Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов

Автор(ы):Кузнецов Д. Ф.
06.10.2007
Год изд.:1999
Описание: Настоящая монография посвящена проблеме численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито. Основы теории численного решения стохастических дифференциальных уравнений были заложены в монографиях "Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений", "Numerical Solution of Stochastic Differential Equations", "Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments", которые обобщили известные результаты по данной проблеме, полученные в основном авторами этих книг в 70-90 годах. В данной книге, так же как и в перечисленных монографиях, используется подход к численному решению стохастических дифференциальных уравнений, который основан на конечной дискретизации временного интервала и численном моделировании решения стохастического дифференциального уравнения в дискретные моменты времени с помощью стохастических аналогов формулы Тейлора и специальных методов аппроксимации повторных стохастических интегралов. В рамках данного подхода в настоящей монографии предлагается ряд новых методов численного решения систем нелинейных и линейных стохастических дифференциальных уравнений.
Оглавление:
Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов — обложка книги.
1. О стохастических дифференциальных уравнениях: определения, свойства, проблемы, применения [19]
  1.1. О различных численных подходах, применяемых к стохастическим дифференциальным уравнениям [19]
  1.2. Некоторые сведения из теории вероятностей [20]
    1.2.1. Сходимость случайных последовательностей [20]
    1.2.2. Некоторые неравенства для математических ожиданий [23]
    1.2.3. Случайные процессы [25]
    1.2.4. Случайные процессы с независимыми приращениями. Винеровский процесс [30]
  1.3. Стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения [34]
    1.3.1. Стохастический интеграл Ито [34]
    1.3.2. Процессы Ито [40]
    1.3.3. Формула Ито [42]
    1.3.4. Стохастические дифференциальные уравнения Ито [44]
    1.3.5. Стохастический интеграл Стратоновича [49]
    1.3.6. Стохастические дифференциальные уравнения Стратоновича [55]
  1.4. Математические модели динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений [57]
    1.4.1. Общий вид нелинейных моделей стохастической динамики [57]
    1.4.2. Линейные модели стохастической динамики [61]
  1.5. Примеры стохастических моделей физических и технических систем [67]
    1.5.1. Стохастическая модель тепловых флуктуации частиц в веществах и электрических зарядов в проводниках. Формула Найквиста [67]
    1.5.2. Автоколебательная электрическая система (ламповый генератор) [71]
    1.5.3. Чандлеровские колебания [74]
    1.5.4. Стохастические модели химической кинетики и модели регуляции численности конкурирующих видов [76]
    1.5.5. Модели финансовой математики [78]
    1.5.6. Солнечная активность [79]
    1.5.7. Ошибки округления при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений [80]
  1.6. Некоторые задачи, связанные со стохастическими дифференциальными уравнениями [81]
    1.6.1. Фильтрация [81]
    1.6.2. Оптимальное стохастическое управление [83]
    1.6.3. О стохастической устойчивости [85]
    1.6.4. Оценивание параметров [92]
  1.7. О неэффективности применения численных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений к стохастическим дифференциальным уравнениям [93]
2. Замена порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито [97]
  2.1. Введение [97]
  2.2. Замена порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито [100]
3. Стохастические разложения процессов Ито [113]
  3.1. Введение [113]
  3.2. Дифференцируемость по Ито случайных процессов [115]
  3.3. Унифицированные разложения Тейлора-Ито [119]
    3.3.1. Первая форма унифицированного разложения Тейлора-Ито [120]
    3.3.2. Вторая форма унифицированного разложения Тейлора-Ито [129]
  3.4. Разложение Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена. Сравнение с унифицированными разложениями Тейлора-Ито [132]
  3.5. Дифференцируемость по Стратоновичу случайных процессов [137]
  3.6. Разложение Тейлора-Стратоновича [141]
  3.7. Сильная сходимость унифицированного разложения Тейлора-Ито [144]
  3.8. Сильная сходимость разложения Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена и разложения Тейлора-Стратоновича [146]
  3.9. Примеры разложений в ряды Тейлора-Ито [150]
    3.9.1. Разложения Тейлора-Ито для решений некоторых скалярных стохастических дифференциальных уравнений Ито [150]
    3.9.2. Разложения Тейлора-Ито для решений некоторых многомерных стохастических дифференциальных уравнений Ито [153]
4. Методы сильной аппроксимации повторных стохастических интегралов [159]
  4.1. Введение [159]
  4.2. Метод аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанный на кратных рядах Фурье [164]
    4.2.1. Соотношения между повторными стохастическими интегралами Ито и Стратоновича [165]
    4.2.2. Разложение повторных интегралов Стратоновича в кратные ряды из произведений стандартных гауссовских величин [169]
    4.2.3. Среднеквадратическая аппроксимация повторных стохастических интегралов Стратоновича [181]
    4.2.4. Аппроксимация повторных стохастических интегралов Стратоновича с помощью тригонометрической системы функций [188]
    4.2.5. Аппроксимация повторных стохастических интегралов с помощью полиномиальной системы функций [196]
  4.3. Метод Г.Н.Мильштейна разложения повторных стохастических интегралов Стратоновича [200]
    4.3.1. Введение [200]
    4.3.2. Примеры разложений повторных стохастических интегралов Стратоновича методом Г.Н.Мильштейна [202]
  4.4. Сравнение метода, основанного на кратных рядах Фурье, и метода Г.Н.Мильштейна [203]
  4.5. Разложение повторных стохастических интегралов с использованием полиномов Эрмита [206]
  4.6. Метод аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито, основанный на кратных интегральных суммах [209]
  4.7. Аналитические формулы для вычисления стохастических интегралов [213]
    4.7.1. Введение [213]
    4.7.2. Аддитивное разделение переменных [215]
    4.7.3. Мультипликативное разделение переменных [219]
  4.8. Разложение повторных симметризованных стохастических интегралов по пуассоновским процессам, основанное на кратных рядах Фурье [221]
    4.8.1. Введение [221]
    4.8.2. Симметризованный стохастический интеграл по пуассоновским процессам [222]
    4.8.3. Разложение повторных симметризованных стохастических интегралов по пуассоновским процессам [227]
5. Сильные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [233]
  5.1. История вопроса [233]
  5.2. Разложения Тейлора-Ито и общие представления явных сильных численных методов порядка r/2 [236]
  5.3. Методы, основанные на унифицированном разложении Тейлора-Ито [244]
    5.3.1. Метод Мильштейна [244]
    5.3.2. Явный сильный одношаговый метод порядка 1.5 [246]
    5.3.3. Явный сильный одношаговый численный метод порядка 2.0 [252]
    5.3.4. Явный сильный одношаговый метод порядка 2.5 [255]
  5.4. Численные методы, основанные на разложении Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена [259]
    5.4.1. Явный сильный одношаговый метод порядка 1.5 [259]
    5.4.2. Явный сильный одношаговый метод порядка 2.0 [261]
    5.4.3. Явный сильный одношаговый метод порядка 2.5 [263]
    5.4.4. Замечание об особенностях численных методов, основанных на унифицированном разложении Тейлора-Ито и разложении Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена [267]
  5.5. Численные методы, основанные на разложении Тейлора-Стратоновича [268]
    5.5.1. Явный сильный одношаговый метод порядка r/2 [268]
    5.5.2. Явный сильный одношаговый метод порядка 1.0 [271]
    5.5.3. Явный сильный одношаговый метод порядка 1.5 [272]
    5.5.4. Явный сильный одношаговый метод порядка 2.0 [273]
    5.5.5. Явный сильный одношаговый метод порядка 2.5 [275]
  5.6. Конечно-разностные численные методы, основанные на разложениях Тейлора-Ито [277]
    5.6.1. Некоторые тейлоровские аппроксимации производных детерминированных функций [278]
    5.6.2. Явный сильный одношаговый конечно-разностный метод порядка 1.0 [280]
    5.6.3. Явные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 1.5 [280]
    5.6.4. Явные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 2.0 [283]
    5.6.5. Явные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 2.5 [286]
    5.6.6. О сходимости явных сильных одношаговых конечно-разностных методов [293]
  5.7. Неявные одношаговые сильные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [295]
    5.7.1. Неявные одношаговые сильные методы порядка 1.0 [296]
    5.7.2. Неявные одношаговые сильные методы порядка 1.5 [298]
    5.7.3. Неявные одношаговые сильные методы порядка 2.0 [299]
    5.7.4. Неявные одношаговые сильные методы порядка 2.5 [300]
  5.8. Неявные сильные одношаговые конечно-разностные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [302]
    5.8.1. Неявные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 1.0 [302]
    5.8.2. Неявные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 1.5 [303]
    5.8.3. Неявные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 2.0 [304]
    5.8.4. Неявные сильные одношаговые конечно-разностные методы порядка 2.5 [306]
  5.9. Явные двухшаговые сильные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [309]
    5.9.1. Явный двухшаговый сильный метод порядка 1.0 [309]
    5.9.2. Явные двухшаговые сильные методы порядка 1.5 [310]
    5.9.3. Явные двухшаговые сильные методы порядка 2.0 [311]
    5.9.4. Явные двухшаговые сильные методы порядка 2.5 [312]
  5.10. Неявные двухшаговые сильные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [314]
    5.10.1. Неявные двухшаговые сильные методы порядков 1.0 и 1.5 [314]
    5.10.2. Неявные двухшаговые сильные методы порядков 2.0 и 2.5 [316]
  5.11. Двухшаговые сильные конечно-разностные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [317]
    5.11.1. Двухшаговые сильные конечно-разностные методы порядков 1.0 и 1.5 [317]
    5.11.2. Двухшаговые сильные конечно-разностные методы порядков 2.0 и 2.5 [319]
  5.12. Общие представления двухшаговых численных методов для стохастических дифференциальных уравнений Ито [323]
  5.13. Об устойчивости численных методов [327]
6. Численное моделирование решений стационарных систем линейных стохастических дифференциальных уравнений [337]
  6.1. Системы линейных стохастических дифференциальных уравнений: расчетные формулы и вспомогательные результаты [338]
    6.1.1. Интегральные представления решений СЛСДУ [339]
    6.1.2. Моментные характеристики решений СЛСДУ [343]
    6.1.3. Свойства дискретной системы линейных стохастических уравнений в стационарном случае [346]
  6.2. Метод численного моделирования решений стационарных СЛСДУ, основанный на формуле Коши и спектральном разложении [348]
    6.2.1. Введение [348]
    6.2.2. Общий подход к моделированию и структурирование проблемы [350]
    6.2.3. Алгоритм численного моделирования динамической составляющей решения стационарной СЛСДУ [351]
    6.2.4. Алгоритм численного моделирования систематической составляющей решения стационарной СЛСДУ [353]
    6.2.5. Алгоритм численного моделирования случайной составляющей решения стационарной СЛСДУ [359]
    6.2.6. Алгоритм численного моделирования решения стационарной СЛСДУ и оценка скорости его сходимости [363]
  6.3. Метод численного моделирования решений стационарных СЛСДУ, основанный на кусочно-постоянной аппроксимации белого шума [365]
    6.3.1. Введение [365]
    6.3.2. Алгоритм численного моделирования решений стационарных СЛСДУ [367]
    6.3.3. Оценка скорости сходимости по шагу дискретизации (?) метода численного моделирования решений СЛСДУ, основанного на кусочно-постоянной аппроксимации белого шума [369]
  6.4. Библиотека "ITO-LIN" MatLAB-функций численного моделирования решений стационарных СЛСДУ [372]
    6.4.1. Математическая модель объекта моделирования [373]
    6.4.2. Общая характеристика и сценарий управления библиотекой [374]
    6.4.3. Функции ввода-вывода, просмотра и редактирования исходных данных [380]
    6.4.4. Функции вычисления матриц детерминированной, динамической и случайной составляющих решения ССЛСДУ [387]
    6.4.5. Функции выбора и вычисления внешнего детерминированного воздействия [392]
7. Примеры численного моделирования стохастических интегралов и решений стохастических дифференциальных уравнений [397]
  7.1. Выбор числа q при численном моделировании повторных стохастических интегралов [397]
    7.1.1. Выбор числа q в случае тригонометрического базиса [397]
    7.1.2. Выбор числа q в случае полиномиального базиса [398]
    7.1.3. Выбор числа q при аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито с помощью интегральных сумм [402]
  7.2. Численное интегрирование модели Блэка-Шоулза [403]
  7.3. Исследование влияния стохастического возмущения на трехмерную дискретную модель конвективной турбулентности Лоренца [404]
  7.4. Численное интегрирование стохастической модели Лотки-Вольтерра второго порядка [419]
  7.5. Численное моделирование динамики доходности портфеля ценных бумаг [423]
  7.6. Численное моделирование чандлеровских колебаний [429]
  7.7. Численное моделирование солнечной активности [432]
  7.8. Исследование влияния стохастического возмущения на систему уравнений Рёсслера [434]
Заключение [444]
Библиогафия [447]
Обозначения [456]
Формат: djvu
Размер:2911068 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 275 Рейтинг
Открыть: