Лекции по теории чисел

Автор(ы):Хассе Г.
06.10.2007
Год изд.:1953
Описание: «Лекции по теории чисел» Г. Хассе занимают положение, промежуточное между элементарным руководством по теории чисел и монографией по какому-либо из ее специальных разделов. Первая и вторая главы содержат материал, исторически давно сложившийся. Вторая половина книги вводит читателя в основные области современной теории чисел — теорию алгебраических чисел, теорию алгебраических функций с конечным полем констант и (в меньшей степени) в аналитическую теорию чисел. Эти области не рассматриваются в книге систематически, но характерные для них постановки вопросов, некоторые основные результаты и связи с элементарной теорией чисел выясняются на важнейших частных случаях. Книга может, таким образом, служить для первоначального ознакомления с теорией чисел, но представляет также интерес и для лиц, с теорией чисел уже знакомых. Для чтения книги необходима сравнительно небольшая предварительная математическая подготовка. Автор широко пользуется алгебраической терминологией, однако для понимания книги не требуется глубокого владения алгеброй, а достаточно лишь знакомства с основными алгебраическими понятиями—кольцо, поле, группа, идеал и т. д. Из курса анализа достаточно знать основы дифференциального и интегрального исчисления. Только в нескольких местах, понимание которых не является необходимым для дальнейшего чтения книги, автор пользуется основами теории функций комплексного переменного и основной теоремой теории Галуа.
Оглавление:
Лекции по теории чисел — обложка книги. Обложка книги.
От редакции [3]
Из предисловия автора [5]
Глава I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
§ 1. Разложение на простые множители [7]
  1. Натуральные, целые и рациональные числа [7]
  2. Элементарная теория делимости [8]
  3. Простые числа [9]
  4. Основная теорема элементарной теории чисел [11]
  5. Видоизменения основной теоремы [13]
  6. Иррациональность (?) корней из целых чисел [18]
§ 2. Общий наибольший делитель [19]
  1. Критерии делимости и простого делителя [19]
  2. Определение общего наибольшего делителя [21]
  3. Определение общего наименьшего кратного [22]
  4. Свойства общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного [23]
  5. Взаимная простота и попарная взаимная простота [25]
  6. Представление несократимой дробью, представление с общим наименьшим знаменателем [26]
  7. Основная теорема об общем наибольшем делителе [29]
  8. Доказательство основной теоремы как основной теоремы об идеалах в области целостности Г целых чисел [30]
  9. Алгоритм Евклида [33]
  10. Другое доказательство основной теоремы элементарной теории чисел [35]
§ 3. Совершенные числа, простые числа Мерсенна и Ферма [36]
  1. Определение совершенных чисел [36]
  2. Мультипликативная формула для суммы делителей [37]
  3. Достаточное условие для четных совершенных чисел: теорема Евклида [38]
  4. Необходимое условие для четных совершенных чисел: теорема Эйлера [39]
  5. Простые числа Мерсенна [40]
  6. Нечетные совершенные числа [41]
  7. Простые числа Ферма [43]
  8. Перечень вопросов, остающихся нерешенными [44]
§ 4. Сравнимость, классы вычетов [44]
  1. Определение сравнимости и классов вычетов [44]
  2. Кольцо классов вычетов [46]
  3. Деление в кольце классов вычетов [49]
  4. Группа классов вычетов, взаимно простых с модулем [51]
  5. Малая теорема Ферма [52]
  6. Формула сложения для функции Эйлера [56]
  7. Формула обращения Мёбиуса [56]
  8. Формула умножения для функции Эйлера [59]
  9. Системы сравнений, разложение кольца классов вычетов в прямую сумму [62]
  10. Сравнимость для дробных чисел [66]
  11. Поле классов вычетов по простому модулю [69]
  12. Аддитивное представление классов вычетов по степени простого числа [71]
  13. Периодичность разложения рациональных чисел в (?)-ичную дробь [74]
§ 5. Структура группы классов вычетов, взаимно простых с модулем [78]
  1. Сведение к степеням простых чисел [78]
  2. Случай простого числа [79]
  3. К определению первообразных корней, гипотеза Артина [81]
  4. Циклический сдвиг периода в разложении в (?)-ичную дробь [82]
  5. Леммы о сравнениях по степени простого числа [84]
  6. Случай степени нечетного простого числа [85]
  7. Случай степени простого числа 2 [90]
Глава II. КВАДРАТИЧНЫЕ ВЫЧЕТЫ
§ 6. Определение, редукция к простейшим случаям, критерии [95]
  1. Определение квадратичных вычетов [95]
  2. Редукция к модулям, являющимся степенями простых чисел [96]
  3. Редукция к нечетным простым модулям [96]
  4. Первый критерий: символ Лежандра [100]
  5. Второй критерий: критерий Эйлера [102]
  6. Третий критерий: лемма Гаусса [103]
§ 7. Квадратичный закон взаимности: элементарное доказательство [105]
  1. Основной вопрос, сведение к простым числам [105]
  2. Два дополнения к закону взаимности [107]
  3. Общая форма закона взаимности [109]
  4. Символ Лежандра как функция своего знаменателя [114]
  5. Ведущий модуль символа Лежандра как функции его знаменателя [117]
§ 8. Квадратичный закон взаимности: доказательство с помощью гауссовых сумм [122]
  1. Корни простой степени из 1 [122]
  2. Гауссовы суммы [124]
  3. Доказательство закона взаимности [126]
  4. Обоснование доказательства посредством теории сравнений в области корней из 1 [127]
  5. Доказательство второго дополнения к закону взаимности [130]
§ 9. Обобщение символа Лежандра: символ Якоби [133]
  1. Определение символа Якоби [133]
  2. Символ Якоби как функция своего числителя [136]
  3. Дополнения к закону взаимности и общая форма закона [139]
  4. Рекуррентный метод для вычисления символа Якоби [142]
  5. Символ Якоби как функция своего знаменателя [146]
  6. Символ Кронекера [153]
§ 10. Вопросы распределения квадратичных вычетов по простому модулю [156]
  1. Количество решений квадратных сравнений [156]
  2. Последовательности с заданными значениями характера [161]
  3. Теоретико-вероятностное истолкование. Обзор результатов [163]
  4. Случай многочленов второй степени [167]
  5. Применение к двучленным последовательностям [170]
  6. Случай специального многочлена третьей степени [171]
  7. Применение к трехчленным последовательностям [177]
  8. Разложение простых чисел р= 1 mod 4 на сумму двух квадратов [179]
  9. Разложение простых чисел р = 1 mod 3 на сумму квадрата и утроенного квадрата [185]
Глава III. ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
§ 11. Элементарные частные случаи [189]
  1. Следствия из теории квадратичных вычетов [189]
  2. Многочлен деления круга [193]
  3. Случай единичного класса вычетов r = 1 mod m [198]
  4. Случай класса вычетов r = -1 mod m [201]
§ 12. Метод Дирихле [206]
  1. Эйлеровское доказательство бесконечности множества простых чисел [206]
  2. Метод доказательства Дирихле для модулей 3 и 4 [210]
  3. Подход Дирихле к доказательству общего случая теоремы [214]
  4. Дзета-ряд и видоизменение эйлеровского доказательства, сделанное Дирихле [216]
  5. Замечания относительно закона распределения простых чисел [220]
§ 13. Характеры конечных абелевых групп. Характеры по модулю [221]
  1. Определение характеров и доказательство их существования [221]
  2. Соотношения между характерами [223]
  3. Принцип двойственности [225]
  4. Характеры и подгруппы [228]
  5. Характеры по модулю [231]
  6. Ведущий модуль, собственные характеры [232]
  7. Четные и нечетные характеры [239]
§ 14. Доказательство Дирихле [242]
  1. L-ряды [242]
  2. Выделение множеств простых чисел, лежащих в отдельных классах вычетов [244]
  3. Предельное поведение L-рядов [247]
  4. Плотность Дирихле и натуральная плотность [250]
§ 15. Необращение L-рядов в нуль [252]
  1. Произведения L-рядов [252]
  2. Элементарно-аналитическое доказательство для неквадратичных характеров [265]
  3. Элементарно-аналитическое доказательство для квадратичных характеров [268]
  4. Теоретико-функциональный метод доказательства [274]
  5. Алгебраически-теоретико-числовой метод доказательства [283]
Глава IV. КВАДРАТИЧНЫЕ ПОЛЯ
§ 16. Элементарная теория делимости [300]
  1. Основные алгебраические сведения [300]
  2. Геометрическая иллюстрация [304]
  3. Целые числа, дискриминант [307]
  4. Единицы [313]
  5. Вычисление основной единицы [321]
  6. Квадратичные поля с однозначным разложением на простые множители [340]
§ 17. Теория дивизоров [355]
  1. Структура кольца классов вычетов по простому модулю [355]
  2. Теория делимости и сравнений для степеней простых дивизоров [363]
  3. Основные теоремы арифметики [378]
  4. Сравнимость, классы вычетов, идеалы [386]
  5. Конечность числа классов [396]
§ 18. Определение числа классов [409]
  1. Предельная формула [409]
  2. Суммирование L-рядов [418]
  3. Общая формула для числа классов [422]
  4. Формула для числа классов квадратичного поля [428]
  5. Рациональное представление формулы для числа классов в случае положительного простого дискриминанта [443]
§ 19. Квадратичные поля и квадратичный закон взаимности [456]
  1. Квадратичные поля как поля классов [456]
  2. Взгляд на общую теорию полей классов [457]
  3. Доказательство закона взаимности путем вложения в поле корней из единицы [461]
  4. Чисто квадратичное доказательство квадратичного закона взаимности [463]
§ 20. Систематическая теория гауссовых сумм [468]
  1. Общее определение, редукция к простейшим случаям [468]
  2. Разложение на компоненты, формула для абсолютной величины гауссовой суммы [474]
  3. Внутренний смысл собственных гауссовых сумм [478]
  4. Связь гауссовых сумм с суммами для характеров в случае нечетного простого модуля [485]
  5. Определение знака для случая квадратичного характера [494]
  6. Гипотеза Куммера для кубических характеров по простому модулю [503]
  7. Аналог для бикубических и биквадратичных характеров [512]
Литература [518]
Указатель [520]
Формат: djvu
Размер:5920608 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 323 Рейтинг
Открыть: