Теория матриц

Автор(ы):Гантмахер Ф. Р.
06.10.2007
Год изд.:1966
Издание:2
Описание: В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т. д. В то же время ни в советской, ни в иностранной литературе нет книги, которая достаточно полно освещала бы как вопросы теории матриц, так и разнообразные ее приложения. Данная книга представляет собой попытку восполнить этот пробел в математической литературе. В основе книги лежат курсы лекций по теории матриц и ее приложениям, читанные автором в разное время на протяжении последних 17 лет в Московском Государственном университете им. М. В. Ломоносова, в Тбилисском Государственном университете и в Московском физико-техническом институте. Книга рассчитана не только на математиков (студентов, аспирантов, научных работников), но и на специалистов в смежных областях (физиков, инженеров-исследователей), интересующихся математикой и ее приложениями.
Оглавление:
Теория матриц — обложка книги.
Предисловие автора к первому изданию [7]
Предисловие редактора ко второму издания [10]
ЧАСТЬ I ОСНОВЫ ТЕОРИИ
  Глава I. Матрицы и действия над ними [13]
    § 1. Матрицы. Основные обозначения [13]
    § 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц [15]
    § 3. Квадратные матрицы [24]
    § 4. Ассоциированные матрицы. Мниоры обратной матрицы [30]
    § 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица [32]
  Глава II. Алгоритм Гаусса и некоторые его применения [41]
    § 1. Метод исключения Гаусса [41]
    § 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса [45]
    § 3. Детерминантное тождество Сильвестра [47]
    § 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители [49]
    § 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными матрицами. Обобщенный алгоритм Гаусса [55]
  Глава III. Линейные операторы в n-мерном векторном пространстве [65]
    § 1. Векторное пространство [65]
    § 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в m-мерное [70]
    § 3. Сложение и умножение линейных операторов [71]
    § 4. Преобразование координат [73]
    § 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра [74]
    § 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в себя [79]
    § 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора [82]
    § 8. Линейные операторы простой структуры [84]
  Глава IV. Характеристический и минимальный многочлены матрицы [87]
    § 1. Сложение и умножение матричных многочленов [87]
    § 2. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу [89]
    § 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица [92]
    § 4. Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы [96]
    § 5. Минимальный многочлен матрицы [98]
  Глава V. Функции от матрицы [103]
    § 1. Определение функции от матрицы [103]
    § 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа—Сильвестра [108]
    § 3. Другие формы определения (?). Компоненты матрицы (?) [111]
    § 4. Представление функций от матриц рядами [115]
    § 5. Некоторые свойства функций от матриц [119]
    § 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы линейных дифференциальных; уравнений с постоянными коэффициентами [124]
    § 7. Устойчивость движения в случае линейной системы [130]
  Глава VI. Эквивалентные преобразования многочленных матриц. Аналитическая теория элементарных делителей [135]
    § 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы [135]
    § 2. Канонический вид (?)-матрицы [139]
    § 3. Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной матрицы [143]
    § 4. Эквивалентность линейных двучленов [148]
    § 5. Критерий подобия матриц [149]
    § 6. Нормальные формы матрицы [151]
    § 7. Элементарные делители матрицы (?) [155]
    § 8. Общий метод построения преобразующей матрицы [159]
    § 9. Второй метод построения преобразующей матрицы [162]
  Глава VII. Структура линейного оператора в n-мерном пространстве (геометрическая теория элементарных делителей) [171]
    § 1. Минимальный многочлен вектора пространства (относительно заданного линейного оператора) [171]
    § 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами [173]
    § 3. Сравнение. Надпространство [175]
    § 4. Расщепление пространства на циклические инвариантные подпространства [177]
    § 5. Нормальная форма матрицы [182]
    § 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители [184]
    § 7. Нормальная жорданова форма матрицы [188]
    § 8. Метод акад. А. Н. Крылова преобразования векового уравнения [190]
  Глава VIII. Матричные уравнения [199]
    § 1. Уравнение АХ=ХВ [199]
    § 2. Частный случай: А=B. Перестановочные матрицы [203]
    § 3. Уравнение АХ—ХВ = С [207]
    § 4. Скалярное уравнение (?)=0 [207]
    § 5. Матричное многочленное уравнение [209]
    § 6. Извлечение корня m-й степени из неособенной матрицы [212]
    § 7. Извлечение корня m-й степени из особенной матрицы [215]
    § 8. Логарифм матрицы [219]
  Глава IX. Линейные операторы в унитарном пространстве [222]
    § 1. Общие соображения [222]
    § 2. Метризация пространства [222]
    § 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов [225]
    § 4. Ортогональное проектирование [227]
    § 5. Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства [229]
    § 6. Ортогонализация ряда векторов [233]
    § 7. Ортонормированный базис [237]
    § 8. Сопряженный оператор [239]
    § 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве [243]
    § 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов [245]
    § 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы операторы [248]
    § 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Формулы Кэли [249]
    § 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве [254]
    § 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом пространстве [260]
    § 15. Коммутирующие нормальные операторы [263]
    § 16. Псевдообратный оператор [265]
  Глава X. Квадратичные и эрмитовы формы [267]
    § 1. Преобразование переменных в квадратичной форме [267]
    § 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции [269]
    § 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Формула Якоби [271]
    § 4. Положительные квадратичные формы [276]
    § 5. Приведение квадратичной формы к главным осям [279]
    § 6. Пучок квадратичных форм [281]
    § 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка форм [286]
    § 8. Малые колебания системы с n степенями свободы [293]
    § 9. Эрмитовы формы [297]
    § 10. Гэнкелевы формы [301]
ЧАСТЬ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
  Глава XI. Комплексные симметрические, кососимметрические и ортогональные матрицы [313]
    § 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных матриц [313]
    § 2. Полярное разложение комплексной матрицы [317]
    § 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы [319]
    § 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы [322]
    § 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы [327]
  Глава XII. Сингулярные пучки матриц [331]
    § 1. Введение [331]
    § 2. Регулярный пучок матриц [332]
    § 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении [335]
    § 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц [340]
    § 5. Минимальные индексы пучка. Критерий строгой эквивалентности пучков [342]
    § 6. Сингулярные пучки квадратичных форм [345]
    § 7. Приложения к дифференциальным уравнениям [348]
  Глава XIII. Матрицы с неотрицательными элементами [352]
    § 1. Общие свойства [352]
    § 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц [354]
    § 3. Разложимые матрицы [365]
    § 4. Нормальная форма разложимой матрицы [372]
    § 5. Примитивные и импримитивные матрицы [377]
    § 6. Стохастические матрицы [381]
    § 7. Предельные вероятности для однородной цепи Маркова с конечным числом состояний [385]
    § 8. Вполне неотрицательные матрицы [394]
    § 9. Осцилляционные матрицы [398]
  Глава XIV. Различные критерии регулярности и локализации собственных значений [406]
    § 1. Критерий регулярности Адамара и его обобщения [406]
    § 2. Норма матрицы [409]
    § 3. Распространение критерия Адамара на блочные матрицы [412]
    § 4. Критерий регулярности Фидлера [414]
    § 5. Круги Гершгорниа и другие области локализации [415]
  Глава XV. Приложения теории матриц к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений [419]
    § 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Общие понятия [419]
    § 2. Преобразование Ляпунова [422]
    § 3. Приводимые системы [423]
    § 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина [426]
    § 5. Матрицант [429]
    § 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление Вольтерра [433]
    § 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства [437]
    § 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области [439]
    § 9. Изолированная особая точка [443]
    § 10. Регулярная особая точка [448]
    § 11. Приводимые аналитические системы [461]
    § 12. Аналитические функции от многих матриц и их применение к исследованию дифференциальных систем. Работы И. А. Лаппо-Данилевского [465]
  Глава XVI. Проблема Рауса—Гурвица и смежные вопросы [468]
    § 1. Введение [468]
    § 2. Индексы Коши [469]
    § 3. Алгоритмы Рауса [472]
    § 4. Особые случаи. Примеры [476]
    § 5. Теорема Ляпунова 479
    § 6. Теорема Рауса—Гурвица [483]
    § 7. Формула Орландо [488]
    § 8. Особые случаи в теореме Рауса—Гурвица [490]
    § 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных вещественных корней многочлена [493]
    § 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга [495]
    § 11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через коэффициенты числителя и знаменателя [498]
    § 12. Второе доказательство теоремы Рауса—Гурвица [504]
    § 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса—Гурвица. Критерий устойчивости Льенара и Шипара [508]
    § 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стильтьеса. Представление многочленов Гурвица при помощи непрерывных дробей [512]
    § 15. Область устойчивости. Параметры Маркова [518]
    § 16. Связь с проблемой моментов [521]
    § 17. Связь между определителями Гурвица и определителями Маркова [525]
    § 18. Теоремы Маркова и Чебышева [526]
    § 19. Обобщенная задача Рауса—Гурвица [533]
  Добавление. Неравенства для собственных и сингулярных чисел (В.Б.Лидский) [535]
Литература [560]
Предметный указатель [572]
Формат: djvu
Размер:6120898 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 329 Рейтинг
Открыть: