Курс математического анализа. Т. 1

Автор(ы):Кудрявцев Л. Д.
06.10.2007
Год изд.:1981
Описание: Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменой, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов. Предназначена студентам университетов физико-математических и инженерно-физических специальностей для углубленной математической подготовки.
Оглавление:
Курс математического анализа. Т. 1 — обложка книги.
Предисловие [3]
Глава первая Дифференциальное исчисление функций одной переменной
  § 1. Множества и функции. Логические символы [5]
    1.1. Множества. Операции над множествами [5]
    1.2. Функции [8]
    1.З. Конечные множества и натуральные числа. Последовательности [11]
    1.4. Логические символы [13]
  § 2. Действительные числа. Числовые множества [15]
    2.1. Свойства действительных чисел [15]
    2.2. Свойства сложения и умножения [20]
    2.3. Свойство упорядоченности [27]
    2.4. Свойство непрерывности действительных чисел [30]
    2.5. Расширенная числовая прямая [33]
    2.6. Промежутки действительных чисел. Окрестности [33]
    2.7. Ограниченные и неограниченные множества [35]
    2.8. Верхняя и нижняя грани числовых множеств [37]
    2.9. Свойства Архимеда [43]
    2.10. Принцип вложенных отрезков [44]
  § 3. Предел последовательности [48]
    3.1. Определение предела последовательности [48]
    3.2. Бесконечные пределы [53]
    3.3. Простейшие свойства предела последовательности [55]
    3.4. Ограниченность сходящихся последовательностей [59]
    3.5. Монотонные последовательности [60]
    3.6. Теорема Больцано—Вейерштрасса [63]
    3.7. Критерий Коши сходимости последовательности [65]
    З.8. Бесконечно малые последовательности [67]
    3.9 Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями [69]
    3.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями [76]
    З.11. Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел [82]
    3.12. Верхний и нижний пределы последовательностей [86]
  § 4. Функции и их пределы [89]
    4.1. Действительные функции [89]
    4.2. Способы задания функций [91]
    4.3. Элементарные функции и их классификация [95]
    4.4. Первое определение предела функции [96]
    4.5. Второе определение предела функции [101]
    4.6. Обобщение понятия предела функции [104]
    4.7. Свойства пределов функций [106]
    4.8. Замена переменной при вычислении пределов [108]
    4.9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции [110]
    4.10. Пределы монотонных функций [111]
    4.11. Критерий Коши существования предела функции [113]
  § 5. Непрерывность функции в точке [115]
    5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функций [115]
    5.2. Свойства функций непрерывных в точке [119]
  § 6. Свойства непрерывных функций [121]
    6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижение экстремальных значений [121]
    6.2. Промежуточные значения непрерывных функций [123]
    6.3. Обратные функции [125]
  § 7. Непрерывность элементарных функций [131]
    7.1. Многочлены и дробно-рациональныг функции [131]
    7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции [132]
    7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции [139]
  § 8. Сравнение функций. Вычисление пределов [140]
    8.1. Некоторые замечательные пределы [140]
    8.2. Сравнение функций [144]
    8.3. Эквивалентные функции [151]
    8.4. Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов [153]
  § 9. Производная и дифференциал [157]
    9.1. Определение производной [157]
    9.2. Дифференциал функции [159]
    9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала [163]
    9.4. Физический смысл производной и дифференциала [167]
    9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями [170]
    9.6. Производная обратной функции [173]
    9.7. Производная и дифференциал сложной функции [175]
    9.8. Гиперболические функции и их производные [182]
  § 10. Производные и дифференциалы высших порядков [184]
    10.1. Производные высших порядков [184]
    10.2. Высшие производные суммы и произведения функций [186]
    10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически [188]
    10.4. Дифференциалы высших порядков [190]
  § 11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций [192]
    11.1. Теорема Ферма [192]
    11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях [194]
  § 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя [201]
    12.1. Неопределенности вида О/О [201]
    12.2. Неопределенности вида (?) [204]
  § 13. Формула Тейлора [210]
    13.1. Вывод формулы Тейлора [210]
    13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки [213]
    13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора [216]
    13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части) [218]
  § 14. Исследование поведения функций [221]
    14.1. Признак монотонности функции [221]
    14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений функций [222]
    14.3. Выпуклость и точки перегиба [230]
    14.4. Асимптоты [236]
    14.5. Построение графиков функций [239]
  § 15. Вектор-функция [248]
    15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции [248]
    15.2. Производная и дифференциал вектор-функции [251]
  § 16. Длина дуги кривой [255]
    16.1. Понятие кривой [255]
    16.2. Параметрически заданные кривые [258]
    16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых [262]
    16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции [264]
    16.5. Длина дуги кривой [267]
    16.6. Плоские кривые [273]
    16.7. Физический смысл производной вектор-функции [274]
  § 17. Кривизна кривой [275]
    17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости [275]
    17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление [278]
    17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость [281]
    17.4. Центр кривизны и эволюта кривой [283]
    17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой [283]
Глава вторая Дифференциальное исчисление функций многих переменных
  § 18. Множества на плоскости и в пространстве [288]
    18.1. Окрестности точек. Пределы последовательностей точек [288]
    18.2. Различные типы множеств [299]
    18.3. Компакты [309]
    18.4. Многомерные векторные пространства [315]
  § 19. Предел и непрерывность функций многих переменных [320]
    19.1. Функции многих переменных [320]
    19.2. Предел функции [322]
    19.3. Непрерывность функций [327]
    19.4. Непрерывность композиции непрерывных функций [330]
    19.5. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах [332]
    19.6. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности [334]
  § 20. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных [341]
    20.1. Частные производные и частные дифференциалы [341]
    20.2. Дифференцируемость функций, в точке [344]
    20.3. Дифференцирование сложной функции [351]
    20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов [354]
    20.5. Гесметрический смысл частных производных и полного дифференциала [360]
    20.6. Градиент функции [362]
    20.7. Производная по направлению [363]
    20.8. Пример исследования функций двух переменных [367]
  § 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков [369]
    21.1. Частные производные высших порядков [369]
    21.2. Дифференциалы высших порядков [373]
Глава третья Интегральное исчисление функций одной переменной
  § 22. Определение и свойства неопределенного интеграла [378]
    22.1. Первообразная и неопределенный интеграл [378]
    22.2. Табличные интегралы [382]
    22.3. Интегрирование подстановкой (замена переменной) [384]
    22.4. Интегрирование по частям [387]
  § 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах [389]
    23.1. Комплексные числа [389]
    23.2. Формальная теория комплексных чисел [395]
    23.3. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел [396]
    23.4. Разложение многочленов на множители [399]
    23.5. Наибольший общий делитель многочленов [402]
    23.6. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные [406]
  § 24. Интегрирование рациональных дробей [412]
    24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей [412]
    24.2. Общий случай [414]
    24.3. Метод Остроградского [416]
  § 25. Интегрирование некоторых иррациональностей [421]
    25.1. Предварительные замечания [421]
    25.2. Интегралы вида (формула) [422]
    25.3. Интегралы вида (формула). Подстановки Эйлера [424]
    25.4. Интегралы от дифференциального бинома [426]
    25.5. Интегралы вида (?) [429]
  § 26. Интегрирование некоторых трансцендентных функций [431]
    26.1. Интегралы вида (?) [431]
    26.2. Интегралы вида (?) [433]
    26.3. Интегралы вида (?) [434]
    26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям [434]
    26.5. Интегралы вида (?) [436]
    26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции [436]
  § 27. Определенный интеграл [438]
    27.1. Определение интеграла по Риману [438]
    27.2. Ограниченность интегрируемой функции [442]
    27.3. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу [443]
    27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости [446]
    27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций [448]
  § 28. Свойства интегрируемых функций [450]
    28.1. Свойства определенного интеграла [450]
    28.2. Первая теорема о среднем значении для определенного интеграла [459]
    28.3. Интегрируемость кусочно-непрерывных функций [463]
    28.4. Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского [465]
  § 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом [467]
    29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу [467]
    29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции [468]
    29.3. Формула Ньютона—Лейбница [471]
  § 30. Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования по частям [474]
    30.1. Замена переменной [474]
    30.2. Интегрирование по частям [476]
    30.3. Вторая теорема о среднем значении для определенного интеграла [479]
    30.4. Интегралы от вектор-функций [481]
  § 31. Мера плоских открытых множеств [483]
    31.1. Определение меры (площади) открытых множеств [483]
    31.2. Свойства меры открытых множеств [486]
  § 32. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла [491]
    32.1. Вычисление площадей [491]
    32.2. Объем тел вращения [497]
    32.3. Вычисление длины кривой [499]
    32.4. Площадь поверхности вращения [504]
    32.5. Работа силы [507]
    32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой [508]
  § 33. Несобственные интегралы [511]
    33.1. Определение несобственных интегралов [511]
    33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов [517]
    33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций [522]
    33.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов [529]
    33.5. Абсолютно сходящиеся интегралы [530]
    33.6. Исследование сходимости интегралов [534]
  § 34. Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования [539]
Глава четвертая Ряды
  § 35. Числовые ряды [545]
    35.1. Определение ряда и его сходимость [545]
    35.2. Свойства сходящихся рядов [548]
    35.3. Критерий Коши сходимости ряда [550]
    35.4. Ряды с неотрицательными членами [553]
    35.5. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части члена ряда [555]
    35.6. Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами [558]
    35.7. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами [561]
    35.8. Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм [565]
    35.9. Знакопеременные ряды [567]
    35.10. Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходящихся рядов к исследованию сходимости произвольных рядов [569]
    35.11. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов [577]
    35.12. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана [578]
    35.13. Преобразование Абеля. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля [582]
    35.14. Асимптотическое поведение остатков сходящихся рядов и роста частичных сумм некоторых расходящихся рядов [586]
    35.15. О суммируемости рядов методом средних арифметических [589]
  § 36. Функциональные последовательности и ряды [591]
    36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов [591]
    36.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей [595]
    36.3. Равномерно сходящиеся функциональные ряды [602]
    36.4. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей [612]
  § 37. Степенные ряды [621]
    37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда [621]
    37.2. Формула Коши—Адамара для радиуса сходимости степенного ряда [628]
    37.3. Аналитические функции [630]
    37.4. Действительные аналитические функции [632]
    37.5. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного числа формулы Тейлора [636]
    37.6. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора [641]
    37.7. Разложение в степенные ряды и суммирование их методом почленного дифференцирования и интегрирования [648]
    37.8. Формула Стерлинга [651]
    37.9. Формула и ряд Тейлора для многомерных вектор-функций [653]
    37.10. Асимптотические степенные ряды [655]
    37.11. Свойства асимптотических степенных рядов [661]
  § 38. Кратные ряды [665]
    38.1. Кратные числовые ряды [665]
    38.2. Кратные функциональные ряды [672]
Именной указатель [675]
Предметный указатель [676]
Формат: djvu
Размер:7847342 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 154 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU) Ссылка (FR)