Функции комплексного переменного: теория и практика Т. 4

Автор(ы):Боярчук А. К.
06.10.2007
Год изд.:2001
Описание: Справочное пособие по высшей математике выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики - математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функции комплексной переменой. Том 4 является логическим продолжением трех предыдущих и содержит более четырехсот подробно решенных задач! Помимо вопросов, обычно включаемых в курсы такого рода, в книге излагается ряд нестандартных - таких как интеграл Ньютона-Лейбница и производная Ферма-Лагранжа. Для студентов, преподавателей, работников физико-математических, экономических специальностей, лиц самостоятельно изучающих высшую математику ( :) ) и др.
Оглавление:
Функции комплексного переменного: теория и практика Т. 4 — обложка книги.
Предисловие [3]
Глава 1. Основные структуры математического анализа [4]
  § 1. Элементы теории множеств и отображений
    Некоторые логические символы (4) Обозначения, используемые в теории множеств (5) Натуральные числа. Метод математической индукции (5) Простейшие операции над множествами (6) Упорядоченная пара и декартово произведение множеств (7) Бинарные отношения. Проекции и сечения бинарного отношения. Обратное бинарное отношение (7) Функциональное бинарное отношение. Функция и простейшие понятия, связанные с нею (8) Обратная функция. Композиция отображений (9) Параметрическое и неявное отображения (9) Изоморфизм (10)
  § 2. Математические структуры [10]
    Группа (10) Кольцо (10) Тело (10) Поле (11) Векторное пространство над полем К. Нормированное пространство (11)
  § 3. Метрические пространства [12]
    Аксиомы метрики. Предел последовательности точек метрического пространства (12) Шары, сферы, диаметр множества (13) Открытые множества (14) Внутренность множества (15) Замкнутые множества, точки прикосновения, замыкание множества (16)
  § 4. Компактные множества [18]
  § 5. Связные пространства и связные множества [70]
  § 6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического пространства в другое [20]
    Предел и непрерывность отображения (20) Непрерывность композиции отображений (21) Непрерывность обратного отображения (22) Предел и непрерывность отображения в смысле Коши. Некоторые свойства непрерывных отображений (22) Равномерно непрерывные отображения (24) Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния (25)
Глава 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного [26]
  § 1. Комплексные числа и комплексная плоскость [76]
    Определение комплексного числа (26) Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы его записи. Умножение и деление комплексных чисел. Операция извлечения корня из комплексного числа (28) Стереографическая проекция и ее свойства (29) Примеры (31)
  § 2. Топология комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте [43]
    Топология комплексной плоскости (43) Замкнутые множества, отрезок и ломаная. Связные множества (45) Последовательность комплексных чисел и ее предел (45) Свойства компакта К а С (47) Предел и непрерывность функции комплексного переменного (48) Арифметические операции над пределами и непрерывными функциями (49) Предел и непрерывность композиции функций (49) Свойства функций, непрерывных на компакте (50)
  § 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области [50]
    Примеры (53)
  § 4. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Связь между (?)-дифференцируемостью и (?)-дифференцируемостью. Аналитические функции [63]
    Определение дифференцируемой функции. Правила дифференцирования (63) Дифференциал функции (66) Критерий дифференцируемое™ функции комплексного переменного (67) Аналитические функции (68) Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения (70) Плоские физические поля и их связь с аналитическими функциями (71) Неравенство Лагранжа (73) Примеры (73)
Упражнения для самостоятельной работы [79]
Глава 3. Элементарные функции в комплексной плоскости [83]
  § 1. Дробно-линейные функции и их свойства [83]
    Определение дробно-линейной функции. Конформность отображения (83) Геометрические свойства дробно-линейных отображений (84) Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы (86) Примеры (88)
  § 2. Степенная функция (формула) (?, ?). Многозначная функция (формула) и ее поверхность Римана [41]
    Степенная функция (91) Многозначная функция (фомула) и ее поверхность Римана (92) Примеры (93)
  § 3. Показательная функция (формула) и многозначная функция (фомула) [94]
    Показательная функция (фомула) (94) Многозначная функция (фомула) (96) Примеры (96)
  § 4. Общая степенная и общая показательная функции [97]
    Общая степенная функция (97) Общая показательная функция (98)
  § 5. Функция Жуковского [99]
    Определение функции Жуковского. Конформность (99) Примеры (100)
  § 6. Тригонометрические и гиперболические функции [101]
    Примеры (105)
Упражнения для самостоятельной работы [145]
Глава 4. Интегрирование в комплексной плоскости. Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши [149]
  § 1. Интеграл Ньютона — Лейбница [149]
    Первообразная (149) Интеграл Ньютона — Лейбница (150) Линейность интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям (757)
  § 2. Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков [153]
    Определение n-производной и n-интеграла (153) Формула Ньютона — Лейбница. Производные по пределам интегрирования (154) Формула Тейлора(156)
  § 3. Производная Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано [156]
    Производная Ферма — Лагранжа (156) Теорема Тейлора — Пеано и ее обращение (157)
  § 4. Криволинейные интегралы [159]
    Интегрирование функций по ориентированной гладкой кривой (759) Гомотопия двух кривых (путей) (161)
  § 5. Теорема и интеграл Коши [162]
    Существование локальной первообразной аналитической функции (162) Первообразная вдоль кривой (вдоль пути) (165) Теорема Коши (166) Интегральная формула Коши (172) Примеры (173)
  § 6. Интеграл типа Коши [175]
    Определение и основное свойство интеграла типа Коши (775) Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части (177) Теоремы Лиувилля и Морера (178) Главное значение и предельные значения интеграла типа Коши (179) Формулы Шварца и Пуассона (181) Примеры (184)
Упражнения для самостоятельной работы [195]
Глава 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки [197]
  § 1. Ряд Тейлора 197
    Общие сведения о рядах (197) Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость (198) Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда (199) Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов (201) Функциональные свойства равномерной суммы функционального ряда (203) Степенные ряды (206) Теорема Тейлора (208) Теорема единственности (210) Примеры (212)
  § 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций [219]
    Теорема Лорана (219) Классификация изолированных особых точек в С (227) Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке (222) Бесконечная изолированная особая точка (224) Примеры (225)
Упражнения для самостоятельной работы [229]
Глава 6. Аналитическое продолжение [231]
  § 1. Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути [232]
    Свойство единственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения (232) Аналитическое продолжение вдоль пути (234) Инвариантность аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути (235)
  § 2. Полные аналитические функции [237]
    Понятие полной аналитической функции (237) Примеры полных аналитических функций (238) Особые точки полной аналитической функции (239) Существование особой точки на границе круга сходимости степенного ряда (240)
  § 3. Принципы аналитического продолжения [240]
    Примеры (241)
Упражнения для самостоятельной работы [243]
Глава 7. Вычеты и их применения [245]
  § 1. Определение вычета. Основная теорема [245]
    Вычет относительно изолированной конечной точки (245) Вычет относительно бесконечности (246) Теорема о вычетах (247) Примеры (248)
  § 2. Целые и мероморфные функции [257]
    Целые функции (257) Мероморфные функции. Теорема Миттаг-Леффлера (257) Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (259) Примеры (262)
  § 3. Бесконечные произведения [264]
    Числовые бесконечные произведения (265) Равномерно сходящиеся бесконечные произведения (267) Представление целой функции в виде бесконечного произведения (267) Разложение sinz в бесконечное произведение (269) Род и порядок целой функции (270) Мероморфная функция как отношение двух целых функций (270) Примеры (271)
  § 4. Применение вычетов для вычисления интегралов и сумм рядов [274]
    Применение вычетов для вычисления определенных интегралов (274) Применение вычетов к вычислению сумм рядов (278) Примеры (279)
Упражнения для самостоятельной работы [291]
Глава 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций [295]
  § 1. Принцип аргумента. Теорема Руше [295]
    Вычисление интеграла (формула) (295) Теорема о логарифмическом вычете (296) Принцип аргумента (296) Теорема Руше (297) Примеры (298)
  § 2. Сохранение области и локальное обращение аналитической функции [300]
    Принцип сохранения области (300) Локальное обращение аналитических функций (301) Примеры (303)
  § 3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции [304]
    Принцип максимума модуля аналитической функции (304) Лемма Шварца (305) Примеры (305)
  § 4. Принцип компактности. Функционалы на семействе аналитических функций [308]
    Равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные семейства функций (308) Принцип компактности (309) Функционалы, определенные на множествах функций (310) Теорема Гурвица (311)
  § 5. Существование и единственность конформного отображения [312]
    Конформные изоморфизмы и автоморфизмы (312) Примеры автоморфизмов (312) Существование и единственность изоморфизмов областей, изоморфных единичному кругу (313) Теорема существования (314)
  § 6. Соответствие границ и принцип симметрии при конформном отображении [315]
    Теорема о соответствии границ (315) Принцип симметрии (316) Примеры (317)
  § 7. Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца [318]
    Отображение верхней полуплоскости на многоугольник (318) Случай многоугольника, имеющего вершины в бесконечности (322) Отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника (322) Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник (323) Эллиптический синус и его двоякая периодичность (324) Отображение единичного круга на многоугольник (326) Примеры (328)
Упражнения для самостоятельной работы [332]
Ответы [334]
Литература [338]
Предметный указатель [339]
Формат: djvu
Размер:8964893 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 190 Рейтинг
Открыть: