Математический анализ: продолжение курса

Автор(ы):Ильин В. А., Садовничий В. А.
06.10.2007
Год изд.:1987
Описание: Учебник представляет собой вторую часть трехтомного курса математического анализа для высших учебных заведений. В книге рассмотрены теория числовых и функциональных рядов, теория кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, теория поля, теория интегралов, зависящих от параметра, и теория рядов и интегралов Фурье.
Оглавление:
Математический анализ: продолжение курса — обложка книги. Обложка книги.
Предисловие [5]
ГЛАВА I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ [7]
  § 1. Понятие числового ряда [7]
    1. Сходящиеся и расходящиеся ряды [7]
    2. Критерий Коши сходимости ряда [10]
  § 2. Ряды с неотрицательными членами [12]
    1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами [12]
    2. Признаки сравиения [13]
    3. Признаки Даламбера и Коши [16]
    4. Интегральный признак Коши — Мак-лорена [21]
    5. Признак Раабе [24]
    6. Отсутствие универсального ряда сравнения [27]
  § 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды [28]
    1. Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов [28]
    2. О перестановке членов условно сходящегося ряда [30]
    3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда [33]
  § 4. Признаки сходимости произвольных рядов [35]
  § 5. Арифметические операции над сходящимися рядами [41]
  § 6. Бесконечные произведения [44]
    1. Основные понятия [44]
    2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов [47]
    3. Разложение функции sin x в бесконечное произведение [51]
  § 7. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов [55]
    1. Метод Чезаро (метод средних арифметических) [56]
    2. Метод суммирования Пуассона — Абеля [57]
  § 8. Элементарная теория двойных и повторных рядов [59]
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [67]
  § 1. Понятия сходимости в точке и равномерной сходимости на множестве [67]
    1. Понятия функциональной последовательности и функционального ряда [67]
    2. Сходимость функциональной последовательности (функционального ряда) в точке и на множестве [69]
    3. Равномерная сходимость на множестве [70]
    4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ряда) [72]
  § 2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов [74]
  § 3. Почленный переход к пределу [83]
  § 4. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов [87]
    1. Почленное интегрирование [87]
    2. Почленное дифференцирование [90]
    3. Сходимость в среднем [94]
  § 5. Равностепенная непрерывность последовательности функций [97]
  § 6. Степенные ряды [102]
    1. Степенной ряд и область его сходимости [102]
    2. Непрерывность суммы степенного ряда [105]
    3. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда [105]
  § 7. Разложение функций в степенные ряды [107]
    1. Разложение функции в степенной ряд [107]
    2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора [108]
    3. Элементарные представления о функциях комплексной переменной [110]
    4. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами [112]
ГЛАВА 3. ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [117]
  § 1. Определение и условия существования двойного интеграла [117]
    1. Определение двойного интеграла для прямоугольника [117]
    2. Условия существования двойного интеграла для прямоугольника [119]
    3. Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области [121]
    4. Общее определение двойного интеграла [123]
  § 2. Основные свойства двойного интеграла [127]
  § 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному [129]
    1. Случай прямоугольника [129]
    2. Случай произвольной области [130]
  § 4. Тройные и n-кратные интегралы [133]
  § 5. Замена переменных в n-кратном интеграле [138]
  § 6. Вычисление объемов n-мерных тел [152]
  § 7. Теорема о почленном интегрировании функциональных последовательностей и рядов [157]
  § 8. Кратные несобственные интегралы [159]
    1. Понятие кратных несобственных интегралов [159]
    2. Два признака сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций [160]
    3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций [161]
    4. Главное значение кратных несобственных интегралов [165]
ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [167]
  § 1. Понятия криволинейных интегралов первого и второго рода [167]
  § 2. Условия существования криволинейных интегралов [169]
ГЛАВА 5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [175]
  § 1. Понятия поверхности и ее площади [175]
    1. Понятие поверхности [175]
    2. Вспомогательные леммы [179]
    3. Площадь поверхности [181]
  § 2. Поверхностные интегралы [185]
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА [190]
  § 1. Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты линейного оператора [190]
    1. Обозначения [190]
    2. Биортогональные базисы в пространстве (?) [191]
    3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариантные координаты вектора [192]
    4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор [195]
    5. Выражения для дивергенции и ротора линейного оператора в ортонормированном базисе [198]
  § 2. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы векторного анализа [198]
    1. Скалярные и векторные поля [198]
    2. Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля [203]
    3. Некоторые другие формулы векторного анализа [204]
    4. Заключительные замечания [206]
  § 3. Основные интегральные формулы анализа [207]
    1. Формула Грина [207]
    2. Формула Остроградского — Гаусса [211]
    3. Формула Стокса [214]
  § 4. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования [218]
  § 5. Некоторые примеры приложений теории поля [222]
    1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл [222]
    2. Выражение объема через поверхностный интеграл [223]
Дополнение к главе 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве [225]
  § 1. Знакопеременные полилинейные формы [225]
    1. Линейные формы [225]
    2. Билинейные формы [226]
    3. Полилинейные формы [227]
    4. Знакопеременные полилинейные формы [228]
    5. Внешнее произведение знакопеременных форм [228]
    6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм [231]
    7. Базис в пространстве знакопеременных форм [233]
  § 2. Дифференциальные формы [235]
    1. Основные обозначения [235]
    2. Внешний дифференциал [236]
    3. Свойства внешнего дифференциала [237]
  § 3. Дифференцируемые отображения [239]
    1. Определение дифференцируемых отображений [239]
    2. Свойства отображения (?) [240]
  § 4. Интегрирование дифференциальных форм [243]
    1. Определения [243]
    2. Дифференцируемые цепи [245]
    3. Формула Стокса [248]
    4. Примеры [250]
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ [252]
  § 1. Равномерное по одной переменной стремление функции двух переменных к пределу по другой переменной [252]
    1. Связь равномерного по одной переменной стремления функции двух переменных к пределу по другой переменной с равномерной сходимостью функциональной последовательности [252]
    2. Критерий Коши равномерного стремления функции к предельной [254]
    3. Применения понятия равномерного стремления к предельной функции [254]
  § 2. Собственные интегралы, зависящие от параметра [256]
    1. Свойства интеграла, зависящего от параметра [256]
    2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра [257]
  § 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра [259]
    1. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра [260]
    2. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра [266]
  § 4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению некоторых несобственных интегралов [267]
  § 5. Интегралы Эйлера [271]
    1. Г-функция [272]
    2. В-функция [275]
    3. Связь между эйлеровыми интегралами [277]
    4. Примеры [279]
  § 6. Формула Стирлинга [280]
  § 7. Кратные интегралы, зависящие от параметров [282]
    1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров [282]
    2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра [283]
ГЛАВА 8. РЯДЫ ФУРЬЕ [287]
  § 1. Ортонормированные системы и общие ряды Фурье [287]
    1. Ортонормированные системы [287]
    2. Понятие об общем ряде Фурье [292]
  § 2. Замкнутые и полные Ортонормированные системы [295]
  § 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее [298]
    1. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами [298]
    2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы [301]
    3. Следствия замкнутости тригонометрической системы [303]
  § 4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье [304]
    1. Вводные замечания [304]
    2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье [306]
    3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье [308]
  § 5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходимости в данной точке [309]
    1. Модуль непрерывности функции. Классы Гёльдера [309]
    2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье [311]
    3. Вспомогательные предложения [314]
    4. Принцип локализации [317]
    5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гёльдера [319]
    6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно гёльдеровой функции [325]
    7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических [329]
    8. Заключительные замечания [331]
  § 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье [332]
    1. Понятия кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных и сферических частичных сумм [332]
    2. Модуль непрерывности и классы Гёльдера для функции N переменных [334]
    3. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье [335]
ГЛАВА 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [339]
  § 1. Представление функции интегралом Фурье [339]
    1. Вспомогательные утверждения [340]
    2. Основная теорема. Формула обращения [342]
    3. Примеры [347]
  § 2. Некоторые свойства преобразования Фурье [348]
  § 3. Кратный интеграл Фурье [352]
Формат: djvu
Размер:3196035 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 265 Рейтинг
Открыть: