Основы современного анализа

Автор(ы):Дьедонне Ж.
06.10.2007
Год изд.:1964
Описание: Автор этой книги - Жан Дьедонне - выдающийся французский аналитик, один из вдохновителей и активных членов известной группы Бурбаки. Характерной чертой книги является строгий аксиоматический подход и систематическое использование понятия векторного пространства. Автор умышленно не пользуется чертежами, однако, его изложение в высшей степени геометрично. В книге со вкусом подобраны разнообразные и интересные задачи. Для студентов старших курсов, аспирантов и лицам, желающим углубить свои познания в современном математическом анализе.
Оглавление:
Основы современного анализа — обложка книги.
Предисловие [5]
Обозначения [8]
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [13]
  1. Элементы и множества.
  2. Булевская алгебра.
  3. Произведение двух множеств.
  4. Отображения.
  5. Образы и прообразы.
  6. Сюръективные, инъсктивные и биективные отображения.
  7. Композиция отображений.
  8. Семейства элементов. Объединение и пересечение семейств множеств.
  9. Счетные множества.
Глава 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [28]
  1. Аксиомы действительных чисел.
  2. Порядковые свойства действительных чисел.
  3. Верхняя и нижняя грани.
Глава 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [40]
  1. Расстояния и метрические пространства.
  2. Примеры расстояний.
  3. Изометрия.
  4. Шары, сферы, диаметр.
  5. Открытые множества.
  6. Окрестности.
  7. Внутренность множества.
  8. Замкнутые множества, точки прикосновения, замыкание множества.
  9. Плотные подмножества; сепарабельные пространства.
  10. Подпространства метрического пространства.
  11. Непрерывные отображения.
  12. Гомеоморфизмы! Эквивалентные расстояния.
  13. Пределы.
  14. Последовательности Коши. Полные пространства.
  15. Элементарные теоремы о продолжении.
  16. Компактные пространства.
  17. Компактные множества.
  18. Локально компактные пространства.
  19. Связные пространства и связные множества.
  20. Произведение двух метрических пространств.
Глава 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ [94]
  1. Непрерывность алгебраических операций.
  2. Монотонные функции.
  3. Логарифмы и показательная функция.
  4. Комплексные числа.
  5. Теорема Титце — Урысона о продолжении.
Глава 5. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [108]
  1. Нормированные пространства и банаховы пространства.
  2. Ряды в нормированном пространстве.
  3. Абсолютно сходящиеся ряды.
  4. Подпространства и конечные произведения нормированных пространств.
  5. Критерий непрерывности полилинейного отображения.
  6. Эквивалентные нормы.
  7. Пространства непрерывных полилинейных отображений.
  8. Замкнутые гиперплоскости и непрерывные линейные формы.
  9. Конечномерные нормированные пространства.
  10. Сепарабельные нормированные пространства.
Глава 6. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА [136]
  1. Эрмитовы формы.
  2. Положительные эрмитовы формы.
  3. Ортогональная проекция на полное подпространство.
  4. Гильбертова сумма гильбертовых пространств.
  5. Ортонормальные системы.
  6. Ортонормализация.
Глава 7. ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ [152]
  1. Пространства ограниченных функций.
  2. Пространства ограниченных непрерывных функций.
  3. Теорема Стоуна — Вейерштрасса об аппроксимации.
  4. Приложения.
  5. Равностепенно непрерывные множества.
  6. Простые функции.
Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [170]
  1. Производная непрерывного отображения.
  2. Формальные правила дифференцирования.
  3. Производные в пространствах непрерывных линейных функций.
  4. Производные функций одной переменной.
  5. Теорема о среднем значении.
  6. Приложения теоремы о среднем значении.
  7. Первообразные и интегралы.
  8. Приложение: число e.
  9. Частные производные.
  10. Якобианы.
  11. Производная интеграла, зависящего от параметра.
  12. Производные высшего порядка.
  13. Дифференциальные операторы.
  14. Формула Тейлора.
Глава 9. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [225]
  1. Степенные ряды.
  2. Подстановка степенных рядов в степенной ряд.
  3. Аналитические функции.
  4. Принцип аналитического продолжения.
  5. Примеры аналитических функций; показательная функция. Число (?).
  6. Интегрирование вдоль пути.
  7. Первообразная аналитической функции в односвязной области.
  8. Индекс точки относительно контура.
  9. Формула Коши.
  10. Критерий аналитичности функций комплексных переменных.
  11. Теорема Лиувилля.
  12. Сходящиеся последовательности аналитических функций.
  13. Равностепенно непрерывные множества аналитических функций.
  14. Ряд Лорана.
  15. Изолированные особые точки; полюсы; нули; вычеты.
  16. Теорема о вычетах.
  17. Мероморфные функции.
Добавление к главе 9. ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ К ТОПОЛОГИИ ПЛОСКОСТИ [289]
  1. Индекс точки относительно петли.
  2. Существенные отображения в единичную окружность.
  3. Разрезы плоскости.
  4. Простые дуги и простые замкнутые кривые.
Глава 10. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ [304]
  1. Метод последовательных приближений.
  2. Неявные функции.
  3. Теорема о ранге.
  4. Дифференциальные уравнения.
  5. Сравнение решений дифференциальных уравнений.
  6. Линейные дифференциальные уравнения.
  7. Зависимость решения от параметрбв.
  8. Зависимость решения от начальных условий.
  9. Теорема Фробениуса.
Глава 11. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ [361]
  1. Спектр непрерывного оператора.
  2. Вполне непрерывные операторы.
  3. Теория Ф. Рисса.
  4. Спектр вполне непрерывного оператора.
  5. Вполне непрерывные операторы в гильбертовых пространствах.
  6. Интегральное уравнение Фредгольма.
  7. Задача Штурма-Лиувилля.
Литература [415]
Предметный указатель [417]
Формат: djvu
Размер:17023598 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 314 Рейтинг
Открыть: