Качественная теория динамических систем второго порядка

Автор(ы):Андронов А. А., Леонтович Е. А. и др.
06.10.2007
Год изд.:1966
Описание: "Книга содержит, во-первых, классические результаты по качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости, в основном принадлежащих Пуанкаре и Бендиксону, и, во-вторых, некоторые новые результаты, непосредственно по своему содержанию примыкающие к этим классическим результатам. Книга снабжена большим количеством рисунков и примеров, иллюстрирующих излагаемые методы."
Оглавление:
Качественная теория динамических систем второго порядка — обложка книги.
Предисловие [9]
Введение [11]
Глава I. Динамические системы в плоской области и на сфере [19]
  § 1. Динамические системы в плоской области [19]
    1. Введение (19).
    2. Геометрическая интерпретация динамической системы (I) в пространстве R3 (20).
    3. Простейшие свойства решений системы (I) (21).
    4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (х, у) (24).
    5. Разбиение области G фазовой плоскости на траектории. Некоторые элементарные сведения о траекториях (20).
    6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве R3 и геометрической интерпретации на фазовой плоскости (30).
    7. Направление на траектории. Изменение параметризации (31).
    8. Терминология и обозначения (34).
    9. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений (36).
    10. Замена переменных (37).
    11. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе (38).
    12. Изоклины (41).
    13. Понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл», использующиеся в классической литературе при рассмотрении аналитических систем (41).
    14. Примеры (43).
    15. Замечания по поводу примеров (56).
  § 2. Динамические системы на сфере [58]
    1. Введение (58).
    2. Определение динамической системы па сфере (58).
    3. Динамическая система на сфере как векторное поле на сфере (61).
    4. Решения и траектории динамической системы на сфере (61).
    5. Примеры динамических систем на сфере (66).
Глава II. Предельные точки множества. Основные свойства траектории [69]
Введение [69]
  § 3. Вспомогательные предложения о характере пересечения траекторий с циклами и дугами без контакта [71]
    1. Дуга без контакта (71).
    2. Обобщенная дуга без контакта (73).
    3. Пересечение траектории с дугой без контакта (73).
    4. Расположение траекторий в окрестности дуги без контакта (74).
    5. Некоторые свойства функций Ф(t, s), (Формула)(t, s) (77).
    6. Траектории, пересекающие две дуги без контакта. Функция соответствия (81).
    7. Случай, когда траектория имеет с дугой без контакта более одной общей точки (86).
    8. Функция последования (90).
    9. Замкнутые кривые, составленные из дуги траектории и дуги без контакта, и ограниченные ими области (92).
    10. Цикл без контакта (95).
    11. Семейство циклов без контакта. Траектории, входящие в область, заполненную циклами без контакта (96).
    12. Цикл однократного пересечения (97).
    13. Дифференцирование функции в силу системы (I) (98).
    14. Цикл без контакта между двумя последовательными витками траектории, пересекающей дугу без контакта (99).
  § 4. Предельные точки и множества. Основные свойства траекторий [102]
    1. Предельные точки полутраектории и траектории (102).
    2. Примеры предельных точек (104).
    3. Основные свойства множества предельных точек (104).
    4. Свойства траекторий, характерные для динамических систем на плоскости или на сфере (106).
    5. Некоторые свойства предельных траекторий (109).
    6. Предельные траектории динамических систем, имеющих конечное число состояний равновесия. Возможные типы траекторий (112).
    7. Теорема о наличии состояния равновесия внутри замкнутой траектории (114).
    8. Основная теорема о состоянии равновесия (118).
    9. Изолированная замкнутая траектория — предельный цикл. Возможное расположение траекторий в окрестности предельного цикла (119).
Глава III. Основные понятия качественной теории динамических систем [122]
  § 5. Количественное и качественное исследование динамических систем (122)
    1. Введение (122).
    2. Топологическая структура динамической системы (124).
    3. Локальная топологическая структура (131).
    4. Свойства разбиения на траектории в целом и эффективные методы качественного исследования (133).
Глава IV. Простое состояние равновесия [135]
Введение [135]
  § 6. Приведение динамической системы в окрестности простого состояния равновесия к каноническому виду [137]
    1. Аналитические условия, характеризующие простое состояние равновесия (137).
    2. Приведение динамической системы в окрестности простого состояния равновесия к каноническому виду (139).
    3. Инвариантность характеристического уравнения при регулярном преобразовании (144).
    4. Некоторые предварительные замечания относительно возможной топологической структуры простых состояний равновесия (145).
  § 7. Расположение траекторий в окрестности простых состояний равновесия с характеристическими корнями, имеющими не рапные нулю действительные части [146]
    1. Случай 1): характеристические корни (?) и (?), действительны и одинаковых знаков (состояние равновесия типа узел) (146).
    2. Случай 2): характеристические корни — комплексные сопряженные: (?), (?), (?), (?) (состояние равновесия типа фокус) (151).
    3. Случай 3): характеристические корни (?) и (?) действительны и различных знаков, т. е. (?) (состояние равновесия типа седло) (153).
    4. Устойчивые и неустойчивые состояния равновесия (160).
    5. Замечания по поводу других методов исследования характера состояний равновесия с не равными нулю действительными частями характеристических корней (161).
    6. Примеры (162).
    7. Простейшие примеры сложных состояний равновесия (164).
  § 8. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями [166
    1. Вводные замечания (166).
    2. Переход к полярной системе координат (166).
    3. Сопоставление траекторий Системы (I) и интегральных кривых уравнения (7) (170).
    4. Построение функции последования на полупрямой (?) (172).
    5. Возможный характер отдельной траектории, проходящей через точку достаточно малой окрестности состояния равновесия (174).
    6. Возможный характер разбиения на траектории достаточно малой окрестности состояния равновесия (?) (176).
    7. Примеры (179).
  § 9. Направления, в которых траектории стремятся к простым состояниям равновесия [182]
    1. Основное определение (182).
    2. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может стремиться к простому состоянию равновесия (185).
    3. Узел с различными характеристическими корнями (187).
    4. Дикритический узел (191).
    5. Вырожденный узел (195).
    6. Седло и фокус (199).
    7. Сводка сведений о простых состояниях равновесия с не равными нулю действительными частями характеристических корней (200).
    8. Примеры
Глава V. Теория индекса и ее приложения к динамическим системам [205]
Введение [205]
  § 10. Индекс Пуанкаре [205]
    1. Вращение векторного поля (205).
    2. Индекс простой замкнутой кривой по отношению к заданному на ней векторному полю (208).
    3. Поле касательных к замкнутой кривой (212).
    4. Определение индекса, данное Пуанкаре (213).
  § 11. Приложение теории индекса к динамическим системам [214]
    1. Две основные теоремы (214).
    2. Индекс изолированной особой точки (214).
    3. Индекс как криволинейный интеграл (216).
    4. Вычисление индексов простых состояний равновесия динамической системы (217).
Глава VI. Некоторые приемы качественного исследования конкретных динамических систем [220]
Введение [220]
  § 12. Признаки отсутствия и существования замкнутых траекторий [223]
    1. Некоторые общие замечания о кольцеобразных областях, заполненных замкнутыми траекториями (223).
    2. Случай, когда об отсутствии предельных циклов можно заключить непосредственно на основании расположения изоклин горизонтальных и вертикальных наклонов и характера поля между ними (224). 3. Критерий Дюлака и Бендиксона (226). 4. Применение индексов Пуанкаре;и циклов однократного пересечения к решению вопросов существования предельных циклов (229). 5. Топографическая система кривых и контактная кривая (231). 6. Примеры (232).
  § 13. Поведение траекторий на бесконечности [237]
    1. Общие замечания. Преобразование Бендиксона (237).
    2. Рассмотрение динамической системы, правые части которой многочлены на «сфере Пуанкаре» (241).
    3. Пример исследования экватора (249).
  § 14. Использование методов приближенного вычисления для определения качественной структуры разбиения на траектории (249)
    1. Общие замечания (249).
    2. Метод изоклин (250).
    3. Специфика использования численных методов при определении качественной структуры разбиения на траектории (252).
    4. Случай, когда доказательство существования предельного цикла возможно при помощи приближенного построения дуг траектории (253).
    5. Случай, когда топологическая структура разбиения на траектории принципиально не может быть установлена путем приближенного вычисления (построения) траекторий (254).
Глава VII. «Особые» траектории и ячейки динамической системы [256]
Введение [256]
  § 15. Орбитно-устойчивые и орбитпо-неустоичивые траектории и иолу-траектории [257]
    1. Основные определения (257).
    2. Простейшие примеры орбитно-устойчивых и орбитно-неустойчивых траекторий (260).
    3. Возможные типы орбитно-неустойчивых полутраекторий и траекторий (262).
    4. Вспомогательные леммы о поведении полутраекторий в окрестности состояния равновесия (263).
    5. Орбитно-неустойчивые траектории, стремящиеся к состоянию равновесия (266).
    6. Сепаратрисы состояния равновесия (275).
    7. Некоторые вспомогательные предложения (277).
    8. Полу-траектории, среди предельных точек которых есть отличные от состояний равновесия (280).
    9. Возможные типы особых и неособых траекторий в случае конечного числа состояний равновесия. Случай конечного числа особых траекторий (284).
  § 16. Ячейки динамической системы в случае конечного числа особых траекторий [285]
    1. Вводные замечания (285).
    2. Нормальная граница ограниченной области (?), содержащейся в области определения динамической системы (286).
    3. Леммы о множестве точек, принадлежащих особым элементам (287).
    4. Доказательство конечности числа ячеек (в случае конечного числа особых элементов) (288).
    5. Случай динамической системы на сфере (290).
    6. Поведение траекторий, близких к орбитно-устоичивым траекториям (291).
    7. Некоторые предложения о незамкнутых орбитно-устойчивых траекториях (296).
    8. Возможный характер неособых элементов внутри одной и той же ячейки (299).
    9. Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями (300).
    10. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями (304).
    11. Свойства границы двусвязпой ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями (307).
    12. Ячейки, в границу которых входят граничные дуги (313).
    13. Полное качественное исследование динамической системы. Схема динамической системы (315).
Глава VIII. Схема состояния равновесия [316]
Введение [316]
  § 17. Состояние равновесия, к которому стремится хотя бы одна полутраектория [317]
    1. Вспомогательные предложения (317).
    2. Возможный характер криволинейного сектора. Гиперболический (седловой), параболический п вллипти-ческий сектор (322).
    3. Леммы об эллиптических областях (328).
  § 18. «Элементарные области». Типы элементарных областей [330]
    1. Проведение дуги без контакта в параболическом секторе (330).
    2. Проведение дуг без контакта в эллиптической области (336).
    3. Правильная седловая область (337).
    4. Топологическая тождественность разбиений на траектории элементарных областей одинакового типа (338).
  § 19. Локальпая и полная (глобальная) схема состояния равновесия [346]
    1. Циклический порядок сепаратрис и эллиптических областей состояния равновесия, не являющегося центром (346).
    2. Капоническал замкнутая кривая вокруг состояния равновесия (349).
    3. Локальная схема состояния равновесия, не являющегося центром (351).
    4. Полная (или глобальная) схема состояния равновесия, не являющегося центром (356).
    5. Состояние равновесия типа центр (360).
Глава IX. Методы исследования некоторых типов сложных состояний равновесия [362]
Введение [362]
  § 20. Направления, в которых траектории стремятся к сложному состоянию равновесия [363]
    1. Переход к полярным координатам (363).
    2. Общий случай (364).
    3. Особый случай (367).
    4. Примеры (372).
  § 21. Топологическая структура сложного состояния равновесия в случае (?) [372]
    1. Вспомогательные преобразования и леммы (372).
    2. Возможные топологические структуры сложного состояния равновесия вслучаес (?) (377).
  § 22. Топологическая структура сложного состояния равновесия в случав (?) [385]
    1. Вспомогательные леммы (385).
    2. Возможные топологические структуры сложного состояния равновесия в случае (?) (397).
    3. Упрощение исследования. Примеры (404).
Глава X. Схема предельного континуума и границы области G* [411]
Введение [411]
  § 23. Свойства предельных континуумов и континуумов, входящих в границы ячеек, заполненных замкнутыми траекториями [412]
    1. Свойства со- и а-предельных континуумов, не являющихся состоянием равновесия (412).
    2. Нуль-предельные" континуумы и их свойства (417).
    3. Теорема о континууме, состоящем из особых траекторий, являющихся продолжением одна другой (420).
  § 24. Локальная схема предельного континуума и каноническая окрестность [421]
    1. (?) (?)-перечисление (?), (?) и 0-предельных континуумов (421).
    2. Тождественность перечислений двух предельных континуумов (423).
    3. «Односторонняя» каноническая окрестность предельного континуума (424).
    4. Локальные схемы (?), (?) и 0-предельных континуумов и теорема о тождественности разбиения на траектории канонических окрестностей континуумов с одинаковыми локальными схемами (426).
  § 25. Полная схема предельного континуума [432]
    1. Простые замкнутые кривые, образованные траекториями, составляющими предельный континуум (432).
    2. Односторонние и двусторонние предельные континуумы (435).
    3. Взаимное расположение континуумов и их канонических кривых (439).
    4. Свободные и несвободные континуумы (441).
    5. Полная (глобальная) схема предельного континуума (442).
  § 26. Схема границы области [447]
    1. Угловые точки граничных кривых (447).
    2. Схема граничной кривой, схема границы и тождественность двух схем границы (449).
Глава XI, Схема динамической системы и основная теорема [453]
Введение [453]
  § 27. Правильная система канонических окрестностей. (?)(?)-дуги и (?)(?)-циклы [454]
    1. Обозначения для особых элементов динамической системы (454).
    2. Правильные системы канонических окрестностей (454).
    3. Элементарные дуги и свободные циклы без контакта (458).
    4. Сопряженные элементарные (?) и (?)-дуги и сопряженные свободные (?) (?)-циклы (461).
  § 28. Сопряженные свободные (?)(?)-предельные и нуль-предельные континуумы и области между их каноническими окрестностями [463]
    1. Взаимное расположение двух свободных сопряженных (?) и (?)-циклов (463).
    2. Сопряженные (?) и (?)-предельные континуумы (465).
    3. Сопряженные нуль-предельные континуумы (466).
    4. Траектории, проходящие через концы сопряженных (?) и (?)-дуг (467).
    5. Леммы о граничных особых элементах и (?) и (?)-дугах, являющихся частями граничных дуг без контакта (469).
    6. Цепочки из особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных (?)- и (?)-дуг (472).
    7. Области между сопряженными каноническими кривыми и между сопряженными елементарными дугами (478).
  § 29. Схема динамической системы и теорема о тождественности топологических разбиений на траектории [481]
    1. Схема динамической системы (481).
    2. Соответствие по схеме между каноническими кривыми и дугами канонических кривых (486).
    3. Сопряженные (?) и (?)-дуги двух систем D и D' с тождественными схемами (488).
    4. Основная теорема (490).
    5. Схема динамической системы на сфере. Схема динамической системы, определенной на плоскости и отображенной на сферу Пуанкаре (497).
Глава XII. Качественное исследование «в целом» конкретных динамических систем [499]
  § 30. Примеры [499]
Дополнение [519]
  § 1. Элементарные сведения о множествах в евклидовом пространстве [519]
    1. Некоторые обозначения (519).
    2. Сегмент и интервал (519).
    3. Точка сгущения, граничная и внутренняя точка множества (519).
    4. Множества открытые и замкнутые. Граница (520).
    5. Расстояние между множествами. Компактные множества (520).
    6. Связные множества. Континуум и область (520).
    7. Области с общей границей (520).
    8. Множества всюду плотные и нигде не плотные (521).
    9. Окрестности, покрытия (521).
    10. Топологический предел (521).
    11. Отображение множеств друг на друга (521).
    12. Тоиологическое отображение (522).
    13. Теорема Брауэра об инварпаитиости области (522).
    14. Системы функций, описывающие отображение множеств (522).
    15. Простая дуга (522).
    16. Простая замкнутая кривая (523).
  § 2. Простые замкнутые кривые и простые дуги на плоскости. Ориентация плоскости (направление обхода простых замкнутых кривых). Тины топологических отображений [523]
    1. Две основные теоремы (523).
    2. Леммы о простой замкнутой кривой (523)
    3. Направление обхода простых замкнутых кривых. Циклический порядок точек на простой замкнутой кривой (525).
    4. Индуцированное направление на простои дуге, являющейся частью простой замкнутой кривой (625).
    5. Ориентация плоскости (525).
    6. Некоторые предложения о направлениях обхода простых замкнутых кривых, имеющих общую дугу или общую точку (527).
    7. Два предложения о связи между порядком точек на непересекающихся простых замкнутых кривых (528).
    8. Два типа топологических отображений плоскости в себя (сохраняющие ориентацию и изменяющие ориентацию) (528).
  § 3. Положительная и отрицательная «сторона» простой дуги [529]
    1. Области, характеризующие различные «стороны» простой дуги (529).
    2. Определение областей, характеризующих различные стороны простой дуги, с помощью введения криволинейной системы координат (531).
    3. Некоторые предложения о взаимном расположении дуг и простых замкнутых кривых (532).
    4. Ограниченные области на плоскости (532).
  § 4. Лемма Адамара и теорема о неявных функциях [533]
    1. Классы функций (533).
    2. Лемма Адамара (533).
    3. Теорема о неявных функциях (534).
  § 5. Угол между векторами. Гладкая простая дуга и гладкая простая замкнутая кривая. Угол между двумя гладкими дугами [536]
    1. Угол между векторами (536).
    2. Гладкая простая дуга (536).
    3. Гладкан простая замкнутая кривая и кусочно-гладкая простая замкнутая кривая (536).
    4. Гладкая линия (537).
    5. Гладкие простые дуги, имеющие общую точку (537).
  § 6. Регулярное отображение. Криволинейные координаты. Некоторые предложения о гладких дугах и гладких замкнутых кривых [538]
    1. Регулярное отображение (538).
    2. Криволинейные координаты (539).
    3. Преобразование компонент вектора при регулярном отображении. Контра-вариантный вектор. Преобразование касательного вектора (540).
    4. Изменение угла между векторами при регулярном отображении. Роль якобиана преобразования (541).
    5. Использование регулярного отображения при рассмотрении областей, характеризующих различные стороны простой гладкой дуги (541).
    6. Один способ введения функций (?), (?) (542).
    7. Пересечение двух гладких дуг и пересечения гладкой дуги с гладкой и кусочно-гладкой простой замкнутой кривой (544).
    8. Два предложения о построении функций по заданным условиям (545).
  § 7. Сфера в евклидовом пространств [547]
    1. Окрестность точки сферы (547).
    2. Простая дуга и простая замкнутая кривая на сфере (548).
    3. Покрытие сферы и координаты на сфере (548).
    4. Одво частное простейшее координатное покрытие сферы (550).
    5. Ориентация сферы и типы топологических отображений сферы в себя (551).
    6.Функции, заданные на сфере (551).
  § 8. Основные теоремы теории дифференциальных уравнений [552]
    1. Теорема о существовании и единственности решения (552).
    2. Теорема о непрерывной зависимости От начальных значений (553).
    3. Производные по независимому переменному и по начальным значениям (553).
  § 9. К вопросу о понятии «качественной структуры» разбиения па траектории и о понятии особых и неособых траекторий [554]
    1. Сопоставление инвариантов топологических и регулярных отображений (554).
    2. Различные подходы к выделению областей, заполненных траекториями «одинакового поведения» (555).
    3. Случай бесконечного числа орбит-но-неустойчивых траекторий (557).
    4. Геометрический пример А. Г. Майера всюду плотного множества орбитно-неустойчивых траекторий — сепаратрис состояния равновесия (557).
  § 10. Теорема Бендиксона об индексе сложного состояния равновесия [559]
Литература [563]
Алфавитный указатель [566]
Формат: djvu
Размер:8763781 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 384 Рейтинг
Открыть: