных уравнении Фредгольма второго рода [241]
    5. Линейные системы, зависящие от параметра. Собственные значения и собственные функции [241]
    6. Линейные самосопряженные системы четного порядка. Разложения в ряды по собственным функциям и теорема Гильберта— Шмидта [245]
  § 4. Краевые задачи для самосопряженных систем четного порядка и вариационное исчисление [247]
    1. Экстремальное свойство собственных значений, вытекающее из теории интегральных уравнений [249]
    2. Доказательство Тонелли существования собственных значений с помощью прямых методов вариационного исчисления [257]
    3. Экстремальное свойство собственных значений, выводимое из теории дифференциальных систем. Доказательство Пиконе [260]
    4. Одно интегральное неравенство [262]
  § 5. Существование бесконечного множества собственных значений для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [262]
Глава VI
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
  § 1. Решения линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [266]
    1. Примеры [266]
    2. Характеристическое уравнение [267]
    3. Элементарные делители матрицы [270]
    4. Решения в случае, когда показатели всех элементарных делителей характеристической матрицы равны единице. Характеристические показатели и числа [274]
    5. Решения в общем случае. Подгруппы Гамбургера [278]
    6. Необходимое и достаточное условие существования периодического решения [278]
    7. Периодические решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [279]
  § 2. Вычисление характеристических показателей [282]
    1 Исследование характеристических показателей [282]
    2. Исследования А. М. Ляпунова об уравнениях второго порядка [284]
    3. Метод Хилла вычисления характеристических показателей при помощи бесконечных определителей [287]
  § 3. Самосопряженные системы второго порядка с периодическими краевыми условиями [290]
    1. Существование собственных значений [290]
    2. Осцилляционная теорема [293]
  § 4. Дифференциальное уравнение Матье и функции, связанные с эллиптическим цилиндром [294]
    1. Элементарные решения уравнения колебаний эллиптической мембраны и уравнение Матье [294]
    2. Функции Матье и их классификация по типам [296]
    3. Отсутствие линейно независимых периодических решений, соответствующих одному и тому же собственному значению. Теорема Айнса [298]
    4. Интегральное уравнение Уиттекера для функций Матье [300]
  § 5. Системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами [302]
  § 6. Системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Периодические решения [304]
  § 7. О периодических решениях дифференциального уравнения динамики точки, движущейся по заданной траектории [307]
    1. Теорема Вейерштрасса [307]
    2. Формула Леви-Чивита для вычисления периода в первом приближении [310]
  § 8. Задача о периодических орбитах и вариационное исчисление [315]
    1. Задача о периодических орбитах [315]
    2. Теорема Тонелли о существовании периодических экстремалей [318]
  § 9. Почти периодические функции и почти периодические решения дифференциальных уравнений [320]
    1. Почти периодические функции. Первые свойства [320]
    2. Теорема о среднем [321]
    3. Ряды Фурье почти периодических функций [322]
    4. Теорема об аппроксимации [323]
    5. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Теорема Бора и Нейгебауера [323]
Литература [326]
Предметный указатель [336]
Формат: djvu
Размер:3712779 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 301 Рейтинг
Открыть: