Аналитическая геометрия

Автор(ы):Моденов П. С.
24.11.2023
Год изд.:1969
Описание: Настоящая книга предназначена в качестве учебника по аналитической геометрии для студентов механико-математических, физических и физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов. Наличие в книге задач с решениями и задач для самостоятельного решения (с ответами) позволяет использовать заочниками эту часть книги как материал семинарских занятий. Помимо традиционного материала по аналитической геометрии в книге дано понятие о линейном пространстве и линейном многообразии, Линейное отображение определяется как коллинеация, при которой сохраняется простое отношение. Изложено понятие собственных векторов. Дана метрическая теория инвариантов в аффинной системе. Рассмотрены произвольные плоские сечения поверхности второго порядка. Проективные координаты и теоремы Дезарга, Паскаля и Брианшона даны в дополнении; в основном тексте - только однородные координаты.
Оглавление:
Аналитическая геометрия — обложка книги. Обложка книги.
Предисловие [3]
Глава I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ.
§1. Направленные отрезки [5]
§2. Ось. Координата направленного отрезка [5]
§3. Ось координат. Координата точки [6]
§4. Теорема Шаля. Координата направленного отрезка, заданного двумя точками декартовой оси координат. Расстояние между двумя точками, лежащими на оси координат [7]
§5. Деление направленного отрезка в данном отношении [8]
§6. Преобразование системы координат на прямой [10]
§7. Векторы [10]
Глава II. ПРОСТЕЙШИЕ ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
I. Координаты точки и вектора на плоскости и в пространстве [15]
§8. Параллельное проектирование [15]
§9. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат на плоскости [17]
§10. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат в пространстве [18]
§11. Координаты вектора на плоскости и в пространстве [21]
II. Расстояние между двумя точками, деление направленного отрезка в данном отношении, площадь треугольника, объем тетраэдра [25]
§12. Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве [25]
§13. Деление направленного отрезка в данном отношения [28]
§14. Ориентированный треугольник. Ориентированная плоскость. Площадь треугольника [30]
§15. Ориентированный тетраэдр. Ориентированное пространство. Объем тетраэдра [38]
§16. Углы [43]
1. Определение угла [43]
2. Ориентированный угол. Его величина. Равенство, сумма и разность величин ориентированных углов [43]
3. Угол между двумя осями. Угол от одной оси до другой и его величина [45]
4. Углы между двумя прямыми Угол от одной прямой до другой и ею величина [46]
§17. Теорема Шаля для ориентированных углов [48]
III. Полярная система координат на плоскости и в пространстве [50]
§18. Полярная система координат на плоскости [50]
§19. Полярная система координат в пространстве. Полярные и сферические координаты [52]
§20. Задачи к главе II [54]
1. Задачи с решениями [54]
2. Задачи для самостоятельного решения [58]
Глава III. ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ.
I. Линия и ее уравнения [61]
§21. О понятии линии и ее уравнениях [61]
§22. Примеры составления уравнений линии [62]
II. Поверхности и линии в пространстве [69]
§23. Поверхность и ее уравнение [69]
§24. Примеры составления уравнений поверхностей [70]
§25. Цилиндрические и конические поверхности [74]
1. Цилиндрические поверхности [74]
2. Конические поверхности [75]
§26. Поверхности вращения [77]
§27. Линия в пространстве и ее уравнения [80]
§28. Примеры уравнений линий в пространстве [81]
§29. Задачи к главе III для самостоятельного решения [83]
Глава IV. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
§30. Сумма векторов [90]
§31. Разность векторов [92]
§32. Произведение числа на вектор [93]
§33. Теоремы о проекциях векторов [95]
§34. Теоремы о координатах векторов [96]
§35. Сумма, разность и произведение числа на вектор в координатах [97]
§36. Линейная зависимость векторов. Линейная комбинация векторов. Коллинеарность векторов. Компланарность векторов [99]
§37. Базис и координаты вектора [104]
§38. Скалярное произведение двух векторов [107]
§39. Выражение скалярного произведения в координатах [109]
§40. Угол от одного вектора до другого на ориентированной плоскости [112]
§41. Объем ориентированного параллелепипеда [114]
§42. Объем ориентированного параллелепипеда в координатах. Объем тетраэдра ,119
§43. Векторное произведение [121]
§44. Смешанное произведение трех векторов [123]
§45. Координаты векторного произведения [123]
§46. Свойства векторного произведения [124]
§47. Двойное векторное произведение [125]
§48. Площадь параллелограмма и треугольника в пространстве [125]
§49. Примеры и задачи к главе IV [126]
1. Задачи с решениями [126]
2. Задачи для самостоятельного решения [136]
Глава V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.
§50. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении [138]
§51. Общее уравнение прямой [139]
§52. Направляющий вектор прямой [139]
§53. Частные случаи расположения прямой относительно системы координат [141]
§54. Параметрические уравнения прямой [141]
§55. Уравнение прямой, проходящей через две точки [142]
§56. Уравнение прямой в отрезках [143]
§57. Угловой коэффициент прямой [143]
§58. Уравнение прямой с угловым коэффициентом [144]
§59. Взаимное расположение двух прямых [144]
§60. Пучок прямых [146]
§61. Взаимное расположение трех прямых [149]
§62. Геометрический смысл неравенства первой степени с двумя неизвестными [150]
§63. Расстояние от точки до прямой [152]
§64. Нормальное уравнение прямой [153]
§65. Угол между двумя прямыми, условие перпендикулярности двух прямых [155]
§66. Угол от одной прямой до другой в ориентированной плоскости [156]
§67. Примеры и задачи к главе V [158]
1. Задачи с решениями [158]
2. Задачи для самостоятельного решения [168]
Глава VI. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
§68. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку компланарно двум неколлинеарным векторам [170]
§69. Общее уравнение плоскости [170]
§70. Условие компланарности вектора и плоскости [173]
§71. Частные случаи расположения плоскости относительно системы координат [173]
§72. Параметрические уравнения плоскости [174]
§73. Уравнение плоскости, проходящей через две точки компланарно данному вектору [175]
§74. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой [175]
§75. Уравнение плоскости в отрезках [176]
§76. Взаимное расположение двух плоскостей [176]
§77. Уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении Параметрические уравнения прямой [179]
§78. Уравнения прямой, проходящей через две точки [180]
§79. Взаимное расположение двух прямых [180]
§80. Взаимное расположение прямой и плоскости [181]
§81. Прямая как линия пересечения двух плоскостей [182]
§82. Пучок плоскостей [183]
§83. Взаимное расположение трех плоскостей [186]
§84. Связка плоскостей [187]
§85. Геометрический смысл неравенства первой степени с тремя неизвестными [192]
§86. Расстояние от точки до плоскости [193]
§87. Нормальное уравнение плоскости [193]
§88. Угол между двумя плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей [196]
§89. Угол между двумя прямыми Условие перпендикулярности двух прямых [197]
§90. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости [198]
§91. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую [199]
§92. Уравнения общего перпендикуляра к двум неколлинеарным прямым [199]
§93. Расстояние от точки до прямой в пространстве [201]
§94. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми [201]
§95. Примеры и задачи к главе VI [203]
1. Задачи с решениями [203]
2. Задачи для самостоятельного решения [210]
Глава VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
§96. Перенос декартовой системы координат [214]
§97. Преобразование общей декартовой системы координат на плоскости [216]
§98. Преобразование общей декартовой системы координат в пространстве [218]
§99. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости [219]
1. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе с той же ориентацией и с тем же началом координат [219]
2. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой прямоугольной системе с противоположной ориентацией и с тем же началом координат [221]
3. Общее преобразование одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости в другую прямоугольную систему [222]
§100. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе в пространстве [223]
§101. Углы Эйлера [227]
Глава VIII. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ.
§102. Эллипс и его каноническое уравнение [230]
§103. Исследование формы эллипса [233]
§104. Директрисы эллипса [235]
§105. Эллипс как образ окружности при равномерном сжатии к ее диаметру [238]
§106. Параметрические уравнения эллипса [240]
§107. Построение эллипса по точкам [241]
§108. Вычерчивание эллипса непрерывным движением [242]
§109. Эллипс как ортогональная проекция окружности [243]
§110. Касательная к эллипсу [245]
§111. Оптическое свойство эллипса [246]
§112. Гипербола и ее каноническое уравнение [247]
§113. Исследование формы гиперболы [250]
§114. Эксцентриситет и директрисы гиперболы [253]
§115. Параметрические уравнения гиперболы [256]
§116. Сопряженные гиперболы [257]
§117. Уравнение гиперболы, отнесенной к асимптотам [258]
§118. Касательная к гиперболе [259]
§119. Оптическое свойство гиперболы [259]
§120. Парабола и ее каноническое уравнение [261]
§121. Исследование формы параболы [262]
§122. Построение параболы по точкам [264]
§123. Касательная к параболе [265]
§124. Оптическое свойство параболы [266]
§125. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы [267]
§126. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения [268]
§127. Примеры и задачи к главе VIII [272]
1. Задачи с решениями [272]
2. Задачи для самостоятельного решения [277]
Глава IX. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ.
§128. Эллипсоид [284]
§129. Однополостный гиперболоид [288]
§130. Двуполостный гиперболоид [291]
§131. Конус второго порядка [293]
§132. Асимптотический конус гиперболоидов [294]
§133. Эллиптический параболоид [296]
§134. Гиперболический параболоид [298]
§135. Цилиндры второго порядка ,301
§136. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида [302]
1. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида [302]
2. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида [309]
§137. Примеры и задачи к главе IX [313]
1. Задачи с решениями [313]
2. Задачи для самостоятельного решения [316]
Глава X. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.
§138. Комплексная плоскость и комплексное пространство [320]
1. Комплексная плоскость [320]
2. Комплексное пространство [325]
§139. Плоские алгебраические линии [329]
1. Определение плоской алгебраической линии и ее порядка [329]
2. Пересечение алгебраических линий. Пересечение алгебраической линии с прямой [331]
3. Распадение алгебраических линий [333]
§140. Алгебраические поверхности [334]
1. Определение алгебраической поверхности [334]
2. Пересечение алгебраической поверхности с прямой и плоскостью [335]
3. Распадение алгебраических поверхностей [337]
Глава XI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ.
§141. Теорема о том, что всякое уравнение второй степени с двумя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две
прямые [339]
§142. Теория инвариантов [345]
§143. Определение канонического уравнения линии второго порядка при помощи инвариантов. Распадение линии второго порядка на две прямые [352]
§144. Центр линии второго порядка [357]
§145. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Классификация линий по числу и действительности асимптотических направлений [360]
§146. Диаметр, сопряженный данному неасимптотическому направлению [364]
1. Общая теория [364]
2. Диаметры линий второго порядка, заданных каноническими уравнениями [369]
§147. Касательная к линии второго порядка [370]
§148. Уравнение линии второго порядка, отнесенной к двум ее сопряженным диаметрам; уравнение линии второго порядка, отнесенной к касательной и сопряженному к ней диаметру [373]
§149. Главные направления и главные диаметры [381]
§150. Определение расположения линии второго порядка по отношению к прямоугольной системе координат [384]
§151. Примеры и задачи к главе XI [388]
1. Задачи с решениями [388]
2. Задачи для самостоятельного решения [397]
Глава XII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ.
§152. Теорема о том, что всякое уравнение второй степени с тремя неизвестными определяет эллипсоид; гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр или две плоскости [402]
§153. Теория инвариантов [413]
§154. Определение канонического уравнения поверхности второго порядка при помощи инварианта [419]
§155. Центр поверхности второго порядка [428]
§156. Классификация поверхностей второго порядка по характеру места центров [430]
§157. Конические и цилиндрические поверхности второго порядка, заданные общим уравнением [433]
1. Конические поверхности [433]
2. Цилиндрические поверхности [435]
3. Распадение поверхности второго порядка [437]
§158. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления, асимптотический конус и конус асимптотических направлений [438]
§159. Диаметральная плоскость, сопряженная данному неасимптотическому направлению. Особые направления относительно поверхности второго порядка [441]
§160. Касательная плоскость [445]
§161. Пересечение касательной плоскости с поверхностью второго порядка [447]
§162. Эллиптические, гиперболические или параболические точки поверхности второго порядка [448]
§163. Простейшие уравнения поверхностей второго порядка в общей декартовой системе координат [450]
§164. Главные направления поверхности второго порядка [458]
§165. Число главных направлений поверхности второго порядка [459]
§166. Определение расположения поверхности второго порядка по отношению к декартовой прямоугольной системе координат [461]
§167. Примеры и задачи к главе XII [467]
1. Задачи с решениями [467]
2. Задачи для самостоятельного решения [476]
Глава XIII. ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
§168. Отображение и преобразование [483]
§169. Произведение преобразований [484]
§170. Группа преобразований [485]
Глава XIV. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
§171. Линейные преобразования и линейные отображения множества точек пространства, плоскости или прямой [485]
§172 Линейные преобразования множества векторов пространства, плоскости или прямой [487]
§173. Свойства линейных преобразований множества точек пространства, плоскости или прямой [488]
§174. Линейные преобразования в координатах [494]
§175. Аффинные преобразования и аффинные отображения [499]
§176. Геометрическая теория аффинных преобразований [501]
§177. Свойства аффинных преобразований и отображений [506]
§178. Аффинные преобразования в координатах [509]
§179. Примеры аффинных преобразований [512]
§180. Ортогональные преобразования и движения [520]
§181. Ортогональные преобразования в координатах [522]
1. Ортогональные преобразования плоскости [522]
2. Ортогональные преобразования пространства [523]
§182. Примеры ортогональных преобразований [525]
§183. Подобные преобразования [526]
§184. Собственные векторы линейного преобразования [528]
§185. Самосопряженное линейное преобразование и его собственные векторы [531]
§186. Представление аффинного преобразования в виде произведения ортогонального преобразования и трех сжатий к попарно перпендикулярным плоскостям [536]
§187. Применение аффинных преобразований к исследованию свойств линий второго порядка [538]
§188. Аффинная классификация линий второго порядка [540]
§189. Аффинная классификация поверхностей второго порядка [543]
§190. Примеры и задачи к главе XIV [544]
1. Задачи с решениями [544]
2. Задачи для самостоятельного решения [547]
Глава XV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ.
§191. Проективная плоскость [557]
1. Первая модель проективной плоскости [557]
2. Вторая модель проективной плоскости [559]
§192. Однородные координаты точки и прямой на проективной плоскости [560]
1. Первая модель проективной плоскости [560]
2. Вторая модель проективной плоскости [562]
3. Связь проективных координат точки во второй модели с однородными координатами точки в первой модели [563]
§193. Уравнение прямой на проективной плоскости, проходящей через две точки; пучок прямых [564]
§194. Группа проективных преобразований проективной плоскости. Группа аффинных преобразований как подгруппа группы проективных преобразований [565]
§195. Проективное преобразование плоскости в координатах Основная теорема [566]
§196. Примеры проективных преобразований проективной плоскости [572]
§197. Понятие о проективном пространстве [581]
§198. Принцип двойственности [583]
§199. Однородные координаты точки и проективной плоскости в проективном пространстве [584]
§200. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пучок и связка плоскостей [585]
§201. Группа проективных преобразований проективного пространства. Основная теорема [587]
§202. Ангармоническое отношение. Гармонизм [588]
§203. Линии второго порядка на проективной плоскости. Классификация линий второго порядка по характеру пересечения с несобственной прямой [598]
§204. Проективная классификация линий второго порядка. Распадающиеся и нераспадающиеся линии [600]
§205. Проективно-аффинная классификация линий второго порядка [603]
§206. Необходимое и достаточное условие того, что два однородных уравнения второй степени определяют одну и ту же линию второго порядка [604]
§207. Касательная к линии второго порядка [606]
§208. Полюс и поляра линии второго порядка [609]
§209. Сопряженные диаметры, центр и асимптоты в проективной теории линий второго порядка [612]
§210. Определение линии второго порядка по пяти точкам [613]
§211. Пучок линий второго порядка [614]
§212. Поверхность второго порядка в проективном пространстве. Классификация поверхностей второго порядка по характеру пересечения с несобственной плоскостью [616]
§213. Проективная классификация поверхностей второго порядка [618]
§214. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка в проективном пространстве [621]
§215. Необходимое и достаточное условие того, что два однородных уравнения второй степени определяют одну и ту же поверхность второго порядка [626]
§216. Касательная плоскость к поверхности второго порядка [628]
§217. Пересечение поверхности второго порядка касательной плоскостью [629]
§218. Полюс и полярная плоскость поверхности второго порядка [631]
§219. Примеры и задачи к главе XV [632]
1. Задачи с решениями [632]
2. Задачи для самостоятельного решения [636]
Дополнение I. ОРИЕНТАЦИЯ.
1. Ориентация плоскости [638]
2. Ориентация пространства [642]
Дополнение II. МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ОТ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБЩЕЙ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Контравариантные и ковариантные координаты точки и вектора на плоскости [646]
2. Контравариантные и ковариантные координаты вектора и точки в пространстве [648]
3. Теория инвариантов уравнения линии второго порядка [649]
4. Определение расположения линии второго порядка [654]
5. Поверхности второго порядка [656]
Дополнение III. ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КРУГОВЫЕ СЕЧЕНИЯ. ОМБИЛИЧЕСКИЕ ТОЧКИ.
1. Приведение к каноническому виду плоского сечения поверхности второго порядка [660]
2. Расположение в пространстве плоского сечения поверхности второго порядка [664]
3. Круговые сечения поверхностей второго порядка [667]
4. Омбилические точки [671]
Дополнение IV. ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ. ТЕОРЕМЫ ДЕЗАРГА, ПАСКАЛЯ И БРИАНШОНА. АВТОПОЛЯРНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. АВТОПОЛЯРНЫЙ ТЕТРАЭДР.
1. Проективные координаты на проективной плоскости [673]
2. Автополярный треугольник [678]
3. Теоремы Дезарга, Паскаля и Брианшона [680]
4. Проективные координаты в проективном пространстве [684]
Б. Автополярный тетраэдр [688]
Формат: djvu + ocr
Размер:88684152 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 13 Рейтинг
Открыть: Ссылка (RU)