Математические аспекты классической и небесной механики. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3

Автор(ы):Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И.
20.05.2015
Год изд.:1985
Описание: Изложены основные принципы, задачи и методы классической механики. Основное внимание уделено математической стороне предмета. Обсуждаются математические модели движения механических систем, изложены различные аспекты теории понижения порядка систем с симметриями, содержится обзор наиболее общих и эффективных методов интегрирования уравнений движения, исследованы явления качественного характера, препятствующие полной интегрируемости гамильтоновых систем и, наконец, изложены наиболее результативные разделы классической механики - теория возмущений и теория колебаний.
Оглавление:
Математические аспекты классической и небесной механики. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3 — обложка книги.
Предисловие [9]
Глава 1. Основные принципы классической механики [11]
  § 1. Ньютонова механика [11]
    1.1. Пространство, время, движение [11]
    1.2. Принцип детерминированности Ньютона—Лапласа [12]
    1.3. Принцип относительности [14]
    1.4. Основные динамические величины. Законы сохранения [16]
  § 2. Лагранжева механика [18]
    2.1. Предварительные замечания [18]
    2.2. Вариации и экстремали [20]
    2.3. Уравнения Лагранжа [22]
    2.4. Уравнения Пуанкаре [24]
    2.5. Движение со связями [27]
  § 3. Гамильтонова механика [31]
    3.1. Симплектическая структура и уравнения Гамильтона [31]
    3.2. Производящие функции [33]
    3.3. Симплектическая структура кокасательного расслоения [34]
    3.4. Задача n точечных вихрей [36]
    3.5. Действие в фазовом пространстве [37]
    3.6. Интегральные инварианты [38]
    3.7. Приложение к динамике идеальной жидкости [41]
    3.8. Принцип стационарности укороченного действия [41]
  § 4. Вакономная механика [43]
    4.1. Задача Лагранжа [44]
    4.2. Вакономная механика [45]
    4.3. Принцип детерминированности [48]
    4.4. Уравнения Гамильтона в избыточных координатах [49]
  § 5. Гамильтонов формализм со связями [50]
    5.1. Задача Дирака [50]
    5.2. Двойственность [52]
  § 6. Реализация связей [53]
    6.1. Различные способы реализации связей [53]
    6.2. Голономные связи [54]
    6.3. Анизотропное трение [55]
    6.4. Присоединенные массы [56]
    6.5. Присоединенные массы и анизотропное трение [58]
    6.6. Малые массы [60]
Глава 2. Задача n тел [61]
  § 1. Задача двух тел [61]
    1.1. Орбиты [61]
    1.2. Аномалии [65]
    1.3. Столкновения и регуляризация [68]
    1.4. Геометрия задачи Кеплера [69]
  § 2. Столкновения и регуляризация [70]
    2.1. Необходимое условие устойчивости [70]
    2.2. Одновременные столкновения [71]
    2.3. Парные столкновения [72]
    2.4. Особенности решений задачи n тел [74]
  § 3. Частные решения [77]
    3.1. Центральные конфигурации [77]
    3.2. Томографические решения [78]
    3.3. Приведенный потенциал и относительные равновесия [79]
  § 4. Финальные движения в задаче трех тел [80]
    4.1. Классификация финальных движений по Шази [80]
    4.2. Симметрия прошлого и будущего [81]
  § 5. Ограниченная задача трех тел [82]
    5.1. Уравнения движения. Интеграл Якоби [82]
    5.2. Относительные равновесия и области Хилла [83]
    5.3. Задача Хилла [85]
  § 6. Эргодические теоремы небесной механики [88]
    6.1. Устойчивость по Пуассону [88]
    6.2. Вероятность захвата [89]
Глава 3. Группы симметрий и понижение порядка [91]
  § 1. Симметрии и линейные интегралы [91]
    1.1.Теорема Нётер [91]
    1.2. Симметрии в неголономной механике [95]
    1.3. Симметрии в вакономной механике [97]
    1.4. Симметрии в гамильтоновой механике [97]
  § 2. Приведение систем с симметриями [99]
    2.1. Понижение порядка (лагранжев аспект) [99]
    2.2. Понижение порядка (гамильтонов аспект) [104]
    2.3. Примеры: свободное вращение твердого тела и задача трех тел [110]
  § 3. Относительные равновесия и бифуркации интегральных многообразий [115]
    3.1. Относительные равновесия и приведенный потенциал [115]
    3.2. Интегральные многообразия, области возможности движения и бифуркационные множества [116]
    3.3. Бифуркационное множество в плоской задаче трех тел [118]
    3.4. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой [119]
Глава 4. Интегрируемые системы и методы интегрирования [121]
  § 1. Краткий обзор различных подходов к интегрируемости гамильтоновых систем [121]
    1.1. Квадратуры [121]
    1.2. Полная интегрируемость [123]
    1.3. Нормальные формы [125]
  § 2. Вполне интегрируемые системы [128]
    2.1. Переменные действие — угол [128]
    2.2. Некоммутативные наборы интегралов [132]
    2.3. Примеры вполне интегрируемых систем [134]
  § 3. Некоторые методы интегрирования гамильтоновых систем [138]
    3.1. Метод разделения переменных [138]
    3.2. Метод L — А пары [144]
  § 4. Интегрируемые неголономные системы [145]
    4.1. Дифференциальные уравнения с инвариантной мерой [145]
    4.2. Некоторые решенные задачи неголономной механики [148]
Глава 5. Теория возмущений интегрируемых систем [152]
  § 1. Усреднение возмущений [152]
    1.1. Принцип усреднения [152]
    1.2. Процедура исключения быстрых переменных. Нерезонансный случай [155]
    1.3 Процедура исключения быстрых переменных. Резонансный случай [159]
    1.4. Усреднение в одночастотных системах [160]
    1.5. Усреднение в системах с постоянными частотами [167]
    1.6. Усреднение в нерезонансной области [169]
    1.7. Влияние отдельного резонанса [170]
    1.8. Усреднение в двухчастотных системах [175]
    1.9 Усреднение в многочастотных системах [179]
  § 2. Усреднение в гамильтоновых системах [181]
    2.1. Применение принципа усреднения [181]
    2.2. Процедуры исключения быстрых переменных [189]
  § 3. Теория КАМ [197]
    3.1. Невозмущенное движение. Условия невырожденности [197]
    3.2. Инвариантные торы возмущенной системы [198]
    3.3. Системы с двумя степенями свободы [200]
    3.4. Диффузия медленных переменных в многомерных системах и ее экспоненциальная оценка [203]
    3.5. Разные варианты теоремы об инвариантных торах [205]
    3.6. Вариационный принцип для инвариантных торов. Канторо-торы [208]
    3.7. Приложения теории КАМ [211]
  § 4. Адиабатические инварианты [214]
    4.1. Адиабатическая инвариантность переменной «действие» в одночастотных системах [214]
    4.2. Адиабатические инварианты многочастотных гамильтоновых систем [219]
    4.3. Процедура исключения быстрых переменных. Время сохранения адиабатического инварианта [221]
    4.4. Точность сохранения адиабатического инварианта [222]
    4.5. Вечное сохранение адиабатических инвариантов [224]
Глава 6. Неинтегрируемые системы [226]
  § 1. Гамильтоновы системы, мало отличающиеся от интегрируемых [226]
    1.1. Метод Пуанкаре [227]
    1.2. Рождение изолированных периодических решений — препятствие к интегрируемости [229]
    1.3. Приложения метода Пуанкаре [232]
  § 2. Расщепление асимптотических поверхностей [235]
    2.1. Условия расщепления [235]
    2.2. Расщепление асимптотических поверхностей — препятствие к интегрируемости [239]
    2.3. Некоторые приложения [242]
  § 3. Квазислучайные колебания [246]
    3.1. Отображение последования [247]
    3.2. Символическая динамика [250]
    3.3. Отсутствие аналитических интегралов [252]
  § 4. Неинтегрируемость в окрестности положения равновесия (метод К. Зигеля) [253]
  § 5. Ветвление решений и отсутствие однозначных интегралов [257]
    5.1. Ветвление решений — препятствие к интегрируемости [257]
    5.2. Группы монодромии гамильтоновых систем с однозначными интегралами [260]
  § 6. Топологические и геометрические препятствия к полной интегрируемости натуральных систем с двумя степенями свободы [264]
    6.1. Топология пространства положений интегрируемой системы [264]
    6.2. Геометрические препятствия к интегрируемости [266]
Глава 7. Теория малых колебаний [267]
  § 1. Линеаризация [267]
  § 2. Нормальные формы линейных колебаний [268]
    2.1. Нормальная форма линейной лагранжевой натуральной системы [268]
    2.2. Теоремы Релея — Фишера — Куранта о поведении собственных частот при увеличении жесткости и наложении связи [269]
    2.3. Нормальные формы квадратичных гамильтонианов [269]
  § 3. Нормальные формы гамильтоновых систем около равновесия [271]
    3.1. Приведение к нормальной форме [271]
    3.2. Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы в окрестности равновесия при резонансе [274]
    3.3. Устойчивость равновесий гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при резонансах [280]
  § 4. Нормальные формы гамильтоновых систем около замкнутых траекторий [282]
    4.1. Сведение к равновесию системы с периодическими коэффициентами [282]
    4.2. Приведение системы с периодическими коэффициентами к нормальной форме [282]
    4.3. Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы около замкнутой траектории при резонансе [282]
  § 5. Устойчивость равновесия в потенциальном поле [287]
Комментарии к списку литературы [291]
Рекомендуемая литература [292]
Литература [294]
Предметный указатель [301]
Формат: djvu
Размер:4056174 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 260 Рейтинг
Открыть: