Лекции по высшей математике, изд. 4
Автор(ы): | Мышкис А. Д.
10.06.2008
|
Год изд.: | 1973 |
Издание: | 4 |
Описание: | Аннотация отсутствует. Цитируем введение: "Эта книга написана на основе лекций, прочитанных автором на протяжении ряда лет студентам высших технических учебных заведений различных специальностей, а также студентам-физикам. Ее содержание соответствует утвержденной в 1964 г. программе общего курса высшей математики для инженерно-технических специальностей вузов. Некоторые менее существенные, по мнению автора, пункты из этой программы в книге опущены. С другой стороны, добавлен ряд вопросов, выходящих из указанной программы, но непосредственно примыкающих к ней. Для удобства читателя изложение этих вопросов напечатано мелким шрифтом; мелким шрифтом набраны также пункты, которые в указанной программе приведены как необязательные, и примеры." |
Оглавление: |
Обложка книги.
Предисловие [12]Введение [15] 1. Предмет и происхождение математики [15] 2. Значение математики и математических знаний [16] 3. Абстрактность [18] 4. Характерные черты высшей математики [19] 5. Замечания о развитии математики [21] 6. Математика в Советском Союзе [22] Глава I. Величина и функция [24] § 1. Величина [24] 1. Понятие величины [24] 2. Размерность величины [24] 3. Постоянные и переменные величины [25] 4. Числовая ось. Логарифмическая линейка [26] 5. Характеристики переменных величин [28] § 2. Приближенные значения величины [30] 6. Понятие приближенного значения [30] 7. Погрешности [30] 8. Запись приближенных чисел [31] 9. Сложение и вычитание приближенных чисел [32] 10. Умножение и деление приближенных чисел. Общие замечания [34] § 3. Функции и графики [36] 11. Функциональная зависимость [36] 12. Обозначения [37] 13. Способы задания функций [39] 14. Графики функций [41] 15. Область определения функции [42] 16. Характеристики поведения функции [44] 17. Алгебраическая классификация функций [47] 18. Элементарные функции [48] 19. Преобразования графиков [49] 20. Неявные функции [51] 21. Обратные функции [52] § 4. Обзор простейших функций [54] 22. Линейная функция [54] 23. Квадратичная функция [56] 24. Степенная функция [57] 25. Дробно-линейная функция [59] 26. Логарифмическая функция [60] 27. Показательная функция [62] 28. Гиперболические функции [62] 29. Тригонометрические функции [64] 30. Подбор эмпирической формулы [67] Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости [69] § 1. Координаты на плоскости [69] 1. Декартовы координаты [69] 2. Простые задачи на декартовы координаты [70] 3. Полярные координаты [71] § 2. Линии на плоскости [72] 4. Уравнение линии в декартовых координатах [72] 5. Уравнение линии в полярных координатах [74] 6. Параметрическое задание линий и функций [76] 7. Алгебраические линии [78] 8. Особые случаи [80] § 3. Алгебраические линии первых двух порядков [81] 9. Линии первого порядка [81] 10. Эллипс [83] 11. Гипербола [86] 12. Родство эллипса, гиперболы и параболы [88] 13. Общее уравнение линии второго порядка [90] Глава III. Предел. Непрерывность [93] § 1. Бесконечно малые и бесконечно большие величины [93] 1. Бесконечно малые величины [93] 2. Свойства бесконечно малых [95] 3. Бесконечно большие величины [96] § 2. Предеды [97] 4. Определение [97] 5. Свойства пределов [99] 6. Сумма числового ряда [101] § 3. Сравнение бесконечно малых [104] 7. Сравнение бесконечно малых [104] 8. Свойства эквивалентных бесконечно малых [105] 9. Важные примеры [105] 10. Порядок малости [107] 11. Сравнение бесконечно больших [107] § 4. Непрерывные и разрывные функции [108] 12. Развернутое определение непрерывной функции [108] 13. Точки разрыва [108] 14. Свойства непрерывных функций [110] 15. Некоторые приложения [113] Глава IV. Производные, дифференциалы, исследование изменения функции [115] § 1. Производная [115] 1. Примеры, приводящие к понятию производной [115] 2. Определение производной [116] 3. Геометрический смысл производной [117] 4. Основные свойства производной [119] 5. Производные основных элементарных функций [122] 6. Касательная в полярных координатах [125] § 2. Дифференциал [127] 7. Физические примеры [127] 8. Определение дифференциала и связь его с приращением [128] 9. Свойства дифференциала [130] 10. Применение дифференциала в приближенных вычислениях [131] § 3. Производные и дифференциалы высших порядков [133] 11. Производные высших порядков [133] 12. Дифференциалы высших порядков [134] § 4. Правило Лопиталя [135] 13. Неопределенности вида [135] 14. Неопределенности вида [137] § 5. Формула и ряд Тейлора [138] 15. Формула Тейлора [138] 16. Ряд Тейлора [140] § 6. Интервалы монотонности и экстремум [142] 17. Знак производной [142] 18. Точки экстремума [143] 19. Наибольшее и наименьшее значения функции [144] § 7. Построение графиков [148] 20. Участки выпуклости графика и точки перегиба [148] 21. Асимптоты графика [148] 22. Общая схема исследования функции и построения ее графика [149] Глава V. Приближенное решение конечных уравнений. Интерполяция [152] § 1. Приближенное решение конечных уравнений [152] 1. Введение [152] 2. Методы проб, хорд и касательных [154] 3. Метод итераций [156] 4. Формула конечных приращений [158] 5. Метод малого параметра [160] § 2. Интерполяция [162] 6. Интерполяционная формула Лагранжа [162] 7. Конечные разности и их связь с производными [163] 8. Интерполяционные формулы Ньютона [166] 9. Численное дифференцирование [168] Глава VI. Определители и системы линейных алгебраических уравнений [170] § 1. Определители [170] 1. Определение [170] 2. Свойства [171] 3. Разложение определителя по элементам ряда [173] § 2. Система линейных алгебраических уравнений [175] 4. Формулы для решения [175] 5. Численное решение [177] 6. Случай (?) [178] Глава VII. Векторы [181] § 1. Линейные действия над векторами [181] 1. Скалярные и векторные величины [181] 2. Сложение векторов [182] 3. Нуль-вектор и вычитание векторов [183] 4. Умножение вектора на скаляр [184] 5. Линейная комбинация векторов [185] § 2. Скалярное произведение векторов [187] 6. Проекция вектора на ось [187] 7. Скалярное произведение [188] 8. Свойства скалярного произведения [189] § 3. Декартовы координаты в пространстве [189] 9. Декартовы координаты в пространстве [189] 10. Простые задачи на декартовы координаты [190] § 4. Векторное произведение векторов [193] 11. Ориентация поверхности и вектор площадки [193] 12. Векторное произведение [194] 13. Свойства векторного произведения [196] 14. Истинные векторы и псевдовекторы [199] § 5. Произведения трех векторов [199] 15. Векторно-скалярное произведение [199] 16. Векторно-векторное произведение [200] § 6. Линейные пространства [201] 17. Понятие линейного пространства [201] 18. Примеры [203] 19. Размерность линейного пространства [204] 20. Понятие евклидова пространства [207] 21. Ортогональность [208] $ 7. Векторные функции скалярного аргумента и кривизна [210] 22. Переменные векторные величины [210] 23. Векторная функция скалярного аргумента [210] 24. Понятия, связанные со второй производной [213] 25. Соприкасающаяся окружность [214] 26. Эволюта и эвольвента [216] Глава VIII. Комплексные числа и функции [219] § 1. Комплексные числа [219] 1. Комплексная плоскость [219] 2. Алгебраические действия над комплексными числами [220] 3. Сопряженные комплексные числа [222] 4. Формула Эйлера [224] 5. Логарифмы комплексных чисел [226] § 2. Комплексные функции от вещественного аргумента [226] 6. Определение и свойства [226] 7. Применение к описанию колебаний [228] § 3. Понятие о функциях комплексного переменного [229] 8. Разложение многочлена на множители [229] 9. Численное решение алгебраических уравнений [231] 10. Разложение дробно-рациональной функции на простейшие рациональные дроби [234] 11. Общие замечания о функциях комплексного переменного [237] Глава IX. Функции нескольких переменных [239] § 1. Функции двух переменных [239] 1. Способы задания [239] 2. Область определения [242] 3. Линейная функция [242] 4. Непрерывность и разрывы [243] 5. Неявные функции [245] § 2. Функции любого числа переменных [246] 6. Способы задания [246] 7. Функции трех переменных [246] 8. Общий случай [247] 9. Поле [247] § 3. Частные производные и дифференциалы первого порядка [248] 10. Основные определения [248] 11. Полный дифференциал [249] 12. Производная сложной функции [251] 13. Производные неявных функций [253] § 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков [255] 14. Определения [255] 15. Равенство смешанных производных [256] 16. Полный дифференциал высшего порядка [257] Глава X. Аналитическая геометрия в пространстве [258] § 1. Координаты в пространстве [258] 1. Различные виды координат в пространстве [258] 2. Число степеней свободы [259] § 2. Поверхности и линии в пространстве [262] 3. Поверхности в пространстве [262] 4. Цилиндры, конусы, поверхности вращения [262] 5. Линия в пространстве [264] 6. Параметрическое задание поверхностей в пространстве и функций [265] § 3. Алгебраические поверхности первых двух порядков [266] 7. Поверхности первого порядка [266] 8. Эллипсоид [269] 9. Гиперболоиды [270] 10. Параболоиды [272] 11. Обзор поверхностей второго порядка [273] Глава XI. Матрицы и их применение [274] § 1. Матрицы [274] 1. Определения [274] 2. Действия над матрицами [276] 3. Обратная матрица [277] 4. Собственные векторы и собственные значения матрицы [279] 5. Ранг матрицы [280] § 2. Линейные отображения [282] 6. Линейное отображение и его матрица [282] 7. Преобразование матрицы отображения при замене базиса [288] 8. Матрица отображения в базисе из собственных векторов [290] 9. Замена декартова базиса [291] 10. Симметрические матрицы [293] § 3. Квадратичные формы [294] 11. Квадратичные формы [294] 12. Упрощение уравнений линий и поверхностей второго порядка [296] § 4. Нелинейные отображения [297] 13. Общие понятия [297] 14. Нелинейное отображение в малом [298] 15. Функциональная зависимость функций [300] Глава XII. Применение частных производных [302] § 1. Скалярное поле [302] 1. Производная по направлению и градиент [302] 2. Поверхности уровня [304] 3. Неявные функции двух переменных [306] 4. Плоские поля [307] 5. Огибающая однопа-раметрического семейства линий [307] § 2. Экстремум функции нескольких переменных [308] 6. Формула Тейлора для функции нескольких переменных [309] 7. Экстремум [310] 8. Метод наименьших квадратов [313] 9. Кривизна поверхностей [315] 10 Условный экстремум [317] 11. Экстремум с ограничениями [319] 12. Численное решение систем уравнений [321] Глава XIII. Неопределенный интеграт [323] § 1. Элементарные методы интегрирования [323] 1. Основные определения [323] 2. Простейшие интегралы [324] 3. Простейшие свойства неопределенного интеграла [327] 4. Интегрирование по частям [329] 5. Замена переменной [330] § 2. Систематическое интегрирование [333] 6. Интегрирование рациональных функций [333] 7. Линейные и дробно-линейные иррациональности [335] 8. Квадратичные иррациональности [336] 9. Дифференциальный бином [339] 10. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций [339] 11. Общие замечания [341] Глава XIV. Определенный интеграл [344] § 1. Определение и основные свойства [344] 1. Примеры, приводящие к понятию определенного интеграла [344] 2. Основное определение [346] 3. Связь определенного интеграла с неопределенным [349] 4. Основные свойства определенного интеграла [352] 5. Интегрирование неравенств [356] § 2. Применение определенного интеграла [359] 6. Две схемы применения [359] 7. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными [361] 8. Вычисление площадей плоских фигур [362] 9. Длина дуги [365] 10. Объем тела [366] 11. Площадь поверхности вращения [367] § 3. Численное интегрирование [369] 12. Общие замечания [369] 13. Формулы численного интегрирования [371] § 4. Несобственные интегралы [374] 14. Интеграл с бесконечным пределом интегрирования [374] 15. Основные свойства интегралов с бесконечным пределом интегрирования [376] 16. Несобственные интегралы иных видов [382] 17. Гамма-функция [385] 18. Бета-функция [387] 19. Главное значение расходящегося интеграла [388] § 5. Интегралы, зависящие от параметра [390] 20. Собственные интегралы [390] 21. Несобственные интегралы [391] § 6. Криволинейные интегралы [393] 22. Интеграл по длине дуги [393] 23. Интеграл по координате [395] 24. Условия независимости криволинейного интеграла по координатам от контура интегрирования [398] § 7. Понятие об обобщенных функциях [401] 25. Дельта-функция [401] 26. Приложение к построению функции влияния [403] 27. Другие обобщенные функции [406] Глава XV. Дифференциальные уравнения [408] § 1. Общие понятия [408] 1. Примеры [408] 2. Основные определения [409] § 2. Уравнения первого порядка [411] 3. Геометрический смысл [411] 4. Интегрируемые типы уравнений [413] 5. Уравнение для экспоненты [416] 6. Интегрирование полного дифференциала [418] 7. Особые точки и особые решения [420] 8. Уравнения, не разрешенные относительно производной [423] 9. Метод предварительного дифференцирования [423] § 3. Уравнения высших порядков и системы уравнений [425] 10. Уравнения высших порядков [425] 11. Связь уравнений высшего порядка с системами уравнений первого порядка [427] 12. Геометрический смысл системы уравнений первого порядка [428] 13. Первые интегралы [430] § 4. Линейные уравнения общего вида [432] 14. Линейные однородные уравнения [432] 15. Неоднородные уравнения [434] 16. Краевые задачи [438] § 5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами [441] 17. Однородные уравнения [442] 18. Неоднородные уравнения с правыми частями специального вида [445] 19. Уравнение Эйлера [449] 20. Операторы и операторное решение уравнений [449] § 6. Системы линейных уравнений [452] 21.Системы линейных уравнений [452] 22. Приложение к выяснению устойчивости по Ляпунову состояния равновесия [456] § 7. Приближенное и численное решение уравнений [458] 23. Метод итераций [459] 24. Применение ряда Тейлора [460] 25. Применение степенных рядов с неопределенными коэффициентами [461] 26. Функции Бесселя [462] 27. Метод малого параметра [464] 28. Общие замечания о зависимости решения от параметра [466] 29. Методы улучшения невязки [468] 30. Метод упрощения [469] 31. Метод Эйлера [470] 32. Метод Рунге—Кутта [472] 33. Метод Адамса [473] 34. Метод Милна [474] Глава XVI. Кратные интегралы [476] § 1. Определение и основные свойства кратных интегралов [476] 1. Примеры, приводящие к понятию кратного интеграла [476] 2. Определение кратных интегралов [477] 3. Основные свойства интегралов [478] 4. Основные методы применения кратных интегралов [480] 5. Геометрический смысл интеграла, взятого по плоской фигуре [481] § 2. Два типа физических величин [482] 6. Основной пример. Масса и плотность [482] 7. Величины, распределенные по пространству [483] § 3. Вычисление кратных интегралов в декартовых координатах [485] 8. Интеграл по прямоугольнику [485] 9. Интеграл по произвольной плоской фигуре [487] 10. Интеграл по произвольной поверхности [489] 11. Интеграл по объему [491] § 4. Замена переменных в кратных интегралах [492] 12. Переход к полярным координатам на плоскости [492] 13. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в пространстве [493] 14. Общие криволинейные координаты на плоскости [494] 15. Общие криволинейные координаты в пространстве [496] 16. Координаты на поверхности [497] § 5. Варианты кратных интегралов [499] 17. Несобственные интегралы [499] 18. Интегралы, зависящие от параметра [501] 19. Интеграл по общей мере и обобщенные функции [502] 20. Многомерные интегралы [504] § 6. Векторное поле [506] 21. Векторные линии [506] 22. Поток вектора через поверхность [507] 23. Дивергенция [508] 24. Выражение дивергенции в декартовых координатах [510] 25. Линейный интеграл и циркуляция [511] 26. Ротор [512] 27. Формулы Грина и Стокса [515] 28. Выражение векторных операций в криволинейной ортогональной системе координат [517] 29. Общая формула для преобразования интегралов [518] Глава XVII. Ряды [520] § 1. Числовые ряды [520] 1. Ряды с положительными членами [520] 2. Ряды с членами любого знака [524] 3. Действия с рядами [525] 4. Скорость сходимости ряда [527] 5. Ряды с комплексными, векторными и матричными членами [530] 6. Кратные ряды [531] § 2. Общие функциональные ряды [533] 7. Уклонение функций [533] 8. Сходимость функционального ряда [534] 9. Свойства функциональных рядов [535] § 3. Степенные ряды [537] 10. Интервал сходимости [537] 11. Свойства степенных рядов [538] 12. Конечные действия над степенными рядами [541] 13. Степенной ряд как ряд Тейлора [544] 14. Степенные ряды с комплексными членами [545] 15. Понятие о числах Бернулли [546] 16. Применение рядов к решению разностных уравнений [547] 17. Кратные степенные ряды [548] 18. Функции от матриц [549] 19. Асимптотические разложения [551] § 4. Тригонометрические ряды [553] 20. Свойство ортогональности [553] 21. Ряды по ортогональным функциям [555] 22. Ряды Фурье [556] 23. Разложение периодической функции [560] 24. Пример. Функции Бесселя как коэффициенты Фурье [562] 25. Характер сходимости ряда Фурье [563] 26. Комплексная форма ряда Фурье [566] 27. Равенство Парсевэля [567] 28. Пространство Гильберта [568] 29. Ортогональность с весом [570] 30. Кратные ряды Фурье [571] 31. Приложение к уравнению колебаний конечной струны [572] § 5. Преобразование Фурье [574] 32. Формулы преобразования Фурье [574] 33. Свойства преобразования Фурье [576] 34. Приложение к уравнению колебаний бесконечной струны [578] Глава XVIII. Элементы теории вероятностей [579] § 1. Случайные события и их вероятности [579] 1. Случайные события [579] 2. Вероятность [580] 3. Основные свойства вероятности [582] 4. Правило умножения вероятностей [584] 5. Формула полной вероятности [585] 6. Формула вероятностей гипотез [586] 7. Принцип игнорирования маловероятных событий [587] § 2. Случайные величины [588] 8. Определения [588] 9. Примеры дискретных случайных величин [589] 10. Примеры непрерывных случайных величин [591] 11. Системы случайных величин [592] 12. Функции от случайных аргументов [593] § 3. Числовые характеристики случайных величин [594] 13. Среднее значение [594] 14. Свойства среднего значения [595] 15. Дисперсия [597] 16. Корреляционная зависимость [598] 17. Характеристическая функция [599] § 4. Применения нормального закона [601] 18. Нормальный закон как предельный [601] 19. Доверительные оценки средних [603] 20. Обработка эмпирических данных [604] Глава XIX. О современной вычислительной технике [607] § 1. Два основных типа вычислительных машин [607] 1. Моделирующие вычислительные машины [608] 2. Цифровые вычислительные машины [611] § 2. Понятие о программировании [613] 3. Системы счисления [613] 4. Запись чисел в машине [615] 5. Команды [618] 6. Примеры программирования [619] 7. Краткие сведения о советских электронных универсальных цифровых машинах [626] Рекомендуемая литература [630] Предметный указатель [632] Указатель обозначений [640] |
Формат: | djvu |
Размер: | 12558450 байт |
Язык: | РУС |
Рейтинг: | 313 |
Открыть: | Ссылка (RU) |