Контрпримеры в анализе

Автор(ы):Гелбаум Б, Олмстед Дж.
06.10.2007
Год изд.:1967
Описание: "В книге рассматриваются многочисленные примеры из математического анализа и теории функций действительного переменного, цель которых - обратить внимание на ряд "опасных" вопросов, на которые неопытный читатель может дать неправильные ответы. Такие контрпримеры систематически подобраны автором, и поэтому книга может служить очень хорошим дополнением к обычным учебным курсам. Это позволит читателю активно включиться в изучение материала. Книга будет полезна студентам университетов, пединститутов и втузов, изучающим математический анализ и теорию функций."
Оглавление:
Контрпримеры в анализе — обложка книги. Обложка книги.
От редактора [5]
Предисловие [7]
Глава 1. Система действительных чисел [11]
Введение [11]
  1. Бесконечное поле, которое нельзя упорядочить [23]
  2. Поле, которое можно упорядочить двумя различными способами [24]
  3. Неполное упорядоченное поле [24]
  4. Упорядоченное неархимедово поле [25]
  5. Упорядоченное поле, которое нельзя пополнить [26]
  6. Упорядоченное поле, в котором множество рациональных чисел не плотно [27]
  7. Неполное упорядоченное поле, полное в смысле Коши [27]
  8. Область целостности, допускающая различные факторизации [27]
  9. Два числа без наибольшего общего делителя [28]
  10. Дробь, не допускающая единственного представления в виде несократимой дроби [29]
  11. Функции, непрерывные на замкнутом интервале и не обладающие известными свойствами, если система чисел не полна [29]
Глава 2. Функции и пределы [31]
Введение [31]
  1. Всюду разрывная функция, абсолютное значение которой есть всюду непрерывная функция [34]
  2. Функция, непрерывная лишь в одной точке (см. пример 22) [34]
  3. Непрерывная и неограниченная функция, определенная на произвольном некомпактном множестве [34]
  4. Неограниченная функция, определенная на произвольном некомпактном множестве и локально ограниченная на нем [34]
  5. Функция, всюду конечная и всюду локально неограниченная [35]
  6. Непрерывная ограниченная функция, определенная на произвольном некомпактном множестве и не имеющая экстремальных значений [35]
  7. Ограниченная функция, ке имеющая относительных экстремумов на компактном множестве [36]
  8. Ограниченная функция, не являющаяся полунепрерывной ни в одной точке [37]
  9. Периодическая функция, отличная от постоянной и не имеющая наименьшего периода [37]
  10. Иррациональные функции [37]
  11. Трансцендентные функции [38]
  12. Функции (формула), (формула), (формула), композиция которых (формула) всюду непрерывна и такова, что (формула) (формула) (формула) [39]
  13. Две равномерно непрерывные функции, произведение которых не является равномерно непрерывной функцией [39]
  14. Непрерывное на некотором интервале взаимно однозначное отображение, обратное к которому разрывно [39]
  15. Функция, непрерывная в иррациональных и разрывная в рациональных точках [40]
  16. Полунепрерывная функция с плотным множеством точек разрыва [40]
  17. Функция с плотным множеством точек разрыва, каждая из которых устранима [40]
  18. Монотонная функция, точки разрыва которой образуют произвольное счетное (возможно, плотное) множество [41]
  19. Функция с плотным множеством точек непрерывности и плотным множеством точек разрыва, ни одна из которых не является устранимой [41]
  20. Нигде не монотонное взаимно однозначное соответствие между двумя интервалами [41]
  21. Непрерывная нигде не монотонная функция [42]
  22. Функция, точки разрыва которой образуют произвольно заданное замкнутое множество [43]
  23. Функция, точки разрыва которой образуют произвольно заданное множество типа (?) (см. пример 8 гл. 4 и примеры 8, 10 и 22 гл. 8) [43]
  24. Функция, не являющаяся пределом последовательности непрерывных функций (см. пример 10 гл, 4) [44]
  25. Функция, определенная на [0,1], множество значений которой на каждом невырожденном подинтервале совпадает с [0,1] (см. пример 27 гл. 8) [45]
  26. Разрывная линейная функция [47]
  27. Теорема Колмогорова: для каждого (?) существуют (формула) функций (формула, формула, формула), таких, что: (a) все функции (?) непрерывны на [0,1]; (b) для любой функции (?), непрерывной на (?), существуют 2n + 1 функций (?), 2n + 1, каждая из которых непрерывна на R, причем (формула) [47]
Глава 3. Дифференцирование [49]
Введение [49]
  1. Функция, не являющаяся производной [49]
  2. Дифференцируемая функция с разрывной производной [50]
  3. Разрывная функция, имеющая всюду производную (не обязательно конечную) [50]
  4. Дифференцируемая функция, производная которой не сохраняет знака ни в какой односторонней окрестности экстремальной точки [50]
  5. Дифференцируемая функция, производная которой положительна в некоторой точке, но сама функция не монотонна ни в какой окрестности этой точки [51]
  6. Функция, производная которой конечна, но не ограничена на замкнутом интервале [51]
  7. Функция, производная которой существует и ограничена, но не имеет (абсолютного) экстремума на замкнутом интервале [51]
  8. Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция [52]
  9. Дифференцируемая функция, для которой теорема о среднем не имеет места [53]
  10. Бесконечно дифференцируемая функция f(x), положительная при положительных к и равная нулю при отрицательных х [54]
  11. Бесконечно дифференцируемая функция, положительная в единичном интервале и равная нулю вне его [54]
  12. Бесконечно дифференцируемая функция, равная 1 на (?), равная 0 на (?) и строго монотонная на [О, 1] [54]
  13. Бесконечно дифференцируемая монотонная функция f, такая, что (формула) (формула) [55]
Глава 4. Интеграл Римана [56]
Введение [56]
  1. Ограниченная функция, не интегрируемая по Риману на конечном замкнутом интервале [56]
  2. Функция, интегрируемая по Риману и не имеющая примитивной [57]
  3. Функция, интегрируемая по Риману и не имеющая примитивной ни на каком интервале [57]
  4. Функция, имеющая примитивную на замкнутом интервале, но не интегрируемая на нем по Риману (см. пример 35 гл. 8) [57]
  5. Интегрируемая по Риману функция со всюду плотным множеством точек разрыва [58]
  6. Функция f, для которой (формула) всюду дифференцируема, однако (формула) на всюду плотном множестве [58]
  7. Две различные полунепрерывные функции, „расстояние" между которыми равно нулю [59]
  8. Интегрируемая по Риману функция, множество точек разрыва которой совпадает с произвольно заданным множеством типа (?) и меры нуль (см. пример 22 гл. 8) [59]
  9. Две функции, интегрируемые по Риману, композиция которых не интегрируема по Риману (см. пример 34 гл. 8) [60]
  10. Не интегрируемая по Риману ограниченная функция, являющаяся пределом возрастающей последовательности интегрируемых по Риману функций (см. пример 33 гл. 8) [60]
  11. Расходящийся несобственный интеграл, имеющий конечное главное значение в смысле Коши [60]
  12. Сходящийся несобственный интеграл (?), подинтегральная функция которого положительна, непрерывна и не стремится к нулю при x (?) [61]
  13. Сходящийся на интервале (?) несобственный интеграл, подинтегральная функция которого не ограничена на любом интервале вида (?), где а>0 [61]
  14. Функции f и g, такие, что интеграл Римана—Стильтьеса от f относительно g существует на [а, Ь] и [Ь, с], но не существует на [а, с] [62]
Глава 5. Последовательности [63]
Введение [63]
  1. Ограниченные расходящиеся последовательности [63]
  2. Последовательность с произвольно заданным замкнутым множеством предельных точек [64]
  3. Расходящаяся последовательность (?), для которой (формула) при любом натуральном р [66]
  4. Расходящаяся последовательность (?), такая, что для заданной строго возрастающей последовательности (формула) натуральных чисел (формула) [66]
  5. Последовательности (?) и (?), такие, что (формула) [67]
  6. Последовательности (?), (?), такие, что (формула) 67
  7. Две равномерно сходящиеся последовательности функций, последовательность произведений которых не сходится равномерно [68]
  8. Расходящаяся последовательность множеств [68]
  9. Последовательность (?) множеств, которая сходится к пустому множеству, но кардинальные числа этих множеств (?) [69]
Глава 6. Бесконечные ряды [71]
Введение [71]
  1. Расходящийся ряд, общий член которого стремится к нулю [72]
  2. Сходящийся ряд (?) и расходящийся ряд (?) такие, что (формула), n=1, 2 [72]
  3. Сходящийся ряд (?) и расходящийся ряд (?), такие, что (формула), n=1, 2 [72]
  4. Для произвольно заданного положительного ряда существует либо мажорируемый им расходящийся, либо мажорирующий его сходящийся ряд [72]
  5. Об условно сходящихся рядах [73]
  6. Для произвольного условно сходящегося ряда (?) и произвольного действительного числа х существует последовательность (?), где (?)=1 (n=1, 2, ...), такая, что (формула) [75]
  7. Об условиях теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов [75]
  8. Расходящийся ряд с общим членом, стремящимся к нулю, который при подходящей расстановке скобок становится сходящимся к наперед заданной сумме [76]
  9. Для произвольно заданной положительной последовательности (?) с нижним пределом, равным нулю, существует расходящийся ряд (?) общий член которого стремится к нулю, причем (формула) [76]
  10. Для всякой положительной последовательности (?) с нижним пределом, равным нулю, существует положительный сходящийся ряд (?) такой, что(формула) [77]
  11. Для всякой положительной последовательности (?) с нижним пределом, равным нулю, существуют положительный сходящийся ряд (?) и положительный расходящийся ряд (?), такие, что (формула), n=1, 2 [77]
  12. Положительная непрерывная при (?) функция, такая, что интеграл (формула) сходится, а ряд (формула) расходится [78]
  13. Положительная непрерывная при (?) функция, такая, что интеграл (формула) расходится, а ряд (формула) сходится [78]
  14. Ряды, к которым не применим признак Даламбера [79]
  15. Ряды, к которым не применим признак Коши [80]
  16. Ряды, для которых эффективен признак Коши и не эффективен признак Даламбера [82]
  17. Два сходящихся ряда, произведение которых расходится [82]
  18. Два расходящихся ряда, произведение которых сходится абсолютно [83]
  19. Для произвольной последовательности (формула) n=1, 2 положительных сходящихся рядов существует положительный сходящийся ряд (формула) не сравнимый ни с одним из рядов (формула) [84]
  20. Матрица Теплица Т и расходящаяся последовательность, преобразуемая матрицей Т в сходящуюся последовательность [86]
  21. Для всякой матрицы Теплица T—(?) существует последовательность (?), каждый член которой есть либо 1, либо— 1, такая, что преобразование (?) последовательности (?) посредством матрицы Т расходится [88]
  22. Степенной ряд, сходящийся лишь в одной точке (см. пример 24) [90]
  23. Функция, ряд Маклорена которой сходится всюду, однако представляет функцию лишь в одной точке [91]
  24. Функция, ряд Маклорена которой сходится лишь в одной точке [91]
  25. Сходящийся тригонометрический ряд, не являющийся рядом Фурье [93]
  26. Бесконечно дифференцируемая функция f(x), не являющаяся преобразованием Фурье никакой функции, интегрируемой по Лебегу, и такая, что lim f(х) = 0 [96]
  27. Для произвольного счетного множества (формула) существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в каждой точке (?) и сходится в каждой точке (?) [97]
  28. Функция, интегрируемая (по Лебегу) на (?), ряд Фурье которой расходится всюду [98]
  29. Последовательность (?) рациональных чисел, обладающая тем свойством, что для всякой функции f, непрерывной на [0,1] и равной 0 при х = 0 (f(0)=0), существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел (?), такая, что (формула) причем сходимость является равномерной на [0,1] [98]
Глава 7. Равномерная сходимость [101]
Введение [101]
  1. Последовательность всюду разрывных функций, сходящаяся равномерно к всюду непрерывной функции [101]
  2. Последовательность бесконечно дифференцируемых функций, которая равномерно сходится к нулю, а последовательность производных этих функций всюду расходится [101]
  3. Неограниченная функция, являющаяся пределом неравномерно сходящейся последовательности ограниченных функций [102]
  4. Разрывная функция, являющаяся пределом последовательности непрерывных функций [102]
  5. Не интегрируемая по Риману функция, являющаяся пределом последовательности функций, интегрируемых по Риману (см. пример 33 гл. 8) [104]
  6. Последовательность функций, для которой предел интегралов не равен интегралу от предельной функции [104]
  7. Последовательность функций, для которой предел производных не равен производной от предельной функции [105]
  8. Последовательность функций, равномерно сходящаяся на каждом замкнутом подинтервале, но не сходящаяся равномерно на всем интервале [106]
  9. Последовательность (?), равномерно сходящаяся к нулю на интервале (?) и такая, что (формула) [106]
  10. Неравномерно сходящийся ряд, общий член которого стремится к нулю равномерно [107]
  11. Неравномерно сходящаяся последовательность, обладающая равномерно сходящейся подпоследовательностью [107]
  12. Неравномерно сходящиеся последовательности, удовлетворяющие любым трем из четырех условий теоремы Дини [107]
Глава 8. Множества и мера на действительной оси [109]
Введение [109]
  1. Совершенное нигде не плотное множество [111]
  2. Несчетное множество меры нуль [113]
  3. Множество меры нуль, разностное множество которого содержит некоторую окрестность нуля [114]
  4. Совершенное нигде не плотное множество положительной меры [115]
  5. Совершенное нигде не плотное множество иррациональных чисел [117]
  6. Всюду плотное открытое множество, дополнение которого имеет положительную меру [118]
  7. Множество второй категории [118]
  8. Множество, не являющееся множеством типа (?) [119]
  9. Множество, не являющееся множеством типа (?) [119]
  10. Множество А, не являющееся множеством точек разрыва никакой функции [120]
  11. Неизмеримое множество [120]
  12. Множество D, такое, что для всякого измеримого множества А справедливы равенства (формула) [123]
  13. Множество А меры нуль, для которого любое действительное число является его точкой конденсации [123]
  14. Нигде не плотное множество А действительных чисел и его непрерывное отображение на замкнутый единичный интервал [О, 1] [124]
  15. Непрерывная монотонная функция, производная которой равна нулю почти всюду [126]
  16. Топологическое отображение замкнутого интервала, не сохраняющее измеримость и нулевую меру [128]
  17. Измеримое неборелевское множество [128]
  18. Две непрерывные функции, разность которых не является постоянной, но их производные (конечные или бесконечные) совпадают всюду [129]
  19. Множество полной меры и первой категории на [О, 1] [129]
  20. Множество меры нуль и второй категории на [О, 1] [130]
  21. Множество меры нуль, не являющееся множеством типа (?) [130]
  22. Множество меры нуль, такое, что не существует функции (интегрируемой по Риману или нет), для которой это множество является множеством точек разрыва [131]
  23. Два совершенных нигде не плотных гомеоморфных множества на [0,1], лишь одно из которых имеет меру нуль [131]
  24. Два непересекающихся непустых нигде не плотных множества действительных чисел, таких, что каждая точка любого из них является предельной точкой другого [133]
  25. Два гомеоморфных множества действительных чисел, являющихся множествами разных категорий [133]
  26. Два гомеоморфных множества действительных чисел, таких, что одно из них всюду плотно, а другое нигде не плотно [134]
  27. Функция, определенная на R, равная нулю почти всюду и такая, что множество ее значений на каждом непустом открытом интервале совпадает с R [135]
  28. Функция, определенная на R, график которой всюду плотен на плоскости [136]
  29. Неотрицательная всюду конечная функция f, такая, что (формула) для любого непустого открытого интервала (а, 6) [136]
  30. Непрерывная строго монотонная функция с производной, равной нулю почти всюду [137]
  31. Ограниченная полунепрерывная функция, не интегрируемая по Риману и не эквивалентная никакой функции, интегрируемой по Риману [137]
  32. Ограниченная измеримая функция, не эквивалентная никакой функции, интегрируемой по Риману [138]
  33. Ограниченная функция, являющаяся пределом монотонной последовательности непрерывных функций, не интегрируемая по Риману и не эквивалентная никакой функции, интегрируемой по Риману (см. пример 10 гл. 4) [138]
  34. Интегрируемая по Риману функция f и непрерывная функция g, определенные на [О, 1] и такие, что их композиция f(g(x)) не интегрируема по Риману на [О, 1] и не эквивалентна никакой функции, интегрируемой по Риману на этом замкнутом интервале (см. пример 9 гл. 4) [139]
  35. Ограниченная функция, имеющая примитивную на замкнутом интервале, но не интегрируемая на нем по Риману [139]
  36. Функция, для которой существует несобственный интеграл Римана и не существует интеграл Лебега [141]
  37. Функция, измеримая по Лебегу и не измеримая по Борелю [141]
  38. Измеримая функция f(x) и непрерывная функция g(x), такие, что их композиция f(g(x)) неизмерима [141]
  39. Непрерывная монотонная функция g(x) и непрерывная функция f(x), такие, что (формула) [142]
  40. Различные виды сходимости функциональных последовательностей [142]
  41. Две меры (?) и (?) на пространстве с мерой (?), такие, что (?) абсолютно непрерывна относительно (?), однако не существует функции (?), удовлетворяющей равенству (формула) для всех (?) [145]
Глава 9. Функции двух переменных [147]
Введение [147]
  1. Разрывная функция двух переменных, непрерывная по каждой переменной в отдельности [147]
  2. Функция двух переменных, не имеющая предела в начале координат, но имеющая равный нулю предел при приближении к началу координат по любой прямой [148]
  3. Обобщение предыдущего примера [148]
  4. Разрывная (и, следовательно, недифференцируемая) функция двух переменных, имеющая всюду частные производные первого порядка [149]
  5. Функции f, для которых существуют и равны лишь два из следующих пределов: (формула) (формула) (формула) [149]
  6. Функции f, для которых существует лишь один из следующих пределов: (формула) (формула) (формула) [150]
  7. Функция f, для которой пределы (?) f(x, у) и (?) f (x, у) существуют, но не равны между собой [151]
  8. Функция f(x, у), для которой предел (формула) существует равномерно относительно х, предел (формула) существует равномерно относительно у, (формула), однако предел (формула) не существует [151]
  9. Дифференцируемая, но не непрерывно дифференцируемая функция двух переменных [152]
  10. Дифференцируемая функция, имеющая неравные смешанные частные производные второго порядка [153]
  11. Непрерывно дифференцируемая функция f двух переменных х и у и область R на плоскости, такие, что df/dу=О в области R, но функция f зависит от у в этой области [154]
  12. Локально однородная непрерывно дифференцируемая функция двух переменных, не являющаяся однородной [154]
  13. Дифференцируемая функция двух переменных, не имеющая экстремума в начале координат и такая, что ее сужение на любую прямую, проходящую через начало координат, имеет строгий локальный минимум в этой точке [155]
  14. Обобщение предыдущего примера [156]
  15. Функция f, для которой (формула), хотя оба интеграла существуют в смысле Римана [156]
  16. Функция f, для которой (формула) хотя оба интеграла существуют в смысле Римана [157]
  17. Двойной ряд (?) для которого (формула) [158]
  18. Дифференциал Pdx+Qdy и плоская область R, в которой Pdx+Qdy является локально полным, но не полным дифференциалом [159]
  19. Соленоидальное векторное поле, заданное в односвязной области и не имеющее векторного потенциала [160]
Глава 10. Множества на плоскости [163]
Введение [163]
  1. Два непересекающихся замкнутых множества, расстояние между которыми равно нулю [166]
  2. Ограниченное множество на плоскости, для которого не существует минимального замкнутого круга, содержащего это множество [166]
  3. „Тонкие" связные множества, не являющиеся простыми дугами ]
  4. Два непересекающихся плоских контура, содержащихся в квадрате и соединяющих его противоположные вершины [167]
  5. Отображение интервала [О, 1] на квадрат [О, 1]Х[0, 1] [168]
  6. Кривая Пеано на плоскости [169]
  7. Кривая Пеано, стационарная почти всюду [171]
  8. Кривая Пеано, дифференцируемая почти всюду [171]
  9. Непрерывное отображение интервала [О, 1] на себя, принимающее каждое значение несчетное множество раз [171]
  10. Простая дуга, расположенная в единичном квадрате и имеющая плоскую меру, сколь угодно близкую к единице [171]
  11. Связное компактное множество, не являющееся дугой [175]
  12. Плоская область, не совпадающая с ядром своего замыкания [175]
  13. Три непересекающиеся плоские области с общей границей [176]
  14. Нежорданова область, совпадающая с ядром своего замыкания [177]
  15. Ограниченная плоская область, граница которой имеет положительную меру [177]
  16. Простая дуга бесконечной длины [178]
  17. Простая дуга бесконечной длины, имеющая касательную в каждой точке [178]
  18. Простая дуга, такая, что ее длина между любой парой точек бесконечна [179]
  19. Гладкая кривая С, содержащая точку Р, которая не является ближайшей точкой этой кривой ни для какой точки выпуклой области, ограниченной этой кривой [179]
  20. Подмножество А единичного квадрата S = [0, 1]X[0, 1], плотное в S и такое, что всякая вертикальная или горизонтальная прямая, пересекающая S, имеет с А лишь одну общую точку [180]
  21. Неизмеримое плоское множество, имеющее с каждой прямой не более двух общих точек [181]
  22. Неотрицательная функция f(x, у), такая, что (формула), а интеграл (формула), где S = [0,1 ] x [0,1 ], не существует [184]
  23. Действительнозначная функция одного действительного переменного, график которой является неизмеримым плоским множеством [184]
  24. Связное .множество, которое становится вполне несвязным при удалении одной точки [185]
Глава 11. Площадь [187]
Введение [187]
  1. Ограниченное плоское множество, не имеющее площади [188]
  2. Компактное плоское множество, не имеющее площади [189]
  3. Ограниченная плоская область, не имеющая площади [189]
  4. Ограниченная плоская жорданова область, не имеющая площади [189]
  5. Простая замкнутая кривая, плоская мера которой больше плоской меры области, ограниченной этой кривой [189]
  6. Две функции (?) и (?), заданные на [О, 1] и такие: (a) что (формула) для (?); (Ь) (формула) существует и равен 1; (с) (формула) не имеет площади [190]
  7. Пример Шварца, в котором боковой поверхности прямого кругового цилиндра сопоставляется сколь угодно большая конечная или даже бесконечная площадь [191]
  8. Для любых двух положительных чисел (?) и М в трехмерном пространстве существует поверхность S, такая, что: (a) S гомеоморфна поверхности сферы; (b) площадь поверхности S существует и меньше (?); (c) мера Лебега в трехмерном пространстве поверхности S существует и больше М [193]
  9. Плоское множество сколь угодно малой плоской меры, внутри которого направление отрезка единичной длины можно поменять на обратное непрерывным движением [194]
Глава 12. Метрические и топологические пространства [195]
Введение [195]
  1. Убывающая последовательность непустых замкнутых ограниченных множеств с пустым пересечением [200]
  2. Неполное метрическое пространство с дискретной топологией [200]
  3. Убывающая последовательность непустых замкнутых шаров с пустым пересечением в полном метрическом пространстве [201]
  4. Открытый шар (?) и замкнутый шар (?) с общим центром и равными радиусами, такие, что (?) [201]
  5. Замкнутые шары (?) и (?) с радиусами (?) и (?) соответственно, такие, что (?), a (?) [202]
  6. Топологическое пространство X и его подмножество Y, такие, что множество предельных точек Y не замкнуто [202]
  7. Топологическое пространство, в котором предел последовательности не единствен [202]
  8. Сепарабельное пространство, обладающее несепарабельным подпространством [203]
  9. Сепарабельное пространство, не удовлетворяющее второй аксиоме счетности [203]
  10. Множество с различными топологиями, имеющими одни и те же сходящиеся последовательности [204]
  11. Пример топологического пространства (?), множества (?) и предельной точки этого множества, не являющейся пределом никакой последовательности точек из (?) [207]
  12. Неметризуемое топологическое пространство X с функциями в качестве точек и топологией, соответствующей поточечной сходимости [210]
  13. Непрерывное отображение одного топологического пространства на другое, не являющееся ни открытым, ни замкнутым [211]
  14. Отображение одного топологического пространства на другое, являющееся одновременно открытым и замкнутым, но не являющееся непрерывным [211]
  15. Замкнутое отображение одного топологического пространства на другое, не являющееся ни непрерывным, ни открытым [211]
  16. Отображение одного топологического пространства на другое, являющееся непрерывным и открытым, но не являющееся замкнутым [212]
  17. Открытое отображение одного топологического пространства на другое, не являющееся ни непрерывным, ни замкнутым [212]
  18. Непрерывное замкнутое отображение одного топологического пространства на другое, не являющееся открытым [213]
  19. Топологическое пространство X и его подпространство Y, содержащее два непересекающихся открытых множества, которые не являются пересечением подпространства Y с непересекающимися открытыми множествами пространства X [213]
  20. Два негомеоморфных топологических пространства, каждое из которых является непрерывным взаимно однозначным образом другого [214]
  21. Разбиение трехмерного евклидова шара (?) на пять непересекающихся подмножеств (?), (?), (?), (?), (?) (при этом (?) состоит из единственной точки), таких, что при жестких движениях (?), (?), (?), (?), (?) справедливы следующие соотношения:(формула) [215]
  22. Для любых двух евклидовых шаров (?) и (?), радиусы которых суть произвольно заданные числа (?) и (?), всегда существует разбиение шара (?) на конечное число непересекающихся подмножеств (?), (?), . . . , (?), таких, что при жестких движениях (?), (?), . . . , (?) справедливо равенство [215]
Глава 13. Функциональные пространства [216]
Введение [216]
  1. Две монотонные функции, сумма которых не монотонна [219]
  2. Две периодические функции, сумма которых не имеет периода [219]
  3. Две полунепрерывные функции, сумма которых не является полунепрерывной [220]
  4. Две функции, квадраты которых интегрируемы по Риману, но квадрат их суммы не интегрируем по Риману [222]
  5. Две функции, квадраты которых интегрируемы по Лебегу, но квадрат их суммы не интегрируем по Лебегу [222]
  6. Линейное функциональное пространство, не являющееся ни алгеброй, ни структурой [223]
  7. Линейное функциональное пространство, являющееся алгеброй, но не являющееся структурой [223]
  8. Линейное функциональное пространство, являющееся структурой, но не являющееся алгеброй [223]
  9. Две метрики в пространстве С([0, 1]) функций, непрерывных на [О, 1], такие, что дополнение единичного шара в одной из метрик всюду плотно в единичном шаре другой метрики [224]
Библиография [226]
Указатель обозначений [230]
Указатель [234]
Формат: djvu
Размер:4269600 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 1342 Рейтинг
Открыть: