Теория бифуркаций

Автор(ы):Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С., Афраймович В. С. и др.
06.10.2007
Описание: "Обзор, представленный в книге, посвящен бифуркациям фазовых портретов дифференциальных уравнений - не только бифуркациям положения равновесия и предельных циклов, но и перестройкам системы в целом и, прежде всего, ее инвариантных множеств и аттракторов! Очень полный обзор с огромным количеством литературы!"
Оглавление:
Теория бифуркаций — обложка книги.
Предисловие [9]
Глава 1. Бифуркации положений равновесия [12]
  § 1. Семейства и деформации [13]
    1.1. Семейства векторных полей [13]
    1.2. Пространство струй [13]
    1.3. Лемма Сарда и теоремы трансверсальности [14]
    1.4. Простейшие приложения: особые точки типичных векторных полей [15]
    1.5. Топологически нереальные деформации [15]
    1.6. Теорема сведения [17]
    1.7. Типичные и главные семейства [18]
  § 2. Бифуркации особых точек в типичных однопараметрических семействах [20]
    2.1. Типичные ростки и главные семейства [20]
    2.2. Мягкая и жесткая потеря устойчивости [20]
  § 3. Бифуркации особых точек в многопараметрических семействах общего положения при однократном вырождении линейной части [23]
    3.1. Главные семейства [23]
    3.2. Бифуркационные диаграммы главных семейств (3±) [24]
    3.3. Бифуркационные диаграммы (относительно слабой эквивалентности) и фазовые портреты главных семейств (4±) [24]
  § 4. Бифуркации особых точек векторных полей с двукратным вырождением линейной части [26]
    4.1. Список вырождений [26]
    4.2. Два вулевых собственных значения [26]
    4.3. Редукции к двумерным системам [27]
    4.4. Нулевое и пара чисто мнимых собственных значений [28]
    4.5. Две чисто мнимых пары [31]
    4.6. Главные деформации уравнений трудного типа в задаче о двух мнимых парах (по Жолондеку) [35]
  § 5. Показатели мягкой и жесткой потери устойчивости [39]
    5.1. Определевия [39]
    5.2. Таблица показателей [40]
Глава 2. Бифуркации предельных циклов [42]
  § 1. Бифуркации предельных циклов в типичных однопараметрических семействах [43]
    1.1. Мультипликатор 1 [43]
    1.2. Мультипликатор —1 и бифуркация удвоения периода [45]
    1.3. Пара комплексно сопряженных мультипликаторов [46]
    1.4. Нелокальные бифуркации в однопараметрических семействах диффеоморфизмов [47]
    1.5. Нелокальные бифуркации периодических решений [49]
    1.6. Бифуркации распада инвариаитньйс торов [49]
  § 2. Бифуркации циклов в типичных двупараметрических семействах при однократном дополнительном вырождении [52]
    2.1. Перечень вырождений [52]
    2.2. Мультипликатор 1 или —1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах [53]
    2.3. Пара мультипликаторов на единичной окружности с дополнительным вырождением в нелинейных членах [53]
  § 3. Бифуркации циклов в типичных двупараметрических семействах при сильных резоиансах порядка (?) [55]
    3.1. Нормальная форма в случае унипотентиой жордаиовой клетки [56]
    3.2. Усреднение в слоениях Зейферта и Мёбиуса [57]
    3.3. Главные поля и деформации [57]
    3.4. Версальиость главных деформаций [58]
    3.5. Бифуркации стационарных решений периодических дифференциальных уравнений при сильных резонансах порядка (?) [58]
  § 4. Бифуркации предельных циклов при прохождении пары мультипликаторов через (?) [62]
    4.1. Вырожденные семейства [62]
    4.2. Вырожденные семейства, найденные аналитически [63]
    4.3. Вырожденные семейства, найденные численно [64]
    4.4. Бифуркации в невырожденных семействах [66]
    4.5. Предельвые циклы систем с симметрией четвертого порядка [66]
  § 5. Конечногладкие нормальные формы локальных семейств [66]
    5.1. Обзор результатов [67]
    5.2. Определения и примеры [67]
    5.3. Общие теоремы и деформации нерезоиансных ростков [69]
    5.4. Приведение к линейной нормальной форме [71]
    5.5. Деформации ростков диффеоморфизмов типа Пуанкаре [71]
    5.6. Деформации одиорезоиансиых гиперболических ростков [72]
    5.7. Деформации ростков, векторных полей с одним нулевым собственным значением в особой точке [74]
    5.8. Функциональные инварианты диффеоморфизмов прямой [75]
    5.9. Функциональные инварианты локальных семейств диффеоморфизмов [76]
    5.10. Функциональные -инварианты семейств векторных полей [77]
    5.11. Функциональные инварианты топологической классификации локальных семейств диффеоморфизмов прямой (по Руссари) [77]
  § 6. Универсальность Фейгенбаума для диффеоморфизмов и потоков [79]
    6.1. Каскад удвоений [79]
    6.2. Перестройки неподвижных точек [80]
    6.3. Каскад (?)-кратных увеличений периода [81]
    6.4. Удвоение в гамильтоновых системах [81]
    6.5. Оператор удвоения для одномерных 'отображений [82]
    6.6. Механизм универсального удвоения для диффеоморфизмов [84]
Глава 3. Нелокальные бифуркации [86]
  § 1. Вырождения коразмерности 1. Сводка результатов [87]
    1.1. Локальные и нелокальные бифуркации [87]
    1.2. Негиперболнческие особые точки [88]
    1.3. Негиперболические циклы [90]
    1.4. Нетрансверсальиые пересечения многообразий [91]
    1.5. Контуры [92]
    1.6. Бифуркационные поверхности [94]
    1.7. Характеристики бифуркаций [95]
    1.8. Сводка результатов [97]
  § 2. Нелокальные бифуркации потоков на двумерных поверхностях [97]
    2.1. Полулокальные бифуркации потоков на поверхностях [98]
    2.2. Нелокальные бифуркации на сфере; однопараметрический случай [99]
    2.3. Типичные семейства векторных полей [100]
    2.4. Условия типичности [102]
    2.5. Однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от сферы [102]
    2.6. Глобальные бифуркации систем, с глобальной секущей на торе [104]
    2.7. Некоторые глобальные бифуркации на бутылке Клейна [105]
    2.8. Бифуркации иа двумерной сфере. Многопараметрический случай [105]
    2.9. Некоторые открытые вопросы [110]
  § 3. Бифуркации гомоклинических траекторий негиперболической особой точки [111]
    3.1. Узел по гиперболическим переменным [111]
    3.2. Седло по гиперболическим переменным: одна гомоклиническая траектория [112]
    3.3. Топологическая схема Бернулли [112]
    3.4. Седло по гиперболическим переменным: несколько гомоклинических траекторий [113]
    3.5. Главные семейства [114]
  § 4. Бифуркации гомоклинических траекторий4 иегиперболического цикла [115]
    4.1. Структура семейства гомоклииических траекторий [115]
    4.2. Критические и некритические циклы [116]
    4.3. Рождение гладкого двумерного аттрактора [116]
    4.4. Рождение сложных инвариантных множеств (некритический случай) [117]
    4.5. Критический случай [118]
    4.6. Двухшаговый переход от устойчивости к турбулентности [121]
    4.7. Некомпактное множество гомоклинических траекторий [121]
    4.8. Перемежаемость [122]
    4.9. Достижимость, недостижимость [122]
    4.10. Устойчивость семейств диффеоморфизмов [124]
    4.11. Некоторые открытые вопросы [126]
  § 5. Гиперболические особые точки с гомоклинической траекторией [127]
    5.1. Предварительные понятия: ведущие направления и седловые величины [127]
    5.2. Бифуркации гомоклииических траекторий седла, происходящие на границе множества систем Морса — Смейла [127]
    5.3. Требования общности положения [128]
    5.4. Главные семейства в R3 и их свойства [129]
    5.5. Версальность главных семейств [132]
    5.6. Седло с комплексным ведущим направлением в R3 [133]
    5.7. Добавление: бифуркации гомоклииических петель вне 'границы множества систем Морса — Смейла [137]
  § 6. Бифуркации, связанные с иетрансверсальными пересечениями [138]
    6.1. Векторные поля без контуров и гомоклииических траекторий [138]
    6.2. Теорема о недостижимости [139]
    6.3. Модули [140]
    6.4. Системы с контурами [141]
    6.5. Диффеоморфизмы с нетривиальными базисными множествами [141]
    6.6. Векторные поля в R3 с гомоклииической траекторией цикла [142]
    6.7. Символическая динамика [143]
    6.8. Бифуркации «подков Смейла» [145]
    6.9. Векторные поля на бифуркационной поверхности [147]
    6.10. Диффеоморфизмы с бесконечным множеством устойчивых периодических траекторий [148]
  § 7. Бесконечные неблуждающие множества [149]
    7.1. Векторные поля на двумерном торе [149]
    7.2. Бифуркации систем с двумя гомоклииическими кривыми седла [150]
    7.3. Системы с аттракторами Фейгенбаума [151]
    7.4. Рождение неблуждающих множеств [152]
    7.5. Сохранение и гладкость инвариантных многообразий (по Фе-ничелю) [153]
    7.6. Вырожденное семейство и его окрестность в функциональном пространстве [154]
    7.7. Рождение торов в трехмерном фазовом пространстве [155]
  § 8. Аттракторы и их бифуркации [156]
    8.1. Вероятностно предельные множества (по Милнору) [157]
    8.2. Статистически предельные множества [157]
    8.3. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов [159]
    8.4. Внутренние бифуркации и кризисы положений равновесия и циклов [160]
    8.5. Бифуркации двумерного тора [161]
Глава 4. Релаксационные колебания [165]
  § 1. Основные понятия [166]
    1.1. Пример. Уравнение Ван дер Поля [166]
    1.2. Быстрые и медленные движения [167]
    1.3. Медленная поверхность и медленное уравнение [168]
    1.4. Медленное движение как аппроксимация возмущенного [169]
    1.5. Явление срыва [170]
  § 2. Особенности быстрого и медленного движений [171]
    2.1. Особенности быстрого движения в точках срыва систем с одной быстрой переменной [171]
    2.2. Особенности проектирования медленной поверхности [173]
    2.3. Медленное движение систем с одной медленной переменной [174]
    2.4. Медленное движение систем с двумя медленными переменными [175]
    2.5. Нормальные формы фазовых кривых медленного движения [176]
    2.6. Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной [179]
    2.7. Вырождение контактной структуры [181]
  § 3. Асимптотика релаксационных колебаний [183]
    3.1. Вырожденные системы [183]
    3.2. Системы первого приближения [184]
    3.3. Нормализация быстро-медленных уравнений с двумя медленными переменными при (?)>0 [185]
    3.4. Вывод систем первого приближения [188]
    3.5. Исследование систем первого приближения [188]
    3.6. Воронки [190]
    3.7. Периодические релаксационные колебания на плоскости [190]
  § 4. Затягивание потери устойчивости при переходе пары собственных значений через мнимую ось [192]
    4.1. Типичные системы [192]
    4.2. Затягивание потери устойчивости [193]
    4.3. Жесткость потери устойчивости в аналитических системах типа 2 [194]
    4.4. Гистерезис [195]
    4.5. Механизм затягивания [195]
    4.6. Вычисление момента срыва в аналитических системах [196]
    4.7. Затягивание при потере устойчивости циклом [199]
    4.8. Затягивание потери устойчивости и «утки» [199]
  § 5. Решения-утки [199]
    5.1. Пример: особая точка на складке медленной поверхности [200]
    5.2. Существование решений-уток [202]
    5.3. Эволюция простых вырожденных уток [203]
    5.4. Полулокальное явление: утки с релаксацией [204]
    5.5. Утки и (?) и (?) [205]
Рекомендуемая литература [207]
Литература [209]
Формат: djvu
Размер:2164330 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 241 Рейтинг
Открыть: