Дифференциальные уравнения в примерах и задачах Т. 5

Автор(ы):Боярчук А. К., Головач Г. П.
06.10.2007
Год изд.:2001
Описание: Справочное пособие по высшей математике выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики - математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функции комплексной переменой. Том 5 охватывает все разделы учебных программ по дифференциальным уравнениям для университетов и технических вузов с углубленным изучением математики. Для студентов, преподавателей, работников физико-математических, экономических специальностей, лиц самостоятельно изучающих высшую математику ( :) ) и др.
Оглавление:
Дифференциальные уравнения в примерах и задачах Т. 5 — обложка книги.
Предисловие [3]
Введение [4]
  Основные понятия. Составление дифференциальных уравнений [4]
    Основные определения (4) Задача Коши (4) Построение дифференциального уравнения по заданному семейству кривых (5) Примеры (5)
Упражнения для самостоятельной работы [10]
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка [11]
  § 1. Уравнения с разделяющимися переменными [11]
    Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (11) Разделение переменных линейной заменой аргумента (11) Примеры (11)
  § 2. Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными [15]
    Использование геометрического смысла производной (15) Использование физического смысла производной (15) Примеры (15)
  § 3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним [29]
    Однородное уравнение (29) Уравнение, сводимое к однородному (30) Обобщенно-однородное уравнение (30) Примеры (30)
  § 4. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним [39]
    Линейное уравнение первого порядка (39) Обмен ролями между функцией и аргументом (39) Уравнения, приводимые к линейным (39) Уравнение Миндинга — Дарбу (40) Примеры (40)
  § 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель [53]
    Уравнение в полных дифференциалах (53) Интегрирующий множитель (53) Дифференциальное уравнение для интегрирующего множителя (54) Примеры (54)
  § 6. Уравнение Эйлера — Риккати [67]
    Уравнение Эйлера — Риккати. Специальное уравнение Риккати (67) Каноническое уравнение Эйлера — Риккати (67) Примеры (67)
  § 7. Уравнения, не разрешенные относительно производной [73]
    Уравнение, не разрешенное относительно производной (73) Общий интеграл уравнения (формула) (73) Представление решения в параметрической форме. Разрешение неполных уравнений (73) Примеры (74)
  § 8. Существование и единственность решения [82]
    Теоремы Пикара, Пеано и Осгуда (82) Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения, не разрешенного относительно производной (82) Продолжение решения задачи Коши (82) Существование и единственность решения векторной задачи Коши (83) Примеры (83)
  § 9. Особые решения [99]
    Особое решение. Дискриминантная кривая (99) Огибающая как особое решение (100) Примеры (100)
  § 10. Задачи на траектории [106]
    Изогональные и ортогональные траектории (106) Эволюта и эвольвента (106) Примеры (107)
Упражнения для самостоятельной работы [112]
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков [114]
  § 1. Виды интегрируемых нелинейных уравнений [114]
    Дифференциальное уравнение вида (уравнение) = 0 (114) Дифференциальное уравнение вида (уравнение) = 0 (114) Дифференциальное уравнение вида (уравнение) = О (114) Примеры (115)
  § 2. Уравнения, допускающие понижение порядка [122]
    Дифференциальное уравнение вида (уравнение) = 0 (122) Дифференциальное уравнение вида (уравнение) = 0 (122) Однородное дифференциальное уравнение вида (уравнение) = О (122) Обобщенное однородное дифференциальное уравнение вида (уравнение) = 0 (122) Уравнение, приводимое к виду (уравнение) (123) Примеры (123)
  § 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами [135]
    Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение (135) Поиск частного решения линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов (136) Метод вариации произвольных постоянных (136) Метод Коши нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (137) Примеры (137)
  § 4. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами [150]
    Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами. Линейно зависимые функции. Определитель Вронского (150) Критерий линейной независимости функций (151) Фундаментальная система решений (151) Формула Остроградского — Лиувилля (151) Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами (151) Уравнение Эйлера. Уравнение Чебышева (152) Дифференциальные уравнения второго порядка (152) Связь между линейным дифференциальным уравнением второго порядка и уравнением Эйлера — Риккати (152) Сведение линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами (153) Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений второго порядка (153) Примеры (153)
  § 5. Краевые задачи [169]
    Определение краевой задачи (169) Функция Грина краевой задачи (170) Задача Штурма — Лиувилля (170) Условие эквивалентности краевой задачи интегральному уравнению (170) Примеры (170)
Упражнения для самостоятельной работы [180]
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений [182]
  § 1. Линейные системы [182]
    Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Фундаментальная матрица уравнения. Определитель Вронского (182) Метод вариации произвольного вектора (183) Матрицант (183) Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера (184) Примеры (184)
  § 2. Нелинейные системы [200]
    Нормальные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения (200) Подбор интегрируемых комбинаций (201) Примеры (201)
Упражнения для самостоятельной работы [211]
Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядка [212]
  § 1. Линейные и квазилинейные уравнения [212]
    Основные понятия (212) Решение квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка (212) Задача Коши (272) Уравнение Пфаффа (213) Примеры (213)
  § 2. Нелинейные уравнения первого порядка [228]
    Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка (228) Решение задачи о нахождении интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую (228) Метод Коши (229) Обобщение метода Коши (229) Примеры (229)
Упражнения для самостоятельной работы [239]
Глава 5. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений [240]
  § 1. Зависимость решения от начальных условий и параметров [240]
    Об оценке погрешности приближенного решения (240) Об отыскании производных от решений по параметру (240) Примеры (241)
  § 2. Аналитические приближенные методы [246]
    Метод степенных рядов (246) Метод малого параметра (247) Примеры (247)
  § 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений [266]
    Метод Эйлера k-го порядка (266) Метод Рунге — Кутта 4-го порядка (267) Метод Штермера (267) Примеры (267)
Упражнения для самостоятельной работы [273]
Глава 6. Устойчивость и фазовые траектории [274]
  § 1. Устойчивость [274]
    Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость (274) Исследование на устойчивость по первому приближению: первая теорема Ляпунова (274) Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова: вторая теорема Ляпунова (275) Условия отрицательности всех действительных частей корней уравнения (уравнения), с действительными коэффициентами (275) Примеры (276)
  § 2. Особые точки [292]
    Определение особых точек и их классификация (292) Практические приемы исследования особых точек (293) Примеры (294)
  § 3. Фазовая плоскость [305]
    Основные понятия (305) Построение фазового портрета (305) Предельные циклы (306) Признаки отсутствия предельных циклов (306) Признаки наличия предельных циклов (306) Примеры (307)
Упражнения для самостоятельной работы [322]
Глава 7. Метод интегральных преобразований Лапласа решения линейных дифференциальных уравнений [323]
  § 1. Преобразование Лапласа. Основные понятия и свойства [323]
    Оригинал и изображение (323) Свойства преобразования Лапласа (324) Примеры (325)
  § 2. Свертка функций. Теоремы разложения [336]
    Определение свертки (336) Теорема умножения (Э. Бореля) (336) Обобщенная теорема умножения (А. М. Эфроса) (336) Формулы Дюамеля (337) Примеры (337)
  § 3. Обратное преобразование Лапласа [339]
    Формула обращения Римана — Меллина (339) Сведения из теории функций комплексного переменного (340) Теоремы разложения (341) Примеры (342)
  § 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы [346]
    Интегрирование уравнений с постоянными коэффициентами (346) Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (347) Решение уравнений с нулевыми начальными условиями при помощи интеграла Дюамеля (347) Примеры (347)
  § 5. Интегральные уравнения типа свертки. Особые уравнения [357]
    Интегральные уравнения типа свертки (357) Интегральные уравнения второго рода (358) Интегральные уравнения первого рода (359) Особые интегральные уравнения. Интегральное уравнение Абеля (359) Примеры (360)
  § 6. Применение операционного исчисления к решению уравнений с частными производными [366]
    Примеры (367)
Упражнения для самостоятельной работы [370]
Ответы [372]
Предметный указатель [377]
Формат: djvu
Размер:8354744 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 301 Рейтинг
Открыть: