Лекции по математическому анализу
Автор(ы): | Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н.
06.10.2007
|
Год изд.: | 1999 |
Описание: | Книга является учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса. Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики. |
Оглавление: |
Обложка книги.
Предисловие [3]ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Глава I. ВВЕДЕНИЕ [7] Лекция 1 § 1, Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения. Функции [7] Лекция 2 § 2. Эквивалентные множества. Счетные и несчетныемножества. Мощность континуума [14] Лекция 3 § 3. Вещественные числа [19] Лекция 4 . § 4. Полнота множества вещественных чисел [23] § 5. Леммы об, отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков [27] Глава II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [29] Лекция 5 § 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли [29] § 2. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства [33] Лекция б § 3. Предел последовательности [38] § 4. Предельный переход в неравенствах [41] Лекция 7 § 5. Монотонные последовательности. Теорема Вейер-штрасса. Число (?) и постоянная Эйлера [45] Лекция 8 § 6. Теорема Больцано - Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности [52] § 7. Критерий Коши для сходимости последовательности [53] Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ [55] Лекция 9 § 1. Понятие предела числовой функции [55] § 2. База множеств. Предел функции по базе [57] Лекция 10 § 3. Свойство монотонности предела функции [63] § 4. Критерий Коши существования предела функции по базе [64] Лекция 11 § 5. Эквивалентность определений сходимости по Кошии по Гейне [67] § 6. Теоремы о пределе сложной функции [68] § 7. Порядок бесконечно малой функции [72] Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ [74] Лекция 12 § 1. Свойства функций, непрерывных в точке [74] § 2. Непрерывность элементарных функций [76] Лекция 13 § 3. Замечательные пределы [79] § 4. Непрерывность функции на множестве [82] Лекция 14 § 5. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке [90] Лекция 15 § 6. Понятие равномерной непрерывности [93] § 7. Свойства замкнутых и открытых множеств. Компакт. Функции, непрерывные на компакте [94] Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [98] Лекция 16 § 1. Приращение функции. Дифференциал и производная функции [98] Лекция 17 § 2. Дифференцирование сложной функции [103] § 3. Правила дифференцирования [107] Лекция 18 § 4. Производные и дифференциалы высших порядков [109] § 5. Возрастание и убывание функции в точке [115] Лекция 19 § 6. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа [117] Лекция 20 § 7. Следствия из теоремы Лагранжа [122] § 8. Некоторые неравенства [123] § 9. Производная функции, заданной параметрически [125] Лекция 21 § 10. Раскрытие неопределенностей [126] Лекция 22 § 11. Локальная формула Тейлора [132] § 12. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме [137] Лекция 23 § 13. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям [141] Лекция 24 § 14. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Выпуклость [144] Лекция 25 § 15. Точки перегиба [151] Лекция 26 § 16. Интерполирование [157] Лекция 27 § 17. Метрд хорд и метод касательных (метод Ньютона). Быстрые вычисления [160] Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [166] Лекция 28 § 1. Точная первообразная. Интегрируемые функции [166] Лекция 29. § 2. Свойства неопределенного интеграла [169] Лекция 30 Дополнение. Обобщение понятия предела по Гейне на функции, сходящиеся по базе множеств [174] ЧАСТЬ II. ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ДИФФЕРЕНПИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКНИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Глава VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [183] Лекция 1 § 1. Введение [183] § 2. Определение интеграла Римана [184] Лекция 2 § 3. Критерий интегрируемости функции по Риману [190] Лекция 3 § 4. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману [195] § 5. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману [196] § 6. Метод интегральных сумм [200] Лекция 4 § 7. Свойства интеграла Римана как предела по базе [204] § 8. Классы функций, интегрируемых по Риману [209] Лекция 5 § 9. Свойства определенного интеграла [212] § 10. Аддитивность интеграла [217] Глава VIII. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА РИМАНА [219] Лекция б § 1. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла [219] § 2. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля [220] Лекция 7 § 3. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле [225] § 4. Первая и вторая теоремы о среднем значении [226] Лекция 8 § 5. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме [233] § 6. Неравенства, содержащие интегралы [239] Лекция 9 § 7. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману [241] § 8. Доказательство критерия Лебега [242] Глава IX. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [246] Лекция 10 § 1. Определение несобственных интегралов первого и второго рода [246] § 2. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов [248] § 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле [249] Лекция 11 § 4. Несобственные интегралы второго рода [253] § 5. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле [255] Глава X. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ [257] Лекция 12 § 1. Кривые в многомерном пространстве [257] § 2. Теорема о длине дуги кривой [259] Глава XI. МЕРА ЖОРДАНА [262] Лекция 13 § 1. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана [262] § 2. Критерий измеримости множества по Жордану [264] Лекция 14 § 3. Свойства меры Жордана [267] § 4. Измеримость спрямляемой кривой [269] § 5. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции [271] Глава XII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА [275] Лекция 15 § 1. Определение и свойства меры Лебега [275] Лекция 16 § 2. Интеграл Лебега [282] Лекция 17 § 3. Интеграл Стильтьеса [288] Глава XIII. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [296] Лекция 18 § 1. Определения [296] Лекция 19 § 2. Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии [302] § 3. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве [303] § 4. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений [306] Лекция 20 § 5. Непрерывные отображения метрических пространств [308] § 6. Понятие компакта. Компакты в (?) и полнота пространства (?). Свойства непрерывных функций на компакте [309] § 7. Связные множества и непрерывность [312] Глава XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [314] Лекция 21 § 1. Непрерывные функции в В (?) [314] § 2. Дифференцируемые функции в (?) [317] Лекция 22 § 3. Дифференцирование сложной функции [320] § 4. Производная по направлению. Градиент [321] § 5. Геометрический смысл дифференциала [323] Лекция 23 § 6. Частные производные высших порядков [324] § 7. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора [326] Лекция 24 § 8. Приложение формулы Тейлора. Локальный экстремум функции многих переменных [330] § 9. Неявные функции [332] Лекция 25 § 10. Система неявных функций [337] § 11. Условный экстремум функции многих переменных [341] § 12. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби [344] ЧАСТЬ III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава XV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ [347] Лекция 1 § 1. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши [347] Лекция 2 § 2. Ряды с неотрицательными членами [355] Лекция 3 § 3. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами [360] Лекция 4 § 4. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница [368] § 5. Признаки Абеля и Дирихле [370] Лекция 5 § 6. Перестановки членов ряда [373] Лекция 6 § 7. Арифметические операции над сходящимися рядами [376] Лекция 7 § 8. Двойные и повторные ряды [381] Глава XVI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [388] Лекция 8 § 1. Сходимость функционального ряда [388] § 2. Равномерная сходимость [391] Лекция 9 § 3. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности [394] § 4. Признаки равномерной сходимости [396] Лекция 10 § 5. Теорема Дини [401] § 6. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда [402] Лекция 11 § 7. Двойные и повторные пределы по базе множеств [407] Лекция 12 § 8. Степенные ряды [411] Лекция 13 § 9. Бесконечные произведения [416] Лекция 14 § 10. Бесконечные определители [422] § 11. Равностепенная непрерывность и теорема Арцела [425] Глава XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [428] Лекция 15 § 1. Собственные параметрические интегралы и их непрерывность [428] § 2. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов [431] Лекция 16 § 3. Теорема Лагранжа [436] Лекция 17 § 4. Равномерная сходимость по Гейне [439] § 5. Эквивалентность двух определений «равномерной сходимости [440] Лекция 18 § 6. Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов [444] Лекция 19 § 7. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов [449] Лекция 20 § 8. Несобственные интегралы второго рода [456] § 9. Применение теории параметрических интегралов [458] Лекция 21 § 10. Интегралы Эйлера первого и второго рода [461] Лекция 22 §11. Формула Стирлинга [467] Глава XVIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ [471] Лекция 23 § 1. Представление дробной доли вещественного числа тригонометрическим рядом.Формула суммирования Пуассона. Суммы Гаусса [471] Лекция 24 § 2. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированной системы функций [482] Лекция 25 § 3. Замкнутость тригонометрической системы функций [488] § 4. Простейшие свойства тригонометрических рядов Фурье [493] Лекция 26 § 5. Интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации Римана [497] § 6. Признаки поточечной сходимости рядов Фурье [501] Лекция 27 § 7. Поведение коэффициентов Фурье [506] § 8. Разложение котангенса на простейшие дроби и представление синуса в виде бесконечного произведения [509] § 9. Задача Кеплера и ряды Бесселя [511] Лекция 28 § 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейерштрасса [514] § 11. Интеграл Дирихле и разложение на простейшие дроби [517] Лекция 29 § 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье [522] Лекция 30 § 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы [534] ЧАСТЬ IV. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава XIX. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [544] Лекция 1 § 1. Двойной интеграл Римана как предел по базе [544] § 2. Суммы Дарбу и их свойства [547] Лекция 2 § 3. Критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике [550] § 4. Специальный критерий интегрируемости функции на прямоугольнике [553] Лекция 3 § 5. Измеримость по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры [556] § 6. Понятие двойного интеграла Римана по ограниченной области, измеримой по Жордану [558] Лекция 4 § 7. Основные свойства двойного интеграла [562] § 8. Переход от двойного интеграла к повторному [564] § 9. Интегрируемость непрерывной функции на измеримом множестве [566] Лекция 5 § 10. Многократные интегралы [568] § 11. Свойства гладкого отображения на выпуклом множестве [572] Лекция 6 § 12. Объем области в криволинейных координатах. Теорема о замене переменных в кратном интеграле [575] Лекция 7 § 13. Критерий Лебега [584] Лекция 8 § 14. Несобственные кратные интегралы [588] Лекция 9 § 15. Площадь поверхности [595] § 16. Площадь (?)-мерной поверхности в евклидовом пространстве (?) измерений [600] Глава XX. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [603] Лекция 10 § 1. Криволинейные интегралы [603] § 2. Свойства криволинейных интегралов [604] Лекция 11 § 3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру. Формула Грина [609] Лекция 12 § 4. Поверхностные интегралы [614] § 5. Согласование ориентации поверхности, и ее границы [618] Лекция 13 § 6. Формула Стокса [622] § 7. Формула Гаусса - Остроградского [624] Лекция 14 § 8. Криволинейные интегралы, зависящие только от пределов интегрирования [630] § 9. Элементы векторного анализа [633] Лекция 15 § 10. Потенциальное и соленоидальное векторные поля [639] Глава XXI. ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА [645] Лекция 16 § 1. Понятие ориентированной многомерной поверхности [645] § 2. Согласование ориентации поверхности и ее границы в общем случае [647] § 3. Дифференциальные формы [649] § 4. Замена переменных в дифференциальной форме [649] Лекция 17 § 5. Интеграл от дифференциальной формы [651] § 6. Операция внешнего дифференцирования [654] § 7. Доказательство общей формулы Стокса [656] Лекция 18 Дополнение. Равномерное распределение знамений числовых последовательностей на отрезке [660] § 1. Понятие равномерного распределения. Лемма об оценке коэффициентов Фурье [660] § 2. Критерий Г.Вейля [664] Примерные вопросы и задачи к коллоквиумам и экзаменам [674] Литература [684] |
Формат: | djvu + ocr |
Размер: | 64079625 байт |
Язык: | РУС |
Рейтинг: | 240 |
Открыть: | Ссылка (RU) |