Функции комплексного переменного: теория и практика Т. 4

Автор(ы):	Боярчук А. К. 06.10.2007
Год изд.:	2001
Описание:	«Том ... является логическим продолжением трех предыдущих ориентированных на практику томов и содержит более четырехсот подробно решенных задач, но при этом отличается более детальным изложением теоретических вопросов и может служить самостоятельным замкнутым курсом теории функций комплексного переменного. Помимо вопросов, обычно включаемых в курсы такого рода, в книге излагается ряд нестандартных — таких, как интеграл Ньютона—Лейбница и производная Ферма—Лагранжа.»
Оглавление:	Обложка книги. Предисловие [3] Глава 1. Основные структуры математического анализа [4] § 1. Элементы теории множеств и отображений Некоторые логические символы (4) Обозначения, используемые в теории множеств (5) Натуральные числа. Метод математической индукции (5) Простейшие операции над множествами (6) Упорядоченная пара и декартово произведение множеств (7) Бинарные отношения. Проекции и сечения бинарного отношения. Обратное бинарное отношение (7) Функциональное бинарное отношение. Функция и простейшие понятия, связанные с нею (8) Обратная функция. Композиция отображений (9) Параметрическое и неявное отображения (9) Изоморфизм (10) § 2. Математические структуры [10] Группа (10) Кольцо (10) Тело (10) Поле (11) Векторное пространство над полем К. Нормированное пространство (11) § 3. Метрические пространства [12] Аксиомы метрики. Предел последовательности точек метрического пространства (12) Шары, сферы, диаметр множества (13) Открытые множества (14) Внутренность множества (15) Замкнутые множества, точки прикосновения, замыкание множества (16) § 4. Компактные множества [18] § 5. Связные пространства и связные множества [70] § 6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического пространства в другое [20] Предел и непрерывность отображения (20) Непрерывность композиции отображений (21) Непрерывность обратного отображения (22) Предел и непрерывность отображения в смысле Коши. Некоторые свойства непрерывных отображений (22) Равномерно непрерывные отображения (24) Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния (25) Глава 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного [26] § 1. Комплексные числа и комплексная плоскость [76] Определение комплексного числа (26) Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы его записи. Умножение и деление комплексных чисел. Операция извлечения корня из комплексного числа (28) Стереографическая проекция и ее свойства (29) Примеры (31) § 2. Топология комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте [43] Топология комплексной плоскости (43) Замкнутые множества, отрезок и ломаная. Связные множества (45) Последовательность комплексных чисел и ее предел (45) Свойства компакта К а С (47) Предел и непрерывность функции комплексного переменного (48) Арифметические операции над пределами и непрерывными функциями (49) Предел и непрерывность композиции функций (49) Свойства функций, непрерывных на компакте (50) § 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области [50] Примеры (53) § 4. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Связь между (?)-дифференцируемостью и (?)-дифференцируемостью. Аналитические функции [63] Определение дифференцируемой функции. Правила дифференцирования (63) Дифференциал функции (66) Критерий дифференцируемое™ функции комплексного переменного (67) Аналитические функции (68) Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения (70) Плоские физические поля и их связь с аналитическими функциями (71) Неравенство Лагранжа (73) Примеры (73) Упражнения для самостоятельной работы [79] Глава 3. Элементарные функции в комплексной плоскости [83] § 1. Дробно-линейные функции и их свойства [83] Определение дробно-линейной функции. Конформность отображения (83) Геометрические свойства дробно-линейных отображений (84) Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы (86) Примеры (88) § 2. Степенная функция (формула) (?, ?). Многозначная функция (формула) и ее поверхность Римана [41] Степенная функция (91) Многозначная функция (фомула) и ее поверхность Римана (92) Примеры (93) § 3. Показательная функция (формула) и многозначная функция (фомула) [94] Показательная функция (фомула) (94) Многозначная функция (фомула) (96) Примеры (96) § 4. Общая степенная и общая показательная функции [97] Общая степенная функция (97) Общая показательная функция (98) § 5. Функция Жуковского [99] Определение функции Жуковского. Конформность (99) Примеры (100) § 6. Тригонометрические и гиперболические функции [101] Примеры (105) Упражнения для самостоятельной работы [145] Глава 4. Интегрирование в комплексной плоскости. Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши [149] § 1. Интеграл Ньютона — Лейбница [149] Первообразная (149) Интеграл Ньютона — Лейбница (150) Линейность интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям (757) § 2. Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков [153] Определение n-производной и n-интеграла (153) Формула Ньютона — Лейбница. Производные по пределам интегрирования (154) Формула Тейлора(156) § 3. Производная Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано [156] Производная Ферма — Лагранжа (156) Теорема Тейлора — Пеано и ее обращение (157) § 4. Криволинейные интегралы [159] Интегрирование функций по ориентированной гладкой кривой (759) Гомотопия двух кривых (путей) (161) § 5. Теорема и интеграл Коши [162] Существование локальной первообразной аналитической функции (162) Первообразная вдоль кривой (вдоль пути) (165) Теорема Коши (166) Интегральная формула Коши (172) Примеры (173) § 6. Интеграл типа Коши [175] Определение и основное свойство интеграла типа Коши (775) Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части (177) Теоремы Лиувилля и Морера (178) Главное значение и предельные значения интеграла типа Коши (179) Формулы Шварца и Пуассона (181) Примеры (184) Упражнения для самостоятельной работы [195] Глава 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки [197] § 1. Ряд Тейлора 197 Общие сведения о рядах (197) Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость (198) Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда (199) Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов (201) Функциональные свойства равномерной суммы функционального ряда (203) Степенные ряды (206) Теорема Тейлора (208) Теорема единственности (210) Примеры (212) § 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций [219] Теорема Лорана (219) Классификация изолированных особых точек в С (227) Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке (222) Бесконечная изолированная особая точка (224) Примеры (225) Упражнения для самостоятельной работы [229] Глава 6. Аналитическое продолжение [231] § 1. Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути [232] Свойство единственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения (232) Аналитическое продолжение вдоль пути (234) Инвариантность аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути (235) § 2. Полные аналитические функции [237] Понятие полной аналитической функции (237) Примеры полных аналитических функций (238) Особые точки полной аналитической функции (239) Существование особой точки на границе круга сходимости степенного ряда (240) § 3. Принципы аналитического продолжения [240] Примеры (241) Упражнения для самостоятельной работы [243] Глава 7. Вычеты и их применения [245] § 1. Определение вычета. Основная теорема [245] Вычет относительно изолированной конечной точки (245) Вычет относительно бесконечности (246) Теорема о вычетах (247) Примеры (248) § 2. Целые и мероморфные функции [257] Целые функции (257) Мероморфные функции. Теорема Миттаг-Леффлера (257) Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (259) Примеры (262) § 3. Бесконечные произведения [264] Числовые бесконечные произведения (265) Равномерно сходящиеся бесконечные произведения (267) Представление целой функции в виде бесконечного произведения (267) Разложение sinz в бесконечное произведение (269) Род и порядок целой функции (270) Мероморфная функция как отношение двух целых функций (270) Примеры (271) § 4. Применение вычетов для вычисления интегралов и сумм рядов [274] Применение вычетов для вычисления определенных интегралов (274) Применение вычетов к вычислению сумм рядов (278) Примеры (279) Упражнения для самостоятельной работы [291] Глава 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций [295] § 1. Принцип аргумента. Теорема Руше [295] Вычисление интеграла (формула) (295) Теорема о логарифмическом вычете (296) Принцип аргумента (296) Теорема Руше (297) Примеры (298) § 2. Сохранение области и локальное обращение аналитической функции [300] Принцип сохранения области (300) Локальное обращение аналитических функций (301) Примеры (303) § 3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции [304] Принцип максимума модуля аналитической функции (304) Лемма Шварца (305) Примеры (305) § 4. Принцип компактности. Функционалы на семействе аналитических функций [308] Равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные семейства функций (308) Принцип компактности (309) Функционалы, определенные на множествах функций (310) Теорема Гурвица (311) § 5. Существование и единственность конформного отображения [312] Конформные изоморфизмы и автоморфизмы (312) Примеры автоморфизмов (312) Существование и единственность изоморфизмов областей, изоморфных единичному кругу (313) Теорема существования (314) § 6. Соответствие границ и принцип симметрии при конформном отображении [315] Теорема о соответствии границ (315) Принцип симметрии (316) Примеры (317) § 7. Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца [318] Отображение верхней полуплоскости на многоугольник (318) Случай многоугольника, имеющего вершины в бесконечности (322) Отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника (322) Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник (323) Эллиптический синус и его двоякая периодичность (324) Отображение единичного круга на многоугольник (326) Примеры (328) Упражнения для самостоятельной работы [332] Ответы [334] Литература [338] Предметный указатель [339]
Формат:	djvu
Размер:	8964893 байт
Язык:	RUS
Рейтинг:	27


Открыть:	Ссылка (RU)