Лекции по математическому анализу

Автор(ы):Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н.
06.10.2007
Год изд.:1999
Описание: Книга является учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса. Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики.
Оглавление:
Лекции по математическому анализу — обложка книги.
Предисловие [3]
ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава I. ВВЕДЕНИЕ [7]
  Лекция 1
    § 1, Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения. Функции [7]
  Лекция 2
    § 2. Эквивалентные множества. Счетные и несчетныемножества. Мощность континуума [14]
  Лекция 3
    § 3. Вещественные числа [19]
  Лекция 4 .
    § 4. Полнота множества вещественных чисел [23]
    § 5. Леммы об, отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков [27]
Глава II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [29]
  Лекция 5
    § 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли [29]
    § 2. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства [33]
  Лекция б
    § 3. Предел последовательности [38]
    § 4. Предельный переход в неравенствах [41]
  Лекция 7
    § 5. Монотонные последовательности. Теорема Вейер-штрасса. Число (?) и постоянная Эйлера [45]
  Лекция 8
    § 6. Теорема Больцано - Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности [52]
    § 7. Критерий Коши для сходимости последовательности [53]
Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ [55]
  Лекция 9
    § 1. Понятие предела числовой функции [55]
    § 2. База множеств. Предел функции по базе [57]
  Лекция 10
    § 3. Свойство монотонности предела функции [63]
    § 4. Критерий Коши существования предела функции по базе [64]
  Лекция 11
    § 5. Эквивалентность определений сходимости по Кошии по Гейне [67]
    § 6. Теоремы о пределе сложной функции [68]
    § 7. Порядок бесконечно малой функции [72]
Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ [74]
  Лекция 12
    § 1. Свойства функций, непрерывных в точке [74]
    § 2. Непрерывность элементарных функций [76]
  Лекция 13
    § 3. Замечательные пределы [79]
    § 4. Непрерывность функции на множестве [82]
  Лекция 14
    § 5. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке [90]
  Лекция 15
    § 6. Понятие равномерной непрерывности [93]
    § 7. Свойства замкнутых и открытых множеств. Компакт. Функции, непрерывные на компакте [94]
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [98]
  Лекция 16
    § 1. Приращение функции. Дифференциал и производная функции [98]
  Лекция 17
    § 2. Дифференцирование сложной функции [103]
    § 3. Правила дифференцирования [107]
  Лекция 18
    § 4. Производные и дифференциалы высших порядков [109]
    § 5. Возрастание и убывание функции в точке [115]
  Лекция 19
    § 6. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа [117]
  Лекция 20
    § 7. Следствия из теоремы Лагранжа [122]
    § 8. Некоторые неравенства [123]
    § 9. Производная функции, заданной параметрически [125]
  Лекция 21
    § 10. Раскрытие неопределенностей [126]
  Лекция 22
    § 11. Локальная формула Тейлора [132]
    § 12. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме [137]
  Лекция 23
    § 13. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям [141]
  Лекция 24
    § 14. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Выпуклость [144]
  Лекция 25
    § 15. Точки перегиба [151]
  Лекция 26
    § 16. Интерполирование [157]
  Лекция 27
    § 17. Метрд хорд и метод касательных (метод Ньютона). Быстрые вычисления [160]
Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [166]
  Лекция 28
    § 1. Точная первообразная. Интегрируемые функции [166]
  Лекция 29.
    § 2. Свойства неопределенного интеграла [169]
  Лекция 30
    Дополнение. Обобщение понятия предела по Гейне на функции, сходящиеся по базе множеств [174]
ЧАСТЬ II. ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ДИФФЕРЕНПИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКНИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [183]
  Лекция 1
    § 1. Введение [183]
    § 2. Определение интеграла Римана [184]
  Лекция 2
    § 3. Критерий интегрируемости функции по Риману [190]
  Лекция 3
    § 4. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману [195]
    § 5. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману [196]
    § 6. Метод интегральных сумм [200]
  Лекция 4
    § 7. Свойства интеграла Римана как предела по базе [204]
    § 8. Классы функций, интегрируемых по Риману [209]
  Лекция 5
    § 9. Свойства определенного интеграла [212]
    § 10. Аддитивность интеграла [217]
Глава VIII. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА РИМАНА [219]
Лекция б
    § 1. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла [219]
    § 2. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля [220]
  Лекция 7
    § 3. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле [225]
    § 4. Первая и вторая теоремы о среднем значении [226]
  Лекция 8
    § 5. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме [233]
    § 6. Неравенства, содержащие интегралы [239]
  Лекция 9
    § 7. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману [241]
    § 8. Доказательство критерия Лебега [242]
Глава IX. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [246]
  Лекция 10
    § 1. Определение несобственных интегралов первого и второго рода [246]
    § 2. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов [248]
    § 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле [249]
  Лекция 11
    § 4. Несобственные интегралы второго рода [253]
    § 5. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле [255]
Глава X. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ [257]
  Лекция 12
    § 1. Кривые в многомерном пространстве [257]
    § 2. Теорема о длине дуги кривой [259]
Глава XI. МЕРА ЖОРДАНА [262]
  Лекция 13
    § 1. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана [262]
    § 2. Критерий измеримости множества по Жордану [264]
  Лекция 14
    § 3. Свойства меры Жордана [267]
    § 4. Измеримость спрямляемой кривой [269]
    § 5. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции [271]
Глава XII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА [275]
  Лекция 15
    § 1. Определение и свойства меры Лебега [275]
  Лекция 16
    § 2. Интеграл Лебега [282]
  Лекция 17
    § 3. Интеграл Стильтьеса [288]
Глава XIII. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [296]
  Лекция 18
    § 1. Определения [296]
  Лекция 19
    § 2. Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии [302]
    § 3. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве [303]
    § 4. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений [306]
  Лекция 20
    § 5. Непрерывные отображения метрических пространств [308]
    § 6. Понятие компакта. Компакты в (?) и полнота пространства (?). Свойства непрерывных функций на компакте [309]
    § 7. Связные множества и непрерывность [312]
Глава XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [314]
  Лекция 21
    § 1. Непрерывные функции в В (?) [314]
    § 2. Дифференцируемые функции в (?) [317]
  Лекция 22
    § 3. Дифференцирование сложной функции [320]
    § 4. Производная по направлению. Градиент [321]
    § 5. Геометрический смысл дифференциала [323]
  Лекция 23
    § 6. Частные производные высших порядков [324]
    § 7. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора [326]
  Лекция 24
    § 8. Приложение формулы Тейлора. Локальный экстремум функции многих переменных [330]
    § 9. Неявные функции [332]
  Лекция 25
    § 10. Система неявных функций [337]
    § 11. Условный экстремум функции многих переменных [341]
    § 12. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби [344]
ЧАСТЬ III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава XV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ [347]
  Лекция 1
    § 1. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши [347]
  Лекция 2
    § 2. Ряды с неотрицательными членами [355]
  Лекция 3
    § 3. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами [360]
  Лекция 4
    § 4. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница [368]
    § 5. Признаки Абеля и Дирихле [370]
  Лекция 5
    § 6. Перестановки членов ряда [373]
  Лекция 6
    § 7. Арифметические операции над сходящимися рядами [376]
  Лекция 7
    § 8. Двойные и повторные ряды [381]
Глава XVI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [388]
  Лекция 8
    § 1. Сходимость функционального ряда [388]
    § 2. Равномерная сходимость [391]
  Лекция 9
    § 3. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности [394]
    § 4. Признаки равномерной сходимости [396]
  Лекция 10
    § 5. Теорема Дини [401]
    § 6. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда [402]
  Лекция 11
    § 7. Двойные и повторные пределы по базе множеств [407]
  Лекция 12
    § 8. Степенные ряды [411]
  Лекция 13
    § 9. Бесконечные произведения [416]
  Лекция 14
    § 10. Бесконечные определители [422]
    § 11. Равностепенная непрерывность и теорема Арцела [425]
Глава XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [428]
  Лекция 15
    § 1. Собственные параметрические интегралы и их непрерывность [428]
    § 2. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов [431]
  Лекция 16
    § 3. Теорема Лагранжа [436]
  Лекция 17
    § 4. Равномерная сходимость по Гейне [439]
    § 5. Эквивалентность двух определений «равномерной сходимости [440]
  Лекция 18
    § 6. Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов [444]
  Лекция 19
    § 7. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов [449]
  Лекция 20
    § 8. Несобственные интегралы второго рода [456]
    § 9. Применение теории параметрических интегралов [458]
  Лекция 21
    § 10. Интегралы Эйлера первого и второго рода [461]
  Лекция 22
    §11. Формула Стирлинга [467]
Глава XVIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ [471]
  Лекция 23
    § 1. Представление дробной доли вещественного числа тригонометрическим рядом.Формула суммирования Пуассона. Суммы Гаусса [471]
  Лекция 24
    § 2. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированной системы функций [482]
  Лекция 25
    § 3. Замкнутость тригонометрической системы функций [488]
    § 4. Простейшие свойства тригонометрических рядов Фурье [493]
  Лекция 26
    § 5. Интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации Римана [497]
    § 6. Признаки поточечной сходимости рядов Фурье [501]
  Лекция 27
    § 7. Поведение коэффициентов Фурье [506]
    § 8. Разложение котангенса на простейшие дроби и представление синуса в виде бесконечного произведения [509]
    § 9. Задача Кеплера и ряды Бесселя [511]
  Лекция 28
    § 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейерштрасса [514]
    § 11. Интеграл Дирихле и разложение на простейшие дроби [517]
  Лекция 29
    § 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье [522]
  Лекция 30
    § 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы [534]
ЧАСТЬ IV. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава XIX. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [544]
  Лекция 1
    § 1. Двойной интеграл Римана как предел по базе [544]
    § 2. Суммы Дарбу и их свойства [547]
  Лекция 2
    § 3. Критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике [550]
    § 4. Специальный критерий интегрируемости функции на прямоугольнике [553]
  Лекция 3
    § 5. Измеримость по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры [556]
    § 6. Понятие двойного интеграла Римана по ограниченной области, измеримой по Жордану [558]
  Лекция 4
    § 7. Основные свойства двойного интеграла [562]
    § 8. Переход от двойного интеграла к повторному [564]
    § 9. Интегрируемость непрерывной функции на измеримом множестве [566]
  Лекция 5
    § 10. Многократные интегралы [568]
    § 11. Свойства гладкого отображения на выпуклом множестве [572]
  Лекция 6
    § 12. Объем области в криволинейных координатах. Теорема о замене переменных в кратном интеграле [575]
  Лекция 7
    § 13. Критерий Лебега [584]
  Лекция 8
    § 14. Несобственные кратные интегралы [588]
  Лекция 9
    § 15. Площадь поверхности [595]
    § 16. Площадь (?)-мерной поверхности в евклидовом пространстве (?) измерений [600]
Глава XX. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [603]
  Лекция 10
    § 1. Криволинейные интегралы [603]
    § 2. Свойства криволинейных интегралов [604]
  Лекция 11
    § 3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру. Формула Грина [609]
  Лекция 12
    § 4. Поверхностные интегралы [614]
    § 5. Согласование ориентации поверхности, и ее границы [618]
  Лекция 13
    § 6. Формула Стокса [622]
    § 7. Формула Гаусса - Остроградского [624]
  Лекция 14
    § 8. Криволинейные интегралы, зависящие только от пределов интегрирования [630]
    § 9. Элементы векторного анализа [633]
  Лекция 15
    § 10. Потенциальное и соленоидальное векторные поля [639]
Глава XXI. ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА [645]
  Лекция 16
    § 1. Понятие ориентированной многомерной поверхности [645]
    § 2. Согласование ориентации поверхности и ее границы в общем случае [647]
    § 3. Дифференциальные формы [649]
    § 4. Замена переменных в дифференциальной форме [649]
  Лекция 17
    § 5. Интеграл от дифференциальной формы [651]
    § 6. Операция внешнего дифференцирования [654]
    § 7. Доказательство общей формулы Стокса [656]
  Лекция 18
    Дополнение. Равномерное распределение знамений числовых последовательностей на отрезке [660]
    § 1. Понятие равномерного распределения. Лемма об оценке коэффициентов Фурье [660]
    § 2. Критерий Г.Вейля [664]
  Примерные вопросы и задачи к коллоквиумам и экзаменам [674]
  Литература [684]
Формат: djvu
Размер:20065323 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 271 Рейтинг
Открыть: