Симплектическая геометрия

Автор(ы):Арнольд В. И., Гивенталь А. Б.
06.10.2007
Год изд.:2000
Описание: Симплектическая геометрия — это математический аппарат таких областей физики, как классическая механика, геометрическая оптика и термодинамика. Всякий раз, когда уравнения теории могут быть получены из вариационного принципа, симплектическая геометрия проясняет и приводит в систему соотношения между входящими в теорию величинами. Симплектическая геометрия упрощает и делает обозримым устрашающий формальный аппарат гамильтоновой динамики и вариационного исчисления таким же образом, как обычная геометрия линейных пространств сводит громоздкие координатные вычисления к небольшому числу простых основных принципов. В настоящем обзоре изложены простейшие основные понятия симплектической геометрии.
Оглавление:
Симплектическая геометрия — обложка книги.
Предисловие [7]
Глава 1. Линейная симплектическая геометрия [8]
  § 1. Симплектическое пространство [8]
    1.1. Кососкалярное произведение [8]
    1.2. Подпространства [8]
    1.3. Лагранжев грассманиан [9]
  § 2. Линейные гамильтоновы системы [10]
    2.1. Симплектическая группа и ее алгебра Ли [10]
    2.2. Комплексная классификация гамильтонианов [12]
    2.3. Линейные вариационные задачи [12]
    2.4. Нормальные формы вещественных квадратичных гамильтонианов [13]
    2.5. Знакоопределенные гамильтонианы и принцип минимакса [14]
  § 3. Семейства квадратичных гамильтонианов [15]
    3.1. Понятие миниверсальной деформации [15]
    3.2. Миниверсальные деформации квадратичных гамильтонианов [17]
    3.3. Семейства общего положения [17]
    3.4. Бифуркационные диаграммы [19]
  § 4. Симплектическая группа [20]
    4.1. Спектр симплектического преобразования [20]
    4.2. Экспоненциальное отображение и параметризация Кэли [21]
    4.3. Подгруппы симплектической группы [21]
    4.4. Топология симплектической группы [22]
    4.5. Линейные гамильтоновы системы с периодическими коэффициентами [23]
Глава 2. Симплектические многообразия [26]
  § 1. Локальная Симплектическая геометрия [26]
    1.1. Теорема Дарбу [26]
    1.2. Пример: вырождения замкнутых 2-форм в (?) [26]
    1.3. Ростки подмногообразий симплектического пространства [27]
    1.4. Классификация ростков подмногообразий [28]
    1.5. Внешняя геометрия подмногообразий [29]
    1.6. Комплексный случай [30]
  § 2. Примеры симплектических многообразий [30]
    2.1. Кокасательные расслоения [30]
    2.2. Комплексные проективные многообразия [31]
    2.3 Кэлеровы и симплектические многообразия [32]
    2.4. Орбиты коприсоединенного действия групп Ли [33]
  § 3. Скобка Пуассона [34]
    3.1. Алгебра Ли функций Гамильтона [34]
    3.2. Пуассоновы многообразия [35]
    3.3. Линейные пуассоновы структуры [37]
    3.4. Проблема линеаризации [38]
  § 4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения [39]
    4.1. Примеры лагранжевых многообразий [39]
    4.2. Лагранжевы расслоения [40]
    4.3. Пересечения лагранжевых многообразий и неподвижные точки симплектоморфизмов [42]
Глава 3. Симплектическая геометрия и механика [46]
  § 1. Вариационные принципы [46]
    1.1. Лагранжева механика [47]
    1.2. Гамильтонова механика [48]
    1.3. Принцип наименьшего действия [49]
    1.4. Вариационные задачи со старшими производными [51]
    1.5. Многообразие характеристик [52]
    1.6. Кратчайший обход препятствия [53]
  § 2. Вполне интегрируемые системы [55]
    2.1. Интегрируемость по Лиувиллю [55]
    2.2. Переменные «действие — угол» [56]
    2.3. Эллиптические координаты и геодезические на эллипсоиде [58]
    2.4. Пуассоновы пары [61]
    2.5. Функции в инволюции на орбитах коалгебр Ли [62]
    2.6. Представление Лакса [63]
  § 3. Гамильтоновы системы с симметриями [65]
    3.1. Пуассоновские действия и отображения моментов [65]
    3.2. Приведенное фазовое пространство и приведенные гамильтонианы [66]
    3.3. Скрытые симметрии [67]
    3.4. Пуассоновы группы [68]
    3.5. Геодезические левоинвариантных метрик и уравнение Эйлера [69]
    3.6. Относительные равновесия [70]
    3.7.Некоммутативная интегрируемость гамильтоновых систем [71]
    3.8. Пуассоновские действия торов [72]
Глава 4. Контактная геометрия [75]
  § 1. Контактные многообразия [75]
    1.1. Контактная структура [75
    1.2. Примеры [76]
    1.3. Геометрия подмногообразий контактного пространства [78]
    1.4 Вырождения дифференциальных 1 -форм в (?) [80]
  § 2. Симплектизация и контактные гамильтонианы [82]
    2.1. Симплектизация [82]
    2.2. Алгебра Ли инфинитезимальных контактоморфизмов [83]
    2.3. Контактизация [85]
    2.4. Лагренжевы вложения в (?) [85]
  § 3. Метод характеристик [87]
    3.1. Характеристики на гиперповерхности в контактном пространстве [87]
    3.2. Уравнения с частными производными первого порядка [87]
    3.3. Геометрическая оптика [88]
    3.4. Уравнение Гамильтона — Якоби [89]]
Глава 5. Лагранжевы и лежандровы особенности [91]
  § 1. Лагранжевы и лежандровы отображения [91]
    1.1. Фронты и лежандровы отображения [91]
    1.2. Производящие семейства гиперповерхностей [93]
    1.3. Каустики и лагранжевы отображения [95]
    1.4. Производящие семейства функций [96]
    1.5. Резюме [98]
  § 2. Классификация критических точек функций [98]
    2.1. Версальные деформации: неформальное описание [98]
    2.2. Критические точки функций [100]
    2.3. Простые особенности [101]
    2.4. Платоновы тела [101]
    2.5. Миниверсальные деформации [102]
  § 3. Особенности волновых фронтов и каустик [103]
    3.1. Классификация особенностей волновых фронтов и каустик в малых размерностях [104]
    3.2. Краевые особенности [105]
    3.3. Группы Вейля и простые фронты [108]
    3.4. Перестройки волновых фронтов и каустик [110]
    3.5. Фронты в задаче об обходе препятствия [114]
Глава 6. Лагранжевы и лежандровы кобордизмы [117]
  § 1. Индекс Маслова [117]
    1.1. Квазиклассическая асимптотика решений уравнения Шрёдингера [118]
    1.2. Индекс Морса и индекс Маслова [118]
    1.3. Индекс Маслова замкнутых кривых [120]
    1.4. Лагранжев грассманиан и универсальный класс Маслова [121]
    1.5. Кобордизмы волновых фронтов на плоскости [123]
  § 2. Кобордизмы [125]
    2.1. Лагранжев и лежандров край [125]
    2.2. Кольцо классов кобордизма [126]
    2.3. Векторные расслоения с тривиальной комплексификацией [126]
    2.4. Кобордизмы гладких многообразий [127]
    2.5. Группы лежандровых кобордизмов как гомотопические группы [128]
    2.6. Группы лагранжевых кобордизмов [129]
  § 3. Характеристические числа [130]
    3.1. Характеристические классы векторных расслоений [130]
    3.2. Характеристические числа классов кобордизма [131]
    3.3. Комплексы особенностей [132]
    3.4. Сосуществование особенностей [133]
Литература [136]
Формат: djvu
Размер:3842361 байт
Язык:RUS
Рейтинг: 273 Рейтинг
Открыть: