"Популярные лекции по математике", выпуск 44. Инверсия

Автор(ы):Бакельман И. Я.
07.07.2008
Описание: В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это прежде всего относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственных построений, носящих частный характер. Кроме указанных приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной и так называемой высшей геометрии. Речь идет об интерпретации геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости. Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее, с простейшими функциями, аргументом и значениями которых являются комплексные числа. Настоящая книга посвящена преобразованию инверсии и ряду ее приложений. Для удобства изложения материал разбит на три главы. В первой главе подробно изучается преобразование инверсии и даются ее приложения к вопросам элементарной геометрии. Во второй главе показано, что преобразования, рассмотренные в главе I, могут быть заданы линейными и дробно-линейными функциями комплексного аргумента. Устанавливается также, что и обратно, такие функции описывают преобразования плоскости, сводящиеся к последовательному выполнению движений, гомотетии и, может быть, инверсий. В третьей главе излагается теоретико-групповая точка зрения обоснования геометрии, с помощью которой, опираясь на материал глав I и II, строятся кратко планиметрия Евклида и планиметрия Лобачевского. Более подробное изложение вопросов, затронутых в главе III, читатель может найти в книге Н. В. Ефимова "Высшая геометрия". В основу настоящей книги легли лекции, прочитанные автором в разное время школьникам г. Ленинграда.
Оглавление: Предисловие [3]
Глава 1. Инверсия и пучки окружностей
  § 1. Простейшие преобразования плоскости [5]
  § 2. Стереографическая проекция. Бесконечно удаленная точка плоскости [11]
  § 3. Инверсия [14]
  § 4. Свойства инверсии [16]
  § 5. Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей [24]
  § б. Приложение инверсии к решению задач на построение [30]
  § 7. Пучкн окружностей [38]
  § 8. Строение эллиптического пучка [46]
  § 9. Строение параболического пучка [48]
  § 10. Строение гиперболического пучка [49]
  § 11. Теорема Птолемея [52]
Глава II. Комплексные числа и инверсия
  § 12. Геометрическое изображение комплексных чисел и действий над ними [55]
  § 13. Линейная функция комплексного переменного и простейшие преобразовании плоскости [59]
  § 14. Дробно-линейная функция комплексного переменного и связанные с ней точечные преобразования плоскости [61]
Глава III. Группы преобразований. Геометрии Евклида и Лобачевского
  § 15. Геометрия группы преобразований [65]
  § 16. Евклидова геометрия [71]
  § 17. Геометрия Лобачевского [75]
Формат: djvu
Размер:606299 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 173 Рейтинг
Открыть: