"Популярные лекции по математике", выпуск 44. Инверсия
Автор(ы): | Бакельман И. Я.
07.07.2008
|
Описание: | В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это прежде всего относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственных построений, носящих частный характер. Кроме указанных приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной и так называемой высшей геометрии. Речь идет об интерпретации геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости. Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее, с простейшими функциями, аргументом и значениями которых являются комплексные числа. Настоящая книга посвящена преобразованию инверсии и ряду ее приложений. Для удобства изложения материал разбит на три главы. В первой главе подробно изучается преобразование инверсии и даются ее приложения к вопросам элементарной геометрии. Во второй главе показано, что преобразования, рассмотренные в главе I, могут быть заданы линейными и дробно-линейными функциями комплексного аргумента. Устанавливается также, что и обратно, такие функции описывают преобразования плоскости, сводящиеся к последовательному выполнению движений, гомотетии и, может быть, инверсий. В третьей главе излагается теоретико-групповая точка зрения обоснования геометрии, с помощью которой, опираясь на материал глав I и II, строятся кратко планиметрия Евклида и планиметрия Лобачевского. Более подробное изложение вопросов, затронутых в главе III, читатель может найти в книге Н. В. Ефимова "Высшая геометрия". В основу настоящей книги легли лекции, прочитанные автором в разное время школьникам г. Ленинграда. |
Оглавление: |
Предисловие [3] Глава 1. Инверсия и пучки окружностей § 1. Простейшие преобразования плоскости [5] § 2. Стереографическая проекция. Бесконечно удаленная точка плоскости [11] § 3. Инверсия [14] § 4. Свойства инверсии [16] § 5. Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей [24] § б. Приложение инверсии к решению задач на построение [30] § 7. Пучкн окружностей [38] § 8. Строение эллиптического пучка [46] § 9. Строение параболического пучка [48] § 10. Строение гиперболического пучка [49] § 11. Теорема Птолемея [52] Глава II. Комплексные числа и инверсия § 12. Геометрическое изображение комплексных чисел и действий над ними [55] § 13. Линейная функция комплексного переменного и простейшие преобразовании плоскости [59] § 14. Дробно-линейная функция комплексного переменного и связанные с ней точечные преобразования плоскости [61] Глава III. Группы преобразований. Геометрии Евклида и Лобачевского § 15. Геометрия группы преобразований [65] § 16. Евклидова геометрия [71] § 17. Геометрия Лобачевского [75] |
Формат: | djvu |
Размер: | 606299 байт |
Язык: | РУС |
Рейтинг: | 85 |
Открыть: | Ссылка (RU) |