Лекции по высшей математике

Автор(ы):Мышкис А. Д.
10.06.2008
Год изд.:1973
Издание:4
Описание: Аннотация отсутствует. Цитируем введение: "Эта книга написана на основе лекций, прочитанных автором на протяжении ряда лет студентам высших технических учебных заведений различных специальностей, а также студентам-физикам. Ее содержание соответствует утвержденной в 1964 г. программе общего курса высшей математики для инженерно-технических специальностей вузов. Некоторые менее существенные, по мнению автора, пункты из этой программы в книге опущены. С другой стороны, добавлен ряд вопросов, выходящих из указанной программы, но непосредственно примыкающих к ней. Для удобства читателя изложение этих вопросов напечатано мелким шрифтом; мелким шрифтом набраны также пункты, которые в указанной программе приведены как необязательные, и примеры."
Оглавление:
Лекции по высшей математике — обложка книги.
Предисловие [12]
Введение [15]
  1. Предмет и происхождение математики [15]
  2. Значение математики и математических знаний [16]
  3. Абстрактность [18]
  4. Характерные черты высшей математики [19]
  5. Замечания о развитии математики [21]
  6. Математика в Советском Союзе [22]
Глава I. Величина и функция [24]
  § 1. Величина [24]
    1. Понятие величины [24]
    2. Размерность величины [24]
    3. Постоянные и переменные величины [25]
    4. Числовая ось. Логарифмическая линейка [26]
    5. Характеристики переменных величин [28]
  § 2. Приближенные значения величины [30]
    6. Понятие приближенного значения [30]
    7. Погрешности [30]
    8. Запись приближенных чисел [31]
    9. Сложение и вычитание приближенных чисел [32]
    10. Умножение и деление приближенных чисел. Общие замечания [34]
  § 3. Функции и графики [36]
    11. Функциональная зависимость [36]
    12. Обозначения [37]
    13. Способы задания функций [39]
    14. Графики функций [41]
    15. Область определения функции [42]
    16. Характеристики поведения функции [44]
    17. Алгебраическая классификация функций [47]
    18. Элементарные функции [48]
    19. Преобразования графиков [49]
    20. Неявные функции [51]
    21. Обратные функции [52]
  § 4. Обзор простейших функций [54]
    22. Линейная функция [54]
    23. Квадратичная функция [56]
    24. Степенная функция [57]
    25. Дробно-линейная функция [59]
    26. Логарифмическая функция [60]
    27. Показательная функция [62]
    28. Гиперболические функции [62]
    29. Тригонометрические функции [64]
    30. Подбор эмпирической формулы [67]
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости [69]
  § 1. Координаты на плоскости [69]
    1. Декартовы координаты [69]
    2. Простые задачи на декартовы координаты [70]
    3. Полярные координаты [71]
  § 2. Линии на плоскости [72]
    4. Уравнение линии в декартовых координатах [72]
    5. Уравнение линии в полярных координатах [74]
    6. Параметрическое задание линий и функций [76]
    7. Алгебраические линии [78]
    8. Особые случаи [80]
  § 3. Алгебраические линии первых двух порядков [81]
    9. Линии первого порядка [81]
    10. Эллипс [83]
    11. Гипербола [86]
    12. Родство эллипса, гиперболы и параболы [88]
    13. Общее уравнение линии второго порядка [90]
Глава III. Предел. Непрерывность [93]
  § 1. Бесконечно малые и бесконечно большие величины [93]
    1. Бесконечно малые величины [93]
    2. Свойства бесконечно малых [95]
    3. Бесконечно большие величины [96]
  § 2. Предеды [97]
    4. Определение [97]
    5. Свойства пределов [99]
    6. Сумма числового ряда [101]
  § 3. Сравнение бесконечно малых [104]
    7. Сравнение бесконечно малых [104]
    8. Свойства эквивалентных бесконечно малых [105]
    9. Важные примеры [105]
    10. Порядок малости [107]
    11. Сравнение бесконечно больших [107]
  § 4. Непрерывные и разрывные функции [108]
    12. Развернутое определение непрерывной функции [108]
    13. Точки разрыва [108]
     14. Свойства непрерывных функций [110]
    15. Некоторые приложения [113]
Глава IV. Производные, дифференциалы, исследование изменения функции [115]
  § 1. Производная [115]
    1. Примеры, приводящие к понятию производной [115]
    2. Определение производной [116]
    3. Геометрический смысл производной [117]
    4. Основные свойства производной [119]
    5. Производные основных элементарных функций [122]
    6. Касательная в полярных координатах [125]
  § 2. Дифференциал [127]
    7. Физические примеры [127]
    8. Определение дифференциала и связь его с приращением [128]
    9. Свойства дифференциала [130]
    10. Применение дифференциала в приближенных вычислениях [131]
  § 3. Производные и дифференциалы высших порядков [133]
    11. Производные высших порядков [133]
    12. Дифференциалы высших порядков [134]
  § 4. Правило Лопиталя [135]
    13. Неопределенности вида [135]
    14. Неопределенности вида [137]
  § 5. Формула и ряд Тейлора [138]
    15. Формула Тейлора [138]
    16. Ряд Тейлора [140]
  § 6. Интервалы монотонности и экстремум [142]
    17. Знак производной [142]
    18. Точки экстремума [143]
    19. Наибольшее и наименьшее значения функции [144]
  § 7. Построение графиков [148]
    20. Участки выпуклости графика и точки перегиба [148]
    21. Асимптоты графика [148]
    22. Общая схема исследования функции и построения ее графика [149]
Глава V. Приближенное решение конечных уравнений. Интерполяция [152]
  § 1. Приближенное решение конечных уравнений [152]
    1. Введение [152]
    2. Методы проб, хорд и касательных [154]
    3. Метод итераций [156]
    4. Формула конечных приращений [158]
    5. Метод малого параметра [160]
  § 2. Интерполяция [162]
    6. Интерполяционная формула Лагранжа [162]
    7. Конечные разности и их связь с производными [163]
    8. Интерполяционные формулы Ньютона [166]
    9. Численное дифференцирование [168]
Глава VI. Определители и системы линейных алгебраических уравнений [170]
  § 1. Определители [170]
    1. Определение [170]
    2. Свойства [171]
    3. Разложение определителя по элементам ряда [173]
  § 2. Система линейных алгебраических уравнений [175]
    4. Формулы для решения [175]
    5. Численное решение [177]
    6. Случай (?) [178]
Глава VII. Векторы [181]
  § 1. Линейные действия над векторами [181]
    1. Скалярные и векторные величины [181]
    2. Сложение векторов [182]
    3. Нуль-вектор и вычитание векторов [183]
    4. Умножение вектора на скаляр [184]
    5. Линейная комбинация векторов [185]
  § 2. Скалярное произведение векторов [187]
    6. Проекция вектора на ось [187]
    7. Скалярное произведение [188]
    8. Свойства скалярного произведения [189]
  § 3. Декартовы координаты в пространстве [189]
    9. Декартовы координаты в пространстве [189]
    10. Простые задачи на декартовы координаты [190]
  § 4. Векторное произведение векторов [193]
    11. Ориентация поверхности и вектор площадки [193]
    12. Векторное произведение [194]
    13. Свойства векторного произведения [196]
    14. Истинные векторы и псевдовекторы [199]
  § 5. Произведения трех векторов [199]
    15. Векторно-скалярное произведение [199]
    16. Векторно-векторное произведение [200]
  § 6. Линейные пространства [201]
    17. Понятие линейного пространства [201]
    18. Примеры [203]
    19. Размерность линейного пространства [204]
    20. Понятие евклидова пространства [207]
    21. Ортогональность [208]
  $ 7. Векторные функции скалярного аргумента и кривизна [210]
    22. Переменные векторные величины [210]
    23. Векторная функция скалярного аргумента [210]
    24. Понятия, связанные со второй производной [213]
    25. Соприкасающаяся окружность [214]
    26. Эволюта и эвольвента [216]
Глава VIII. Комплексные числа и функции [219]
  § 1. Комплексные числа [219]
    1. Комплексная плоскость [219]
    2. Алгебраические действия над комплексными числами [220]
    3. Сопряженные комплексные числа [222]
    4. Формула Эйлера [224]
    5. Логарифмы комплексных чисел [226]
  § 2. Комплексные функции от вещественного аргумента [226]
    6. Определение и свойства [226]
    7. Применение к описанию колебаний [228]
  § 3. Понятие о функциях комплексного переменного [229]
    8. Разложение многочлена на множители [229]
    9. Численное решение алгебраических уравнений [231]
    10. Разложение дробно-рациональной функции на простейшие рациональные дроби [234]
    11. Общие замечания о функциях комплексного переменного [237]
Глава IX. Функции нескольких переменных [239]
  § 1. Функции двух переменных [239]
    1. Способы задания [239]
    2. Область определения [242]
    3. Линейная функция [242]
    4. Непрерывность и разрывы [243]
    5. Неявные функции [245]
  § 2. Функции любого числа переменных [246]
    6. Способы задания [246]
    7. Функции трех переменных [246]
    8. Общий случай [247]
    9. Поле [247]
  § 3. Частные производные и дифференциалы первого порядка [248]
    10. Основные определения [248]
    11. Полный дифференциал [249]
    12. Производная сложной функции [251]
    13. Производные неявных функций [253]
  § 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков [255]
    14. Определения [255]
    15. Равенство смешанных производных [256]
    16. Полный дифференциал высшего порядка [257]
Глава X. Аналитическая геометрия в пространстве [258]
  § 1. Координаты в пространстве [258]
    1. Различные виды координат в пространстве [258]
    2. Число степеней свободы [259]
  § 2. Поверхности и линии в пространстве [262]
    3. Поверхности в пространстве [262]
    4. Цилиндры, конусы, поверхности вращения [262]
    5. Линия в пространстве [264]
    6. Параметрическое задание поверхностей в пространстве и функций [265]
  § 3. Алгебраические поверхности первых двух порядков [266]
    7. Поверхности первого порядка [266]
    8. Эллипсоид [269]
    9. Гиперболоиды [270]
    10. Параболоиды [272]
    11. Обзор поверхностей второго порядка [273]
Глава XI. Матрицы и их применение [274]
  § 1. Матрицы [274]
    1. Определения [274]
    2. Действия над матрицами [276]
    3. Обратная матрица [277]
    4. Собственные векторы и собственные значения матрицы [279]
    5. Ранг матрицы [280]
  § 2. Линейные отображения [282]
    6. Линейное отображение и его матрица [282]
    7. Преобразование матрицы отображения при замене базиса [288]
    8. Матрица отображения в базисе из собственных векторов [290]
    9. Замена декартова базиса [291]
    10. Симметрические матрицы [293]
  § 3. Квадратичные формы [294]
    11. Квадратичные формы [294]
    12. Упрощение уравнений линий и поверхностей второго порядка [296]
  § 4. Нелинейные отображения [297]
    13. Общие понятия [297]
    14. Нелинейное отображение в малом [298]
    15. Функциональная зависимость функций [300]
Глава XII. Применение частных производных [302]
  § 1. Скалярное поле [302]
    1. Производная по направлению и градиент [302]
    2. Поверхности уровня [304]
    3. Неявные функции двух переменных [306]
    4. Плоские поля [307]
    5. Огибающая однопа-раметрического семейства линий [307]
  § 2. Экстремум функции нескольких переменных [308]
    6. Формула Тейлора для функции нескольких переменных [309]
    7. Экстремум [310]
    8. Метод наименьших квадратов [313]
    9. Кривизна поверхностей [315]
    10 Условный экстремум [317]
    11. Экстремум с ограничениями [319]
    12. Численное решение систем уравнений [321]
Глава XIII. Неопределенный интеграт [323]
  § 1. Элементарные методы интегрирования [323]
    1. Основные определения [323]
    2. Простейшие интегралы [324]
    3. Простейшие свойства неопределенного интеграла [327]
    4. Интегрирование по частям [329]
    5. Замена переменной [330]
  § 2. Систематическое интегрирование [333]
    6. Интегрирование рациональных функций [333]
    7. Линейные и дробно-линейные иррациональности [335]
    8. Квадратичные иррациональности [336]
    9. Дифференциальный бином [339]
    10. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций [339]
    11. Общие замечания [341]
Глава XIV. Определенный интеграл [344]
  § 1. Определение и основные свойства [344]
    1. Примеры, приводящие к понятию определенного интеграла [344]
    2. Основное определение [346]
    3. Связь определенного интеграла с неопределенным [349]
    4. Основные свойства определенного интеграла [352]
    5. Интегрирование неравенств [356]
  § 2. Применение определенного интеграла [359]
    6. Две схемы применения [359]
    7. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными [361]
    8. Вычисление площадей плоских фигур [362]
    9. Длина дуги [365]
    10. Объем тела [366]
11. Площадь поверхности вращения [367]
  § 3. Численное интегрирование [369]
    12. Общие замечания [369]
    13. Формулы численного интегрирования [371]
  § 4. Несобственные интегралы [374]
    14. Интеграл с бесконечным пределом интегрирования [374]
    15. Основные свойства интегралов с бесконечным пределом интегрирования [376]
    16. Несобственные интегралы иных видов [382]
    17. Гамма-функция [385]
    18. Бета-функция [387]
    19. Главное значение расходящегося интеграла [388]
  § 5. Интегралы, зависящие от параметра [390]
    20. Собственные интегралы [390]
    21. Несобственные интегралы [391]
  § 6. Криволинейные интегралы [393]
    22. Интеграл по длине дуги [393]
    23. Интеграл по координате [395]
    24. Условия независимости криволинейного интеграла по координатам от контура интегрирования [398]
  § 7. Понятие об обобщенных функциях [401]
    25. Дельта-функция [401]
    26. Приложение к построению функции влияния [403]
    27. Другие обобщенные функции [406]
Глава XV. Дифференциальные уравнения [408]
  § 1. Общие понятия [408]
    1. Примеры [408]
    2. Основные определения [409]
  § 2. Уравнения первого порядка [411]
    3. Геометрический смысл [411]
    4. Интегрируемые типы уравнений [413]
    5. Уравнение для экспоненты [416]
    6. Интегрирование полного дифференциала [418]
    7. Особые точки и особые решения [420]
    8. Уравнения, не разрешенные относительно производной [423]
    9. Метод предварительного дифференцирования [423]
  § 3. Уравнения высших порядков и системы уравнений [425]
    10. Уравнения высших порядков [425]
    11. Связь уравнений высшего порядка с системами уравнений первого порядка [427]
    12. Геометрический смысл системы уравнений первого порядка [428]
    13. Первые интегралы [430]
  § 4. Линейные уравнения общего вида [432]
    14. Линейные однородные уравнения [432]
    15. Неоднородные уравнения [434]
    16. Краевые задачи [438]
  § 5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами [441]
    17. Однородные уравнения [442]
    18. Неоднородные уравнения с правыми частями специального вида [445]
    19. Уравнение Эйлера [449]
    20. Операторы и операторное решение уравнений [449]
  § 6. Системы линейных уравнений [452]
    21.Системы линейных уравнений [452]
    22. Приложение к выяснению устойчивости по Ляпунову состояния равновесия [456]
  § 7. Приближенное и численное решение уравнений [458]
    23. Метод итераций [459]
    24. Применение ряда Тейлора [460]
    25. Применение степенных рядов с неопределенными коэффициентами [461]
    26. Функции Бесселя [462]
    27. Метод малого параметра [464]
    28. Общие замечания о зависимости решения от параметра [466]
    29. Методы улучшения невязки [468]
    30. Метод упрощения [469]
    31. Метод Эйлера [470]
    32. Метод Рунге—Кутта [472]
    33. Метод Адамса [473]
    34. Метод Милна [474]
Глава XVI. Кратные интегралы [476]
  § 1. Определение и основные свойства кратных интегралов [476]
    1. Примеры, приводящие к понятию кратного интеграла [476]
    2. Определение кратных интегралов [477]
    3. Основные свойства интегралов [478]
    4. Основные методы применения кратных интегралов [480]
    5. Геометрический смысл интеграла, взятого по плоской фигуре [481]
  § 2. Два типа физических величин [482]
    6. Основной пример. Масса и плотность [482]
    7. Величины, распределенные по пространству [483]
  § 3. Вычисление кратных интегралов в декартовых координатах [485]
    8. Интеграл по прямоугольнику [485]
    9. Интеграл по произвольной плоской фигуре [487]
    10. Интеграл по произвольной поверхности [489]
    11. Интеграл по объему [491]
  § 4. Замена переменных в кратных интегралах [492]
    12. Переход к полярным координатам на плоскости [492]
    13. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в пространстве [493]
    14. Общие криволинейные координаты на плоскости [494]
    15. Общие криволинейные координаты в пространстве [496]
    16. Координаты на поверхности [497]
  § 5. Варианты кратных интегралов [499]
    17. Несобственные интегралы [499]
    18. Интегралы, зависящие от параметра [501]
    19. Интеграл по общей мере и обобщенные функции [502]
    20. Многомерные интегралы [504]
  § 6. Векторное поле [506]
    21. Векторные линии [506]
    22. Поток вектора через поверхность [507]
    23. Дивергенция [508]
    24. Выражение дивергенции в декартовых координатах [510]
    25. Линейный интеграл и циркуляция [511]
    26. Ротор [512]
    27. Формулы Грина и Стокса [515]
    28. Выражение векторных операций в криволинейной ортогональной системе координат [517]
    29. Общая формула для преобразования интегралов [518]
Глава XVII. Ряды [520]
  § 1. Числовые ряды [520]
    1. Ряды с положительными членами [520]
    2. Ряды с членами любого знака [524]
    3. Действия с рядами [525]
    4. Скорость сходимости ряда [527]
    5. Ряды с комплексными, векторными и матричными членами [530]
    6. Кратные ряды [531]
  § 2. Общие функциональные ряды [533]
    7. Уклонение функций [533]
    8. Сходимость функционального ряда [534]
    9. Свойства функциональных рядов [535]
  § 3. Степенные ряды [537]
    10. Интервал сходимости [537]
    11. Свойства степенных рядов [538]
    12. Конечные действия над степенными рядами [541]
    13. Степенной ряд как ряд Тейлора [544]
    14. Степенные ряды с комплексными членами [545]
    15. Понятие о числах Бернулли [546]
    16. Применение рядов к решению разностных уравнений [547]
    17. Кратные степенные ряды [548]
    18. Функции от матриц [549]
    19. Асимптотические разложения [551]
  § 4. Тригонометрические ряды [553]
    20. Свойство ортогональности [553]
    21. Ряды по ортогональным функциям [555]
    22. Ряды Фурье [556]
    23. Разложение периодической функции [560]
    24. Пример. Функции Бесселя как коэффициенты Фурье [562]
    25. Характер сходимости ряда Фурье [563]
    26. Комплексная форма ряда Фурье [566]
    27. Равенство Парсевэля [567]
    28. Пространство Гильберта [568]
    29. Ортогональность с весом [570]
    30. Кратные ряды Фурье [571]
    31. Приложение к уравнению колебаний конечной струны [572]
  § 5. Преобразование Фурье [574]
    32. Формулы преобразования Фурье [574]
    33. Свойства преобразования Фурье [576]
    34. Приложение к уравнению колебаний бесконечной струны [578]
Глава XVIII. Элементы теории вероятностей [579]
  § 1. Случайные события и их вероятности [579]
    1. Случайные события [579]
    2. Вероятность [580]
    3. Основные свойства вероятности [582]
    4. Правило умножения вероятностей [584]
    5. Формула полной вероятности [585]
    6. Формула вероятностей гипотез [586]
    7. Принцип игнорирования маловероятных событий [587]
  § 2. Случайные величины [588]
    8. Определения [588]
    9. Примеры дискретных случайных величин [589]
    10. Примеры непрерывных случайных величин [591]
    11. Системы случайных величин [592]
    12. Функции от случайных аргументов [593]
  § 3. Числовые характеристики случайных величин [594]
    13. Среднее значение [594]
    14. Свойства среднего значения [595]
    15. Дисперсия [597]
    16. Корреляционная зависимость [598]
    17. Характеристическая функция [599]
  § 4. Применения нормального закона [601]
    18. Нормальный закон как предельный [601]
    19. Доверительные оценки средних [603]
    20. Обработка эмпирических данных [604]
Глава XIX. О современной вычислительной технике [607]
  § 1. Два основных типа вычислительных машин [607]
    1. Моделирующие вычислительные машины [608]
    2. Цифровые вычислительные машины [611]
  § 2. Понятие о программировании [613]
    3. Системы счисления [613]
    4. Запись чисел в машине [615]
    5. Команды [618]
    6. Примеры программирования [619]
    7. Краткие сведения о советских электронных универсальных цифровых машинах [626]
Рекомендуемая литература [630]
Предметный указатель [632]
Указатель обозначений [640]
Формат: djvu
Размер:12558450 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 318 Рейтинг
Открыть: