Расходящиеся ряды (Харди Г.)

Расходящиеся ряды

Автор(ы):Харди Г.
06.10.2007
Год изд.:1951
Описание: Настоящая работа представляет собой монографию, посвященную суммированию расходящихся рядов и подробное исследование ряда конкретных методов суммирования (методов Чезаро, Абеля, Вороного, Эйлера и др.). Также здесь рассматриваются формулы суммирования Эйлера-Маклорена, суммирование рядов Фурье и нахождение значений определенных интегралов. Книга рассчитана на математиков - научных работников, аспирантов и студентов старших курсов.
Оглавление:
Расходящиеся ряды — обложка книги. Обложка книги.
Замечание об обозначениях [9]
Глава I. Введение [13]
  1.1. Сумма ряда [13]
  1.2. Некоторые вычисления с расходящимися рядами [14]
  1.3. Первоначальные определения [18]
  1.4. Регулярность метода [24]
  1.5. Расходящиеся интегралы и обобщенные пределы функций непрерывного переменного [24]
  1.6. Некоторые исторические замечания [27]
  1.7. Замечания о британских аналитиках первой половины девятнадцатого века [33]
  Примечания к главе I [36]
Глава II. Несколько исторических примеров [39]
  2.1. Введение [39]
A. Эйлер и функциональное уравнение дзета-функции Римана
  2.2. Функциональное уравнение для (?), (?) и (?) [39]
  2.3. Эйлерова проверка [40]
Б. Эйлер и ряд (формула)
  2.4. Суммирование ряда (формула)[43]
  2.5. Асимптотическое поведение ряда [45]
  2.6. Численные расчеты [46]
B. Фурье и его теорема
  2.7. Теорема Фурье [47]
  2.8. Первая формула Фурье [48]
  2.9. Другие формы коэффициентов и рядов [51]
  2.10. Законность формул Фурье [52]
Г. Показательный ряд Хэвисайда
  2.11. Хэвисайд о расходящихся рядах [54]
  2.12. Обобщенный показательный ряд [55]
  2.13. Ряд (формула)) [56]
  2.14. Обобщенный биномиальной ряд [57]
  Примечания к главе II [58]
Глава III. Общие теоремы [61]
  3.1. Линейные преобразования [61]
  3.2. Регулярные преобразования [62]
  3.3. Доказательство теорем 1 и 2 [63]
  3.4. Доказательство теоремы 3 [66]
  3.5. Варианты и аналоги [69]
  3.6. Положительные преобразования [74]
  3.7. Теорема Кноппа [76]
  3.8. Одно применение теоремы 2 [79]
  3.9. Разбавление рядов [82]
  Примечания к главе III [84]
Глава IV. Частные методы суммирования [88]
  4.1. Методы Вороного [88]
  4.2. Регулярность и совместность методов Вороного [89]
  4.3. Включение [91]
  4.4. Равносильность [92]
  4.5. Еще одна теорема о включении [93]
  4.6. Метод Эйлера [96]
  4.7. Методы Абеля [97]
  4.8. Теорема о включении для абелевских средних [99]
  4.9. Комплексные методы [103]
  4.10. Суммируемость ряда 1 — 1 + 1 — 1 + ... отдельными методами Абеля [104]
  4.11. Методы Линделёфа и Миттаг-Леффлера [104]
  4.12. Методы суммирования, определяемые целыми функциями [107]
  4.13. Моментные методы [109]
  4.14. Теорема совместности [112]
  4.15. Методы, неэффективные для рсча 1 — 1+1 — 1 + [113]
  4.16. Нормальные средние Рисса [114]
  4.17. Методы, возникшие под влиянием теории рядов Фурье [116]
  4.18. Общий принцьл [118]
  Примечания к главе IV [120]
Глава V. Арифметические средние (1) [123]
  5.1. Введение [123]
  5.2. Методы Гёльдера [123]
  5.3. Элементарные теоремы относительно суммируемости по Гёльдеру [124]
  5.4. Методы Чезаро [125]
  5.5. Средние нецелого порядка [127]
  5.6. Теорема о свертках [128]
  5.7. Простейшие теоремы относительно суммируемости по Чезаро [130]
  5.8. Теорема равносильности [133]
  5.9. Теорема Мерсера и доказательство Шура теоремы равносильности [135]
  5.10. Другие доказательства теоремы Мерсера [137]
  5.11. Бесконечные пределы [139]
  5.12. Суммируемость по Чезаро и по Абелю [140]
  5.13. Чезаровские средние как средние Вороного [141]
  5.14. Интегралы [142]
  5.15. Теоремы о суммируемых интегралах [144]
  5.16. Риссовские арифметические средние [145]
  5.17. Равномерно распределенные последовательности [148]
  5.18. Равномерная распределенность последовательности (?) [151]
  Примечания к главе V [152]
Глава VI. Арифметические средние (2) [156]
  6.1. Теоремы тауберова типа для методов Чезаро [156]
  6.2. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции [160]
  6.3. Другое условие тауберова типа [163]
  6.4. Теоремы о выпуклости [163]
  6.5. Множители сходимости [164]
  6.6. Множитель (формула) [168]
  6.7. Другое условие суммируемости [170]
  6.8. Интегралы [173]
  6.9. Биномиальный ряд [175]
  6.10. Ряд (формула) [178]
  6.11. Случай (формула) [178]
  6.12. Ряд (формула) [180]
  Примечания к главе VI [185]
Глава VII. Теоремы тауберова типа для степенных рядов [189]
  7.1. Теоремы абелева и тауберова типов [189]
  7.2. Первая теорема Таубера [191]
  7.3. Вторая теорема Таубера [192]
  7.4. Применения к общим рядам Дирихле [194]
  7.5. Более глубокие теоремы тауберова типа [195]
  7.6. Доказательство теорем 96 и 96а [19Я]
  7.7. Доказательство теорем 91 и 91 а [201]
  7.8. Дальнейшие замечания о связях между теоремами § 7.5 [205]
  7.9. Ряд (формула) [207]
  7.10. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции [208]
  7.11. Другое обобщение теоремы 98 [210]
  7.12. Метод Харди и Литтльвуда [215]
  7.13. Теорема о „больших показателях" [218]
  Примечания к главе VII [221]
Глава VIII. Методы Эйлера и Бореля (1) [224]
  8.1. Введение [224]
  8.2. (Е, q)-метод [224]
  8.3. Простые свойства (Е, q)-метода [225]
  8.4. Формальные связи между методами Эйлера и Бореля [228]
  8.5. Методы Бореля [229]
  8.6. Нормальная, абсолютная и регулярная суммируемость [231]
  8.7. Теоремы абелева типа для метода суммирования Бореля [231]
  8.8. Аналитическое продолжение функции,регулярной вначале; многоугольник суммируемости [234]
  8.9. Ряды, представляющие функции с особенностью в начале [237]
  8.10. Аналитическое продолжение другими методами [239]
  8.11. Суммируемость некоторых асимптотических рядов [240]
  Примечания к главе VIII [245]
Глава IX. Методы Эйлера и Бореля (2) [251]
  9.1. Элементарные леммы [251]
  9.2. Доказательство теоремы 137 [253]
  9.3. Доказательство теоремы 139 [255]
  9.4. Еще одна элементарная лемма [257]
  9.5. Теорема Островского о сверхсходимости [258]
  9.6. Теоремы тауберова типа для метода Бореля [260]
  9.7. Теоремы тауберова типа (продолжение) [263]
  9.8. Примеры рядов, не суммируемых (В) [266]
  9.9. Теорема противоположного характера [267]
  9.10. Метод суммирования (е, с) [268]
  9.11. Суммируемость (?) [273]
  9.12. Дальнейшие замечания о теоремах 150—155 [275]
  9.13. Основная теорема тауберова типа [275]
  9.14. Обобщения [277]
  9.15. Ряд (формула) [278]
  9.16. Методы Валирона [279]
  Примечания к главе IX [280]
Глава X. Умножение рядов [283]
  10.1. Формальные правила умножения рядов [283]
  10.2. Классические теоремы об умножении по правилу Коши [284]
  10.3. Умножение суммируемых рядов [285]
  10.4. Другие теоремы о сходимости произведения рядов [287]
  10.5. Дальнейшие применения теоремы 170 [289]
  10.6. Знакочередующиеся ряды [290]
  10.7. Формальное перемножение рядов [291]
  10.8. Умножение интегралов [292]
  10.9. Суммируемость по Эйлеру [294]
  10.10. Суммируемость по Борелю [295]
  10.11. Правило умножения Дирихле [297]
  10.12. Ряды, бесконечные в обоих направлениях [298]
  10.13. Аналоги теорем Коши и Мертенса [300]
  10.14. Дальнейшие теоремы [301]
  10.15. Аналог теоремы Абеля [304]
  Примечания к главе X [304]
Глава XI. Хаусдорфовские средние [307]
  11.1. Преобразование В [307]
  11.2. Выражение преобразований (Е, q) и (С, 1) через (?) [308]
  11.3. Общее хаусдорфовское преобразование [309]
  11.4. Общие гёльдеровские и чезаровские преобразования как (?)-преобразования [311]
  11.5. Условия регулярности вещественных хаусдорфовских преобразований [313]
  11.6. Абсолютно монотонные последовательности [314]
  11.7. Окончательный вид условий регулярности [316]
  11.8. Моменты [318]
  11.9. Теорема Хаусдорфа [320]
  11.10. Включение и равносильность (?)-методов [324]
  11.11. Теорема Мерсера и равносильность гёльдеровских и чеза-ровских средних [326]
  11.12. Некоторые частные случаи [329]
  11.13. Логарифмические случаи [331]
  11.14. Экспоненциальный случай [332]
  11.15. Ряд Лежандра для (?) [335]
  11.16. Моменты для функции специальных классов [337]
  11.17. Одно неравенство для хаусдорфовских средник [338]
  11.18. Непрерывные преобразования [341]
  11.19. Квази-хаусдорфовские преобразования [343]
  11.20. Регулярность квази-хаусдорфовского преобразования [345]
  11.21. Примеры [346]
  Примечания к главе XI [347]
Глава XII. Тауберовы теоремы Винера [350]
  12.1. Введение [350]
  12.2. Условие Винера [352]
  12.3. Леммы о преобразованиях Фурье [354]
  12.4. Леммы относительно класса U [355]
  12.5. Заключительные леммы [358]
  12.6. Доказательство теорем 221 и 220 [361]
  12.7. Вторая теорема Винера [363]
  12.8. Теоремы для интервала (?) [365]
  12.9. Некоторые специальные ядра [368]
  12.10. Применение общих теорем к некоторым специальным ядрам [370]
  12.11. Применения к теории простых чисел [373]
  12.12. Односторонние условия [375]
  12.13. Теорема Виджаярагавана [377]
  12.14. Доказательство теоремы 238 [380]
  12.15. Суммируемость по Борелю [384]
  12.16. Суммируемость (R, 2) [387]
  Примечания к главе XII [389]
Глава XIII. Формула суммирования Эйлера-Маклорена [392]
  13.1. Введение [392]
  13.2. Числа Бернулли и многочлены Бернулли [394]
  13.3. Ассоциированные периодические функции [396]
  13.4. Знаки функций (?) [397]
  13.5. Формула суммирования Эйлера-Маклорена [398]
  13.6. Пределы при (?) [402]
  13.7. Знак и величина остаточного члена [403]
  13.8. Пуассоновское доказательство формулы Эйлера-Маклореиа [406]
  13.9. Об одной формуле Фуръе [407]
  13.10. Случай (формула) и дзета-функция Римана [408]
  13.11. Случай (формула) и теорема Стерлинга [410]
  13.12. Обобщение формулы Эйлера-Маклорена [413]
  13.13. Другие формулы для С [414]
  13.14. Исследование формулы Эйлера-Маклорена посредством комплексного интегрирования [417]
  13.15. Суммируемость ряда Эйлера-Маклорена [420]
  13.16. Дополнительные замечания [425]
  13.17. (?)-определение суммы расходящегося ряда [426]
  Примечания к главе XIII [427]
Приложение I. О вычислении некоторых определенных интегралов с помощью расходящихся рядов [429]
Приложение II. Ядра Фурье некоторых методов суммирования [442]
Приложение III. О суммируемости по Римаиу и по Абелю [450]
Приложение IV. О суммируемости по Ламберту и по Ингаму [458]
Приложение V. Две теоремы Картрайт [470]
С. Б. Стечкин. Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского [479]
Указатель книг [493]
Указатель журналов [496]
Указатель определений [498]
Формат: djvu
Размер:4498841 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 459 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU)