Обыкновенные дифференциальные уравнения

Автор(ы):Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С.
06.10.2007
Описание: Книга посвящена локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотической теории дифференциальных уравнений и др. Каждая глава начинается с расшифровки терминологии, чтобы сделать книгу доступной для читателей-неспециалистов. В книге нет проблем с терминологией вообще - авторы выработали и используют единую систему терминов!
Оглавление:
Обыкновенные дифференциальные уравнения — обложка книги.
Предисловие [11]
Глава 1. Основные понятия [13]
  § 1. Определения [13]
    1.1. Поля- направлений и их интегральные кривые [13]
    1.2. Векторные поля, автономные дифференциальные уравнения, интегральные и фазовые кривые [13]
    1.3. Поля направлений и неавтономные дифференциальные уравнения [14]
    1.4. Диффеоморфизмы и фазовые потоки [14]
    1.5. Особые точки [15]
    1.6. Действие диффеоморфизма на векторное поле [16]
    1.7. Первые интегралы [16]
    1.8. Дифференциальные уравнения с комплексным временем [17]
    1.9. Голоморфные поля направлений в комплексной области [17]
    1.10. Дифференциальные уравнения высших порядков [18]
    1.11. Дифференциальные уравнения на многообразии [18]
  § 2. Основные теоремы [18]
    2.1. Теорема о выпрямлении векторного поля [18]
    2.2. Теорема существования и единственности [19]
    2.3. Теорема о выпрямлении поля направлений [20]
    2.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений [20]
    2.5. Теорема о продолжении [21]
    2.6. Теорема о дифференцируемой и аналитической зависимости от начальных условий и параметров [22]
    2.7. Уравнение в вариациях [22]
    2.8. Теорема о непрерывной зависимости [23]
    2.9. Теорема о локальном фазовом потоке [23]
    2.10. Теорема о первых интегралах [23]
  § 3. Линейные дифференциальные уравнения [23]
    3.1. Экспонента линейного оператора [23]
    3.2. Теорема о связи фазовых потоков линейных векторных полей и экспонент линейных операторов [24]
    3.3. Комплексификаиия фазового пространства [24]
    3.4. Седло, узел, фокус, центр [25]
    3.5. Формула Лиувилля — Остроградского [25]
    3.6. Линейные уравнения высших порядков [27]
  § 4. Устойчивость [27]
    4.1. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая [27]
    4.2. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению [29]
    4.3. Функция Ляпунова и функция Четаева [29]
    4.4. Особые точки общего положения [29]
  § 5. Циклы [30]
    5.1. Строение фазовых кривых вещественных дифференциальных уравнений [31]
    5.2. Преобразование монодромии замкнутой фазовой кривой. Предельные циклы [31]
    5.3. Кратность циклов [32]
    5.4. Мультипликаторы [32]
    5.5. Предельные множества и теорема Пуанкаре — Беидиксона [34]
  § 6. Системы с снмметриями [35]
    6.1. Группа симметрии дифференциального уравнения [35]
    6.2. Факторсистемы [35]
    6.3. Однородные уравнения [36]
    6.4. Использование симметрии для понижения порядка [36]
  § 7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной [38]
    7.1. Основные понятия: криминанта, интегральные кривые [38]
    7.2. Регулярные особые точки [38]
    7.3. Сложенные седла, узлы и фокусы [39]
    7.4. Нормальные формы сложенных особых точек [39]
    7.5. Сборки [40]
  § 8. Аттракторы [41]
    8.1. Определения [42]
    8.2. Оценка сверху размерности максимальных аттракторов [42]
    8.3. Приложения [43]
Глава. 2. Дифференциальные уравнения на поверхностях [44]
  § 1. Структурно устойчивые уравнения на окружности и сфере [44]
    1.1. Определения [44]
    1.2. Одномерный случай [44]
    1.3. Структурно устойчивые системы на двумерной сфере [45]
  § 2. Дифференциальные уравнения на двумерном торе [45]
    2.1. Двумерный тор и векторные поля на нем [45]
    2.2. Преобразование монодромии [46]
    2.3. Число вращения [47]
  § 3. Структурно устойчивые дифференциальные уравнения на торе [47]
    3.1. Описание структурно устойчивых уравнений [47]
    3.2. Оценка числа циклов [48]
  § 4. Уравнения на торе с иррациональным числом вращения [48]
    4.1. Эквивалентность диффеоморфизма окружности повороту [48]
    4.2. Диффеоморфизмы окружности и векторные поля на S3 [50]
  § 5. Замечания о числе вращения [50]
    5.1. Число вращения как функция параметров [50]
    5.2. Семейства уравнений на торе [51]
    5.3. Эндоморфизмы окружности [51]
Глава 3. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном вещественном фазовом пространстве [51]
  § 1. Топологическая классификация гиперболических особых точек [52]
    1.1. Теорема Гробмана — Хартмана [52]
    1.2. Классификация линейных систем [52]
  § 2. Устойчивость по Ляпунову н проблема топологической классификации [53]
    2.1. О локальных задачах анализа [53]
    2.2 Алгебраическая и аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову [54]
    2.3. Алгебраическая разрешимость до вырождений конечной коразмерности [55]
    2.4. Топологически нестабилизируемые струи [56]
  § 3. Формальная классификация ростков векторных полей [57]
    3.1. Формальные векторные поля и их эквивалентность [57]
    3.2. Резонансы. Нормальные формы Пуанкаре — Дюлака и их обобщения [58]
    3.3. Приложения теории формальных нормальных форм [59]
    3.4. Полиномиальные нормальные формы [60]
  § 4. Инвариантные многообразия и теорема сведения [61]
    4.1. Теорема Адамара—Перрона [61]
    4.2. Теорема о центральном многообразии [62]
    4.3. Принцип сведения [63]
  § 5. Критерии устойчивости и топологическая классификация особых точек в случае вырождений малой коразмерности [63]
    5.1. Структура критериев [63]
    5.2. Топологическая классификация ростков гладких векторных полей до вырождений коразмерности 2 включительно [64]
    5.3. Фазовые портреты нормальных форм [67]
    5.4. Критерии устойчивости по Ляпунову для вырождений до коразмерности 3 включительно [68]
    5.5. Диаграмма примыканий [71]
    5.6. Теоремы об алгебраической разрешимости [72]
  § 6. Гладкая классификация ростков векторных полей [72]
    6.1. Соотношение формальной и гладкой классификации [72]
    6.2. Ростки векторных полей с симметриями [72]
    6.3. Квазигиперболичность [73]
    6.4. Конечно гладкая эквивалентность ростков векторных полей [74]
  § 7. Нормальные формы векторных полей, линейная часть которых нильпотентная жорданова клетка [74]
    7.1. Центрированные цепочки [74]
    7.2. Неубиваемые невязки [75]
    7.3. Стандартное представление группы (?)(?) и алгебры (?) (?) [75]
    7.4. Продолжение ннлцентного оператора до представления алгебры (?) (?) (?) [76]
    7.5. Окончание доказательства теоремы [76]
Глава 4. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном комплексном фазовом пространстве [77]
  § 1. Линейные нормальные формы [77]
    1.1. Области Пуанкаре и Зигеля. Малые знаменатели [77]
    1.2. Сходимость нормализующих рядов [78]
    1.3. Аналитические теоремы о расходимости нормализующих рядов [79]
    1.4. Геометрические теоремы о расходимости нормализующих рядов [79]
  §2. Связь формальной и аналитической классификации [80]
    2.1. Условие А [80]
    2.2. Замечание [80]
  § 3. Аналитические инвариантные многообразия [81]
    3.1. Теорема об инвариантном многообразии [81]
    3.2. Следствия [82]
    3.3. Об аналитическом центральном многообразии дифференциальных уравнений на плоскости [83]
  § 4. Топологическая классификация особых точек в комплексной области [84]
    4.1. Линейные векторные поля [84]
    4.2. Нелинейный случай [85]
Глава 5. Особые точки векторных полей на вещественной и комплексной плоскости [85]
  § 1. Разрешение особенностей [85]
    1.1. Раздутие или о-процесс на плоскости [85]
    1.2. Элементарные особые точки [87]
    1.3. Хорошие раздутия [87]
  § 2. Гладкая орбитальная классификация элементарных особых точек на плоскости [88]
    2.1. Таблица нормальных форм: аналитический случай [88]
    2.2. Нормальные формы в гладком случае [88]
  § 3. Топологическая классификация сложных особых точек с характеристической траекторией [89]
    3.1 Основная альтернатива [89]
    3.2. Топологическая классификация дифференциальных уравнений на плоскости в окрестности особой точки [90]
    3.3. Топологическая конечная определенность. Диаграммы Ньютона векторных полей [91]
    3.4. Исследование векторных полей по главной части [92]
  § 4. Проблема различения центра и фокуса [93]
    4.1. Постановка проблемы [93]
    4.2. Алгебраическая неразрешимость [93]
    4.3. Центр по линейным членам [94]
    4.4. Нильпотентная жорданова клетка [94]
    4.5. Особые точки без исключительных направлений [95]
    4.6. Общий случай [96]
    4.7. Обобщенная первая фокусная величина [96]
    4.8. Полиномиальные векторные поля [96]
  § 5. Аналитическая классификация элементарных особых точек в комплексной области [97]
    5.1. Ростки конформных отображений с тождественной линейной частью [97]
    5.2. Классификация резонансных отображений и векторных полей с нелинейностями общего положения [98]
    5.3. Продолжение предыдущего: вырожденные элементарные особые точки [99]
    5.4. Геометрия аналитических нормальных форм [100]
    5.5. Приложения [100]
    5.6. Добавление об аналитических нормальных формах [101]
  § 6. Орбитальная топологическая классификация элементарных особых точек на комплексной плоскости [101]
    6.1. Нерезонансный случай [101]
    6.2. Седловые резонансные векторные поля [101]
    6.3. Вырожденные элементарные особые точки [101]
Глава 6. Циклы [102]
  § 1. Преобразование монодромии [102]
    1.1. Определения [102]
    1.2. Реализация [103]
  § 2. Локальная теория диффеоморфизмов [104]
    2.1. Линейные нормальные формы [104]
    2.2. Резонансный случай [105]
    2.3. Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов [106]
    2.4. Инвариантные многообразия цикла [106]
    2.5. Раздутия [107]
  § 3. Уравнения с периодической правой частью [108]
    3.1. Нормальная форма линейного уравнения с периодическими коэффициентами [108]
    3.2. Линейные нормальные формы [109]
    3.3. Резонансные нормальные формы [109]
  § 4. Предельные циклы полиномиальных векторных полей на плоскости [110]
    4.1. Проблема конечности и сложные циклы [110]
    4.2. Преобразование монодромин сложного цикла [111]
    4.3. Открытые вопросы [112]
    4.4. Одна теорема конечности [112]
    4.5. Метод доказательства теоремы Дюлака и ее обобщения [112]
    4.6. Полиномиальные векторные поля второй степени [11З]
  § 5. Предельные циклы систем, близких к гамильтоновым [113]
    5.1. Рождение вещественных предельных циклов [113]
    5.2. Рождение комплексных циклов [114]
    5.3 Исследование вариации [114]
    5.4. Ослабленная проблема Гильберта [115]
    5.5. Специальные случаи [116]
  § 6. Полиномиальные дифференциальные уравнения на комплексной плоскости [117]
    6.1. Допустимые поля [117]
    6.2. Полиномиальные поля [117]
Глава 7. Аналитическая теория дифференциальных уравнений [119]
  § 1. Уравнения без подвижных критических точек [119]
    1.1. Определение [119]
    1.2. Подвижные критические точки уравнения первого порядка [120]
    1.3. Уравнения Риккати [120]
    1.4. Уравнения, не разрешенные относительно производной [121]
    1.5. Уравнения Пенлеве [121]
  § 2. Локальная теория линейных уравнений с комплексным временем [122]
    2.1. Регулярные н иррегулярные особые точки [122]
    2.2. Формальная, голоморфная н мероморфная эквивалентность [124]
    2.3. Монодромия [124]
    2.4. Формальная теория линейных систем с фуксовой особой точкой [125]
    2.5. Формальная теория линейных систем с нефуксовой особой точкой [126]
    2.6. Асимптотические ряды и явление Стокса [127]
    2.7. Аналитическая классификация нерезонансных систем в окрестности иррегулярной особой точки [128]
  § 3. Теория линейных уравнений в целом [129]
    3.1. Уравнения н системы класса Фукса [129]
    3.2. Продолжимость и монодромня [130]
    3.3. Теорема Римана — Фукса [131]
    3.4. Аналитические функции от матриц [132]
    3.5. Связь с теорией клейновых групп [132]
    3.6. Интегрируемость в квадратурах [133]
    3.7. Замечания о специальных уравнениях [133]
    3.8. Группа монодромнн уравнения Гаусса [134]
  § 4. Проблема Римана — Гильберта [134]
    4.1. Постановка проблемы [135]
    4.2. Проблема Римана — Гильберта для круга [135]
    4.3. Проблема Римана — Гильберта для сферы [137]
    4.4. Проблема Римана — Гильберта для фуксовых систем [138]
    4.5. Обобщения [138]
    4.6. Векторные расслоения на сфере [139]
    4.7. Применения к проблеме Римана — Гильберта [139]
    4.8. Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве [140]
Литература [141]
Предметный указатель [147]
Формат: djvu
Размер:1447130 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 238 Рейтинг
Открыть: