Основания геометрии

Автор(ы):Гилберт Д.
21.09.2011
Год изд.:1948
Описание: Геометрия, — так же как и арифметика,— требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времён Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления. Настоящее исследование представляет собою новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вывести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при этом стало совершенно ясно значение как различных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдельных аксиом.
Оглавление:
Основания геометрии — обложка книги.
П. К. Рашевский. «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса [7]
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ.
  Введение [55]
  Глава первая. Пять групп аксиом [56]
    § 1. Элементы геометрии и пять групп аксиом [56]
    § 2. Первая группа аксиом: аксиомы соединения (принадлежности) [57]
    § 3. Вторая группа аксиом. Аксиомы порядка [58]
    § 4. Следствия из аксиом соединения и порядка [60]
    § 5. Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности 66
    § 6. Следствия из аксиом конгруентности [71]
    § 7. Четвёртая группа аксиом: аксиома о параллельных [85]
    § 8. Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности [87]
  Глава вторая. Непротиворечивость и взаимная независимость аксиом [92]
    § 9. Непротиворечивость аксиом [92]
    § 10. Независимость аксиомы о параллельных (неевклидова геометрия) [96]
    § 11. Независимость аксиом конгруентности [104]
    § 12. Независимость аксиом непрерывности (неархимедова геометрия) [106]
  Глава третья. Учение о пропорциях [111]
    § 13. Комплексные числовые системы [111]
    § 14. Доказательство теоремы Паскаля [114]
    § 15. Исчисление отрезков на основании теоремы Паскаля [120]
    § 16. Пропорции и теоремы о подобии [125]
    § 17. Уравнения прямых и плоскостей [127]
  Глава четвёртая. Учение о площадях на плоскости [131]
    § 18. Многоугольники, равновеликие по разложению и по дополнению [131]
    § 19. Параллелограммы и треугольники с равными основаниями и высотами [134]
    § 20. Мера площади треугольников и многоугольников [137]
    § 21. Равновеликость по дополнению и мера площади [142]
  Глава пятая. Теорема Дезарга [146]
    § 22. Теорема Дезарга и её доказательство на плоскости с помощью аксиом конгруентности [146]
    § 23. Недоказуемость теоремы Дезарга в плоскости без аксиом конгруентности [149]
    § 24. Введение исчисления отрезков без помощи аксиомы конгруентности на основе теоремы Дезарга [151]
    § 25. Коммутативный и ассоциативный законы сложения в новом исчислении отрезков [154]
    § 26. Ассоциативный закон умножения и два дистрибутивных закона в новом исчислении отрезков [157]
    § 27. Уравнения прямых в новом исчислении отрезков [160]
    § 28. Совокупность отрезков, рассматриваемая как комплексная числовая система [162]
    § 29. Построение геометрии пространства с помощью числовой системы Дезарга [163]
    § 30. Значение теоремы Дезарга [167]
  Глава шестая. Теорема Паскаля [169]
    § 31. Две теоремы о доказуемости теоремы Паскаля [169]
    § 32. Коммутативный закон умножения в архимедовой числовой системе [170]
    § 33. Коммутативный закон умножения в неархимедовой числовой системе [172]
    § 34. Доказательство обоих предложений, касающихся теоремы Паскаля (непаскалева геометрия) [175]
    § 35. Доказательство любой теоремы о точках пересечения с помощью теоремы Паскаля [176]
  Глава седьмая. Геометрические построения на основании аксиом I — IV [180]
    § 36. Геометрические построения с помощью линейки и эталона длины [180]
    § 37. Критерий выполнимости геометрических построений с помощью линейки и эталона длины [184]
  Заключение [191]
ДОБАВЛЕНИЯ К «ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ»
  Добавление I. О прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками [195]
  Добавление II. По поводу теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника [202]
  Добавление III. Новое обоснование геометрии Больяи-Лобачевского [229]
  Добавление IV. Об основаниях геометрии [248]
  Добавление V. О поверхностях постоянной гауссовой кривизны [304]
  Добавление VI. О понятии числа [315]
  Добавление VII. Об основаниях логики и арифметики [322]
  Добавление VIII. О бесконечном [338]
  Добавление IX. Обоснования математики [365]
  Добавление X. Проблемы обоснования математики [389]
Примечания [403]
Формат: djvu
Размер:6405014 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 226 Рейтинг
Открыть: