Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II

Автор(ы):Курант Р.
06.10.2007
Год изд.:1970
Издание:2
Описание: Книга представляет собой мастерски написанный курс математического анализа. Второй том посвящен главным образом дифференциальному и интегральному исчислению функций многих переменных. Книга может служить учебным пособием по математическому анализу для студентов и преподавателей университетов, педагогических институтов и втузов.
Оглавление:
Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II — обложка книги.
Предисловие ко второму русскому изданию [11]
Из предисловия к первому немецкому изданию [13]
Из предисловия ко второму немецкому изданию [13]
Из предисловия к английскому изданию [13]
Предисловие к третьему немецкому изданию [14]
Глава I. Краткий обзор основных понятий аналитической геометрии и векторного исчисления [15]
  § 1. Прямоугольные координаты и векторы [15]
    1. Системы координат [15]
    2. Направления и векторы [17]
    3. Сложение векторов [19]
    4. Преобразование координат [20]
    5. Умножение вектора на число [21]
    6. Скалярное произведение двух векторов [21]
    7. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов [22]
    8. Уравнение прямой на плоскости и уравнение плоскости в пространстве [22]
    9. Уравнение прямой в пространстве [24]
      Упражнения [26]
  § 2. Площадь треугольника. Векторное умножение. Объем тетраэдра [27]
    1. Площадь треугольника построенного на векторах а и Ь в плоскости ху [27]
    2. Векторное умножение двух векторов [28]
    3. Вычисление координат векторного произведения по координатам перемножаемых векторов [30]
    4. Объем тетраэдра [31]
      Упражнения [33]
  § 3. Элементарные сведения об определителях второго и третьего порядка [33]
    1. Законы составления и основные свойства [33]
    2. Понятие об определителе четвертого и вообще любого порядка [37]
    3. Приложение к системе линейных уравнений [37]
      Упражнения [40]
  § 4. Аффинные преобразования и умножение определителей [41]
    1. Аффинное преобразование плоскости и пространства [41]
    2. Умножение аффинных преобразований и разложение общего аффинного преобразования на примитивные преобразования [44]
    3. Геометрический смысл определителя преобразования и теорема умножения определителей [46]
      Упражнение [50]
Смешанные упражнения к главе I [50]
Глава II. Функции многих переменных и их производные [54]
  § 1. Понятие функции многих переменных [54]
    1. Функция и область ее задания [54]
    2. Простейшие типы функций [58]
    3. Геоиетрическое изображение функций [59]
  § 2. Непрерывность [59]
    1. Определение [59]
    2. Понятие предела функции нескольких переменных [61]
    3. Порядок малости функции [61]
      Упражнения [64]
  § 3. Частные производные от функции многих переменных [65]
    1. Частные производные и их геометрический смысл [65]
    2. Существование частных производных по x и по y непрерывность функции [68]
    3. Изменение порядка дифференцирования [69]
      Упражнения [73]
  § 4. Полный дифференциал функции и его геометрический смысл [74]
    1. Понятие дифференцируемости [74]
    2. Производная по заданному направлению [78]
    3. Геометрическое истолкование. Касательная плоскость [81]
    4. Полный дифференциал функции [83]
    5. Применение к исчислению ошибок [84]
  § 5. Сложные функции и введение новых независимых переменных [85]
    1. Сложные функции и их непрерывность [85]
    2. Теорема о дмфференцируемости сложной функции, составленной из дифференцируемых звеньев [87]
    3. Вычисление частных производных от сложной функции — правило цепочки [88]
    4. Полный дифференциал сложной функции. Инвариантность полного дифференциала первого порядка [90]
    5. Введение новых независимых переменных [92]
      Упражнении [96]
  § 6. Теорема о среднем значении и формула Тэйлора для функции многих переменных [96]
    1. Постановка задачи и предварительные замечания [96]
    2. Теорема о среднем значении [97]
    3. Формула Тэйлора для функции многих переменных [98]
      Упражнений [99]
  § 7. Применение векторных методов [100]
    1. Векторная и скалярная функция точки — векторное и скалярное поле [100]
    2. Векторная функция скалярной переменной и ее производная [102]
    3. Длина дуги пространственной кривой. Дифференциал дуги [104]
    4. Кривизна пространственной кривой [105]
    5. Приложение к механике точки. Разложение ускорения на касательное и нормольное [108]
    6. Градиент скалярного поля [109]
    7. Дивергенция и ротор векторного поля [112]
      Упражнения [114]
Дополнения к главе II [115]
  § 1. Принцип точки сгущения в пространстве многих измерений и его приложения [115]
    1. Формулировка прикципа точки сгущения [115]
    2. Некоторые понятия теории точечных множеств [117]
    3. Теорема Гейне — Бореля о покрытии [120]
      Упражнения [121]
  § 2. Более подробное исследование понятия предела функции многих переменных [121]
    1. Двойные последовательности и их пределы [121]
    2. Двойной предел в случае непрерывно изменяющихся независимых переменных [125]
    3. Теорема Дини о равномерной сходимости монотонных последовательностей функций [126]
      Упражнения [127]
  § 3. Однородные функции [128]
      Упражнения [131]
Смешанные упражнения к главе II [131]
Глава III. Построение дифференциального исчисления и его приложения [134]
  § 1. Неявные функции [134]
    1. Общие замечания [134]
    2. Геометрическое истолкование [134]
    3. Теорема существования неявной функции и правило ее дифференцирования [136]
    4. Примеры [138]
    5. Теорема существования неявной функции нескольких переменных [139]
    6. Доказательство существования и непрерывности неявной функции [141]
      Упражнения [144]
  § 2. Неявное задание плоских кривых и неявное задание поверхностей [144]
    1. Неявное задание плоской кривой [144]
    2. Особые точки плоской кривой [149]
    3. Неявное задание поверхности [150]
      Упражнения [153]
  § 3. Системы функций, преобразования и отображения [153]
    1. Первая интерпретация системы функций: преобразование и отображение [153]
    2. Вторая интерпретация системы функций: введение новых, криволинейных координат [158]
    3. Система трех функций от трех независимых переменных [160]
    4. Формулы дифференцирования обратных функций [163]
    5. Умножение отображений и преобразований [165]
    6. Разложение произвольного преобразования на примитивные [167]
    7. Общая теорема об обращении преобразования и о системах неявных функций [170]
    8. Взаимная зависимость функций [172]
    9. Несколько cлов о преобразованиях в пространстве n измерений [174]
      Упражнения [175]
  § 4. Приложения [177]
    1. Парометрическое падение поверхности [177]
    2. Линейный элемент поверхности [180]
    3. Понятие о конформном отображении [183]
      Упражнения [185]
  § 5. Семейства кривых и семейства поверхностей; их огибающие [186]
    1. Понятие семейства кривых и семейства поверхностей [186]
    2. Огибающая и (?) семейства плоских линий [188]
    3. Примеры [191]
    4. (?) семейства поверхностей [197]
      Упражнения [199]
  § 6. Максимумы и минимумы [200]
    1. Определение [200]
    2. Необходимые условия экстремума [302]
    3. Примеры [203]
    4. Условные экстремумы [206]
    5. Доказательство правила неопределенных множителей длв условного экстремума функции двух переменных [209]
    6. Обобщение нетода неопределенных множителей [211]
    7. Примеры [216]
      Упражнение [219]
Дополнения к главе III [221]
  § 1. Достаточные условия экстремума функции двух переменных [221]
    1. Постановка вопроса [221]
    2. Исследование квадратичной формы Q (?) [221]
    3. Достаточные условия максимума и минимума [223]
    4. Примеры [225]
      Упражнение [226]
  § 2. Особые точки плоских кривых [226]
      Упражнения [229]
  § 3. Особые точки поверхностей [229]
  § 4. Связь между уравнениями движения жидкости в форме Эйлера и в форме Лагранжа [232]
  § 5. Представление замкнутой кривой с помощью семейства ее касательных [233]
Смешанные упражнения к главе III [235]
Глава IV. Кратные интегралы [238]
  § 1. Обыкновенные интегралы как функции параметра [238]
    1. Определения и примеры [238]
    2. Непрерывность и дифференцируемость интеграла как функции параметра [240]
      Упражнения [245]
  § 2. Интеграл от непрерывной функции по плоской или пространственной области [246]
    1. Интеграл по плоской области (двойной интеграл) как объем [246]
    2. Общее аналитическое определение двойного интеграла [247]
    3. Примеры [251]
    4. Обозначения, дополнения, основные правила [253]
    5. Свойства двойного интеграла, его оценка и теорема о среднем значении [254]
    6. Интегралы по трехмерным и многомерным областям (тройные и многократные интегралы) [257]
    7. Дифференцирование по области. Масса и плотность [258]
  § 3. Приведение кратного интеграла к повторному обыкновенному интегралу [260]
    1. Двойной интеграл по прямоугольной области [260]
    2. Следствия. Изменение порвдка интегрирования. Дифференцирование под знаком интеграла [263]
    3. Распространение результата на двумерные области более общего вида [265]
    4. Приведение тройного интеграла к повторному [269]
      Упражнения [270]
  § 4. Преобразование кратных интегралов [270]
    1. Общая формула преобразования двойного интеграла к новым переменным [271]
    2. Преобразование n-кратного интеграла к новым переменным интегрирования [276]
      Упражнения [277]
  § 5. Несобственные кратные интегралы [278]
    1. Интеграл от функции, имеющей конечные разрывы [278]
    2. Кратный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированных точках [279]
    3. Интеграл от функции, обращающейся в бесконечность вдоль линии [282]
    4. Интеграл по бесконечной области [283]
    5. Заключительные замечания и некоторые дополнение [284]
  § 6. Приложения к геометрии [286]
    1. Вычисление объема с помощью двойного интеграла. Примеры [286]
    2. Вычисление объема с помощью тройного интеграла. Объем в цилиндрических н сферических координатах [288]
    3. Площадь кривой поверхности [290]
    4. Площадь поверхности, заданной параметрическими уравнениями [294]
      Упражнения [296]
  § 7. Приложения к физике [297]
    1. Статический момент и центр массы (центр Тяжести) [297]
    2. Момент инерции [300]
    3. Физический маятник [302]
    4. Потенциал поля тяготения [304]
      Упражнения [308]
Дополнения к главе IV [310]
  § 1. Существование кратного интеграла [310]
    1. Понятие меры плоской и пространственное области [310]
    2. Теоремы о кусочно гладкой дуге плоской кривой и о кусочно гладком куске поверхности [314
    3. Доказательство существование двойного интеграла от непрерывной функции [316]
  § 2. Обобщенные формулы Гульдина. Полярный планиметр [317]
    1. Об одном преобразовании двойного и тройного интеграла [317]
    2. Обобщенная формула Гульдина для плоскости и для пространства. Полярный планиметр [319]
      Упражнение [322]
  § 3. Объем и площадь в пространстве любого числа измерений [322]
    1. Площадь поверхности и интегрирование по поверхности в пространстве, число измерений которого больше трех [322]
    2. Площадь поверхности и объем единичного шара в n-мерном пространстве [324]
    3. Обобщения. Параметрические представления [326]
      Упражнений [329]
  § 4. Несобственные интегралы как функции параметра [329]
    1. Равномерная сходимость. Непрерывная зависимость интеграла от параметра [329]
    2. Интегрирование несобственных интегралов по параметру [332]
    3. Дифференцирование несобственных интегралов по параметру [333]
    4. Примеры [338]
    5. Вычисление интегралов Френеля [339]
      Упражнения [340]
  § 5. Интеграл Фурье [341]
    1. Введение [341]
    2. Доказательство интегральной теоремы Фурье [343]
  § 6. Интегралы Эйлера (гамма-функция и бета-функция) [346]
    1. Определение и функциональное уравнение гамма-функции [346]
    2. Выпуклые функции и их свойства [347]
    3. Теорема Бора [350]
    4. Представление гамма-функции в виде бесконечного произведения [353]
    5. Функция (?) и ее производные [356]
    6. Формула дополнения [357]
    7. Бета-функция и ее функциональное уравнение [368]
    8. Связь между бета-функцией и гамма-функцией [369]
      Упражнения [361]
  § 7. Дифференцирование и интегрирование нецелого порядка. Интегральное уравнение Абеля [362]
  § 8. Замечание по поводу определения площади кривой поверхности [364]
Смешанные упражнения к главе IV [366]
Глава V. Криволинейные интегралы. Интегралы по поверхности [368]
  § 1. Криволинейные интегралы [368]
    1. Определение криволинейного интеграла. Обовначения [368]
    2. Векторная запись криволинейного интеграла [370]
    3. Основные свойства [372]
    4. Механическое истолкование криволинейного интеграла [374]
    5. Криволинейный интеграл в поле градиента. Интегрирование полного дифференциала [375]
    6. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования [376]
    7. Условие, при котором вектор поля является градиентом — условие интегрируемости выражения (формула) [378]
    8. Важность условна односвязности [383]
      Упражнения [384]
  § 2. Связь между криволинейным и двойным интегралом на плоскости интегральные теоремы для плоских векторных полей [388]
    1. Интегральная теорема Гаусса теорема Остроградского для плоскости [384]
    2. Векторная запись теоремы Гаусса [387]
    3. Теорема Стокса для плоскости [388]
    4. Формулы Грина [390]
    5. Двойной интеграл от якобиана [391]
    6. Преобразование плоского лапласиана к новым (в частности, полярным) координатам [392]
  § 3. Наглядное истолкование интегральных теорем для плоскости и их приложения [393]
    1. Гидромеханическое истолкование теоремы Гаусса. Дивергенция и производительность источников [393]
    2. Интерпретация теоремы Стокса в поле скоростей и в силовом поле [396]
    3. Преобразование двойного интеграла [397]
  § 4. Интеграл по поверхности [398]
    1. Интегрирование по ориентированной области [398]
    2. Определение интеграла ип поверхности [405]
    3. Физическое истолкование интеграла по поверхности [407]
  § 5. Интегральные теоремы Гаусса и Грина в пространстве [408]
    1. Теорема Гаусса в пространстве [408]
    2. Физический смысл теоремы Гаусса и пространстве [412]
    3. Теоремы Грина [414]
    4. Приложении теорем Гаусса и Грина и пространства [414]
      Упражнения [416]
  § 6. Теорема Стокса в пространстве [416]
    1. Формулировка и докозательство теоремы [416]
    2. Физический смысл теоремы Стокса [419]
  § 7. Приблизительные соображения о связи между дифференцированием и интегрированием в пространстве многих переменных [421]
      Упражнения[421]
Дополнения к главе V [425]
  § 1. Замечания к теоремам Гаусса и Стокса [425]
  § 2. Представление векторного поля, лишенного источников, в виде ротора [427]
      Упражнения [429]
Смешанные упражнения к главе V [430]
Глава VI. Дополнительные сведения о дифференциальных уравнениях [435]
  § 1. Дифференциальные уравнения движения точки в пространстве [435]
    1. Уравнения движения [435]
    2. Закон сохранение энергии [437]
    3. Равновесие. Устойчивость [438]
  § 2. Примеры из механики точки [440]
    1. Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту [440]
    2. Малые колебания рколо положения ровновесия [441]
    3. Движение планет [444]
      Упражнения [450]
  § 3. Некоторые сведения из общей теории дифференциальных уравнений первого порядка [450]
    1. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка [451]
    2. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Особые решения. Ортогональные траектории [454]
    3. Интегрирующий множитель [457]
    4. Теорема существования и единственности решения [459]
    5. Системы дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальные уравнения высшего порядка [452]
    6. Интегрирование с помощью степенного ряда (метод неопределенных коэффициентов) [453]
      Упражнения [455]
  § 4. Линейные дифференциальные уравнения любого порядка [468]
    1. Определение. Теорема существования и единственности решения. Принцип суперпозиции [468]
    2. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы функций [470]
    3. Необходимое условие линейной зависимости и функций [472]
    4. Необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений л. д. у. n-го порядка без правой части [474]
    5. Фундаментальные системы решений л. д. у. без правой части. Структура его общего решения [475]
    6. Частный случай л. д. у. второго порядка [478]
      Упражнения [479]
    7. Л. д. у. n-го порядка без правой части с постоянными коэффициентами [480]
      Упражнения [488]
    8. Л. д. у. с правой частью и с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных [483]
    9. Вынужденное движение простейшей колебательной системы [486]
      Упражнения [487]
    10. Определение частного решения по краевым условиям. Нагруженный канат и нагруженная балка [488]
  § 5. Потенциал гравитационного и электростатического поля. Уравнение Лапласа [493]
    1. Потенциал непрерывного распределения массы или заряда [493]
    2. Двойной слой и его потенциал [495]
    3. Дифференциальное уравнение потенциала [496]
    4. Однородный двойной слой [497]
    5. Теорема о среднем значении [500]
    6. Краевая задача для окружности. Интеграл Пуассона [502]
      Упражнения [504]
  § 6. Дальнейшие примеры дифференциальных уравнений с частными производными [504]
    1. Некоторые сведения о многообразии решений [505]
    2. Одномерное волновое уравнение [506]
    3. Волновое уравнение н трехмерном пространстве [508]
    4. Уравнения Максвелла в вакууме [510]
      Упражнения [512]
Глава VII. Элементы вариационного исчисления [514]
  § 1. Введение [514]
    1. Постановка задачи [514]
    2. Необходимые условия экстремума [518]
      Упражнения [520]
  § 2. Дифференциальное уравнение Эйлера для простейшего случая [520]
    1. Вывод дифференциального уравнения Эйлера [520]
    2. Доказательства обеих лемм [523]
    3. Замечания по поводу интегрирования дифференциального уравнения Эйлера. Примеры [524]
      Упражнения [528]
    4. Случаи, когда уравнение Эйлера обращается в тождество [528]
  § 3. Обобщения [529]
    1. Функционалы, зависящие от многих функциональных аргументов [529]
    2. Важный частный случаи. Примеры [531]
      Упражнение [533]
    3. Принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа [533]
    4. Функционалы, содержащие производные выше первого порядка [535]
    5. Функционал, имеющий вид кратного интеграла [536]
    6. Задачи с дополнительными условиями. Множитель Эйлера [538]
      Упражнение [540, 542]
Смешанные упражнения к главе VII [542]
Глава VIII. Функции комплексной переменной [544]
  § 1. Введение [544]
    1. Пределы и бесконечные ряды с комплексными членами [544]
    2. Степенной ряд [547]
    3. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда [548]
    4. Определение показательной функции, тригонометрических и гиперболических функций с помощью степенных рядов [551]
      Упражнения [552]
  § 2. Основные понятия теории функций комплексной переменной [552]
    1. Требование дифференцируеиости [552]
    2. Правила дифференцировання. Основные свойства показательной функции [555]
      Упражнение [557]
    3. Конформные отображения. Обратные функции [557]
      Упражнения [558]
  § 3. Интегрирование аналитических функций [559]
    1. Определение интеграла [559]
    2. Теорема Коши [561]
    3. Приложения. Логарифм, показательная функция и общая степенная функция [563]
      Упражнения [567]
  § 4. Интегральная формула Коши и ее приложения [568]
    1. Формула Коши [568]
    2. Разложение аналитической функции в степенной ряд [570]
      Упражнение [572]
    3. Теория аналитических функций и теория потенциала [573]
      Упражнение [573]
    4. Теорема, обратная теореме Коши [573]
    5. Нули, полюсы и вычеты аналитической функции [574]
      Упражнения [576]
  § 5. Приложение к вычислению действительных определенных интегралов [577]
    1. Вывод формулы (формула) [577]
    2. Доказательство формулы (формула) [578]
    3. Приложение теоремы вычетов к интегрированию рациональных функций [579]
      Упражнения [581, 582]
    4. Теорема вычетов и линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами [582]
    5. Доказательство формулы (формула) с помощью теории вычетов [583]
    6. Многозначные функции и аналитическое продолжение [585]
    7. Пример аналитического продолжения. Гамма-функция [587]
Смешанные упражнения к главе VIII [589]
Сводка важнейших теорем и формул [592]
Ответы и указания [608]
Предметный указатель [665]
Формат: djvu
Размер:6422052 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 269 Рейтинг
Открыть: